Файл: Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов.pdf

Скачать файл (13,93Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 220

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ром П І , при			р 2 - — П 2		и т. д. Тогда				систему (14.14) можно будет
записать в		компактной				векторной		форме:
			П І Р І	+	П 2	р 2 + . . .	+	П Т + П	рт+п	= П 0 .	(14.15)
Планом или возможным решением сформулированной задачи
(14.13)	и	(14.14)		называется			такая		совокупность		значений р1г
р 2 ,	р т +	п	[т. е.	вектор Р =			( P l , р 2 ,			рт+п)),	которая удов

летворяет условию (14.15). План называется опорным, если векторы

					т+л
П;, входящие		в разложение		П 0	= 2	Рі П Г , линейно	независимы.
Векторы	П І ,	П 2 ,	П Т + 7 1	линейно		независимы, если
			т-\-п				(14.16)
			2р,П1 = М,				(14.16)
			;,= і
и лишь	при рх = р 2 =		... = рт+п		= О

•2 Р,пг =о.

г= і

Вэтом случае говорят, что векторы Лг образуют базис [122—125]. Примером базиса в трехмерном пространстве могут служить три взаимно перпендикулярные вектора, в частности единичные. Ана логично в /г-мерном пространстве базисом могут служить k еди

ничных векторов: (1, 0,

0), (0, 1, 0,

0),

(0, 0,

0, 1).

Можно показать (см. работу [124]), что в нашей задаче лишь т век торов (любых) из т + п являются линейно независимыми. Так что базисными векторами будут т штук из П Г (14.15).

Поясним решение игровой задачи симплекс-методом на следую щем примере. На АЭС необходимо иметь на период кампании реак тора некоторое количество запасных рабочих каналов на случай возможного выхода из строя работающих. Слишком много дер жать таких каналов невыгодно, поскольку они требуют постоянно го осмотра и контроля и их надежность незначительно, но сни жается при хранении. С другой стороны, слишком малого коли чества запасных каналов может не хватить для замены отказавших.. Очевидно, что существует какое-то оптимальное п, при котором потери минимальны.

Допустим, из предыдущего опыта известно, что за кампанию реактора число отказов каналов колеблется от 3 до 15. Рассмотрим следующие состояния объекта (природы): 5 Х — за кампанию отка

зало 3 канала; 5 2		— 9 каналов и 5 3 —415 каналов. Предположим,
что	возможными	решениями могут быть А± — сделать	запас из
5, А 2	— из 10, А3	— из 15 и Л 4 — из 20 каналов. Будем	считать,

что если отказало 3 канала, а запасных было 5 штук, то экономи

ческие потери составят П = 5—3 = 2		условные единицы. Если же
отказавших	оказалось 15, а запасных	имеется 10, то потери будут
на порядок	выше: П = (15—10) -10 = 50,

При этих	условиях		таблица	потерь		запишется в виде табл. • 14.7.
Исключив	Л 4 ,	над которым		доминирует As,			получим окончатель
ную таблицу		потерь	из первых		трех	строк	(пг =	3).
						Т а б л и ц а		14.7
			П о т е р и ,		отн.	ед.
						s 2		S.
			2			40		100
		Аг	7			1		50
		А3	12			6		0
		А,	17			11		5

Видно, что седловая точка отсутствует. Воспользуемся сим плекс-методом. Обозначим р х , р 2 и р 3 частоты возможных приме нений действий Аъ А2 и Л 3 . В соответствии с выражениями (14.12) можно записать:

Рі + Рг + Рз = 1; 2Pi + 7ра + 12р3 < v ; 40pi + р 2 + 6 р 3 < v; 100рх + 50р2 < v.

Перейдем от неравенств к равенствам:

Pi + Рг + Рз = 1;

2pi + 7р2 + 12р3 + р 4 = v; 40pt + р 2 + 6 р 3 + р в = v;

ІООрі + 50р2 + p e = v.

Вычтем из последнего уравнения второе и третье:

Pi + Pi + Рз = і;

98рх + 43р2 — 12р3 — р 4 + р , = 0; 60рх + 49р2 — 6 р 3 — р 5 + р в = 0.

(14.17)

(14.18)

(14.19)

Последнее уравнение системы (14.18) примем за линейную форму

v = lOOpj + 50р2 + р в .

(14.20)

Для применения симплекс-метода (как уже отмечалось) нужно иметь опорный план. В работе [124] в качестве опорного плана для первого шага приближения предлагается выбрать план, содержа-

ший одну	действительную	компоненту		и т — 1	фиктивных, на
пример		•		• •
ру	= 1; рт+1 Ф 0;	рт+2	Ф 0;	p 2 m _ j	ф 0.	(14.21)

Такой выбор предполагает, что оптимальным будет единственное

активное

действие А г

(остальные — фиктивны) против смешанной

стратегии

природы.

Задание плана тождественно заданию базиса. Исходя из приня

того

плана,

базис

войдут

векторы

ИЪ

ИТ'+1,

H2M_LT

уравнение

(14.15)

запишем

виде

П 0

= Pi Hj +

рт+1

П т + 1 - f . . . +

р2т_1

П 2 т _ х .

Для

условий

примера получаем [см. систему

(14.19)]

П 0 = р 1

П 1

+ > 4 П 4

+ р 6 П 6 ,

(14.22)

или

матричной

форме

= РІ

— 1

+ Рв

— 1

Переходя

от векторной

записи

к простой, находим

искомый опор

ный

план:

• і =

Pi;

Рх= і;

(14.23)

0 =

ft98—р4;р4=98;

0 =

Рі№—р6;рБ=60;

Подставляя

полученные р в выражение (14.22), находим

о ^

+ ЭвГ^ + бОПв.

(14.24)

Как уже отмечалось, из т + п векторов только т являются линейно независимыми. Остальные можно представить в виде ли нейной комбинации базисных векторов П х , П 4 , П 5 . Так, П а = а Х X П-! + Ь П 4 + с П 5 > где а, Ь, с — пока неизвестные коэффициенты. Используя систему (14.19), можно записать

	1	1	0		0
	43 = а 98 +ь		— 1 +		с 0
	49	60	0		— 1
Откуда а,	Ъ и е легко находятся		[из трех		уравнений типа	(14.23)1.
В итоге	имеем
	П 2	= П 1 + 5 5 П 4 + 1 1		П Б .		(14.25)

Это выражение представляет собой разложение небазисного век тора П 2 по базисным векторам. Также можно найти разложения

П 3 и П в :

П з = = П 1 - г - 1 1 0 П 4 - И 6 П 5 ; 1

пв = - п 4 - п 6 .

Выбранный план (14.21) и (14.23) нужно проверить на опти мальность, т. е. определить, обращается ли в минимум линейная форма (14.20). Можно доказать, что план будет оптимальным, если выполняется условие [122—125]

— С г < 0

(14.27)

(в случае максимизации линейной формы знак неравенства меняется

на	противоположный). Здесь Ct •— коэффициенты линейной формы
(14.10)		[для	примера		см. (14.20),	d	= 100,	С 2	== 50,	С а =	0,
Ci	= 0 ,	С5	= 0,	Св	= 1]; Zl =	С, — для		базисных		векторов,
а	для небазпсных			Z{	— ~У, Ckpki,	г Д е	^ — 1,	2,	/л +	n; phl	—

fe=i

коэффициент при базисном векторе Щ в разложении небазисиого вектора П ; по базисным векторам (в примере k = 1, 4, 5 — всего

т= 3).

Вчастности, для условий нашей задачи имеем:

Сі',

Zi — Cj — 0;

Z 2

Crl

C4 -55 +

C s . l l

100;

C ^ l +

C4-IIO +

Z 2

— C2

100 — 50 =

50 >

— Cs

100 — 0 =

100 >

CV66 =

100;

Z4 =

C4;

—

— C4

Z5 =

C5;

= —C4 — C5 = 0;

Z 6 — C6 = — 1 < 0.

Две разности

Z ( — С г

получились

больше

нуля, следовательно,

план не оптимален. Подсчитаем по формуле

(14.20) средний выиг^

рыш при первом выбранном

базисе

Пх,

П 4 ,

П 5 :

v, = ClPi

+ CiPi

С5 р5

100.

Для получения следующего (второго) опорного плана в старый базис можно ввести любой новый вектор, но, чтобы существенно уменьшить число шагов (приближений), целесообразно ввести вектор, имеющий разность Z; — Ci = max. В примере таким век тором будет П 3 .

Так как базис должен содержать т компонент (независимых), то после введения нового базисного вектора один из старых должен быть исключен. Это делается следующим простым приемом. Урав

нения условий (14.19)	при	старом базисе	П 4 , П 5	имеют вид
(14.24). Умножим выражение для вводимого вектора П 3				(14.26) на 6
0П3	= e n t	+ 11О0П4 +	666П5

Смотрите также файлы

Обозначение на контурной карте гидрологических объектов.docx

Основы управления логистическими процессами в закупках, производстве и распределении.docx

московский финансовопромышленный университет синергия Факультет онлайн обучения Направление подготовки 38.pdf

Абдулла арсабаев.docx

Типовые контрольные задания, необходимые для оценки результатов освоения опоп во по направлению подготовки 40. 03. 01 Юриспруденция.doc

Файл: Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно