Файл: Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 223

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

и вычтем

его

из равенства (14.24). Получим

 

 

П 0 =

6 П 3 + (1 —Є) П І + (98 — 1106) П 4 +

 

 

 

+ (60 — 669) П 5 .

(14.28)

Коэффициенты при векторах П 3

и И1 представляют собой часто­

ты Рз и рх

применения действий А3

и Аг . Очевидно, что р 3 >

0 (толь­

ко в этом случае получим новый опорный план, отличный от пре­

дыдущего).

Следовательно,

0 > 0.

Но, с другой стороны,

коэф­

фициенты

при остальных

векторах

П 4 и П 5 в равенстве

(14.28)

не должны

быть отрицательными (поскольку в общем случае

среди

них могут присутствовать нефиктивные частоты). Отсюда: 98—110Х Х 6 > 0 , 60—666>0, или 0<98/11О; 0<6О/66. Итак, в общем случае

0 следует выбирать

из условия

 

 

 

 

 

 

0 <

0 <

min

(ph/phi),

 

(14.29)

где ph

— коэффициенты

при базисном векторе

П й

в выражении

(14.24) для условий задачи; остальные обозначения

см. после фор­

мулы (14.27). Взяв такое

0, обратим один из коэффициентов выра­

жения (14.28) в нуль и получим новый базис.

 

 

В

рассматриваемом

примере

 

 

 

 

 

0 = min (1/1; 98/110;

60/66) =

98/110

 

49/55,

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П 0

= — n , + — П з - Ь — П 5 .

 

 

 

0

55 1

55 3

^

5 5

 

 

Для проверки этого опорного плана (р х

=

6/55, р3

= 49/55, р&— 6/5)

на оптимальность разложим небазисные векторы

П 2 , П 4 и П в по

векторам нового базиса:

 

 

 

 

 

 

П ^ - і - П ^ - і - П . - ^ П в ;

Проверяем условие оптимальности (14.27):

Условие оптимальности выполнено. Следовательно, план

р г =6/55

н рз =

49/55 является

решением задачи,

т. е. в

шести

случаях

(кампаниях) из 55 следует делать запас 5

каналов

и в

49

слу­

чаях —

15 каналов. Цена

игры (средние потери) для этого

плана

 

п

, п

, п

100-6

. п

120

 

 

 

V a = C I p 1 + C 8 p s + C e p 6 = — 1-0=-—,

 

 

т. е. меньше V,.

 

 

55

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

все П 1 (

В качестве первого

(исходного)

базиса

можно

взять

П 2 ,

П Т , так как каждое действие At может оказаться активным,

а также другие комбинации. Процедура нахождения оптимального плана в этом случае полностью аналогична описанной, т. е. после разложения оставшихся (небазисных) векторов по базису произво­ дится проверка на оптимальность; в случае невыполнения условий, (14.27) вводится новый вектор взамен одного из векторов старого базиса и т. д., пока не будет удовлетворено условие оптимальности. Часто на практике используется метод (исходного) искусственного базиса, состоящего из всех фиктивных векторов [122].

При решении задач симплекс-методом могут возникнуть ослож­ нения. Так, при попытке исключить один из базисных векторов для получения нового опорного плана может оказаться, что сразу у двух или более векторов коэффициенты обращаются в нуль. В этом случае новый план будет вырожденным, содержащим менее т сос­ тавляющих. Для решения вырожденных задач можно применить метод возмущения свободных членов [125]. Для этого ко всем сво­ бодным членам bj в уравнении условий (14.11) нужно прибавить

достаточно

малые

величины:

 

 

bj

= bj +

Є],

j = 1, 2,

п

(ej « 1).

Далее решение проводится изложенным ранее

методом. В конце по­

лагаются ВСЄ Б; =

0.

 

 

 

Метод последовательных приближений. Для игры т X п опти­ мальная стратегия может быть получена также методом последова­ тельныхприближений, который заключается в последовательном разыгрывании (обычно на ЭВМ) /V партии. Так, для рассматривае­ мого примера, если воспользуемся (для первого раза наугад) дей­

ствием А 2, то природа, стремясь получить

больший выигрыш,

предпочтет действие S3 (см. табл.

14.7 и 14.8). В следующей

партии

(N = 2) мы заинтересованы

в

действии

А3,

имеющем

нулевые

потери.

при какой Sj

 

 

<

Природа должна выявить,

она будет иметь боль­

ший выигрыш за две партии. Сложив выигрыши первой партии (при Л 2 ) с выигрышами, соответствующими А3 (см. табл. 14.8), природа должна еще раз выбрать S3. В свою очередь, мы, сложив выигрыши двух партий (обе при 5 3 ), т. е. практически вычислив средние потери, полученные после двух партий, находим, что минимальные потери соответствуют опять А3. Это действие и вы­ бираем (см. табл. 14.8).

 

 

 

П о с л е д о в а т е л ь н о с т ь и г р *

 

 

 

 

N

 

Суммарны 11 выигрыш

 

Суммарные потерн

А1

S,

S,

 

 

A t

 

A ,

A .

 

 

 

 

 

1

ла

7

1

50

s3

100

 

50

0

2

19

7

50

s 3

200

 

100

0

3

А3

3 1 .

13

50

s 3

300

 

150

0

4

Ая

43

19

50

s 3

400

 

200

0

5

А3

55

25

50

S i -

402

 

207

12

6

А3

67

31

50

S i

404

 

214

24

7

А3

79

37

50

Sx

406

 

221

36

4 3 '

А3'

5 І І

253

' б б

Si

478

 

473

468

44

Аз

523

259

50

Sx

480

 

480

480

45

Ах

525

299

150

S i

482

 

487

492

46

Ах

527

339

250

S i

484

•

494

504

47

Ах

529

379

350

S i

486

 

501

516

48

Ах

531

419

450

S i

488

 

508

528

49

Ах

533

459

550

s 3

588

 

558

528

50

Аз

545

465

550

s 3

688

 

608

528

51

Аз

557

471

550

S i

690

 

615

540

52

Аз

569

477

550

S i

692

 

622

552

53

Аз

581

483

550

S i

694

 

629

564

54

А3

593

489

550

S i

696

 

636

576

55

Аз

605

495

550

S i

698

 

643

588

* Выделенные числа соответствуют максимальному выигрышу для природы (левая часть таблицы) н минимальным потерям для нас (правая часть таблицы), ориентируясь на которые, обе стороны выбирают соответствующие стратегии.

Видно,

что

в 49 случаях из N = 55

было применено действие

А3,

5 раз — Ах

и один — Л 2 . Очевидно,

что при достаточно

боль­

шом

Xf-v

сю

искомые частоты

применения

действий At

можно

выразить

в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pt

=

п

{АІ)Ш,

 

 

 

 

где

п (АІ)

—• число случаев

из

N,

в которых

было применено дей­

ствие At.

Эти частоты pt

вместе с действиями

At

и будут задавать

оптимальную смешанную

стратегию (в

примере

р ^ б / б б ,

р 2 ~ 0 ,

Рз = 49/55). Зная оптимальные частоты, можно найти цену игры (воспользовавшись свойством оптимальных смешанных стратегий).

Так,

если

природа

применит

состояние

5 Х или 53 ,

мы, смешивая

Ах и

А3,

проиграем

v. Если

же будет

состояние S\,

не входящее

(как видно из таблицы) в

оптимальную стратегию природы, не­

трудно убедиться, что наш

проигрыш будет меньше

цены игры V.

 

 

 

 

 

П Р И Л О Ж Е Н И Я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j "

 

 

 

 

Т а б л и ц а

П.1

 

 

 

Ф у н к ц и я Л а п л а с а * Ф ( и ) = — ^

е ~ ' " ^ 2 dt

 

 

 

 

 

 

 

 

Сотые доли

 

 

 

 

 

 

Сотые доли

 

 

и

0

0,02

0,04

0 ,06

0,08

и

0

0,02

0,04

0,06

0,08

 

 

0,0

0

0,00798

0,0160

0,0239

0,0319

2, 6

0,4953

0,4956

0,4959

0,4961

0,4963

0 , 1

0,0398

0,0478

0,0557

0,0636

0,0714

2,7

0,4965

0,4967

0,4969

0,4971

0,4973

0, 2

0,0793

0,0871

0,0948

0,103

0,110

2,8

0,4974

0,4976

0,4977

0,4979

0,4980

0,3

0,118

0,126

0,133

0,141

0,148

2,9

0,4981

0,4982

0,4984

0,4985

0,4986

0, 4

0,155

0,163

0,170

0,177

0,184

3,0

0,4987

0,4987

0,4988

0,4989

0,49 2 0 0

0,5

0,191

0,198

0,205

0,212

0,219

3,1

0,49 2 03

0,49 2 1 0

0 , 492 16

0,49 2 2 1

0,49 2 26

0,6

0,226

0,232

0,239

0,245

0,252

3,2

0,49 2 31

0,49 2 3 6

0,49 2 4 0

0,49 2 4 4

0 , 4 9 4 8

0, 7

0,258

0,264

0,270

0,276

0,282

3,3

0,49 2 52

0,49 2 5 5

0,49 2 5 8

0,49 2 6 1

0,49 2 6 4

0, 8

0,288

0,294

0,300

0,305

0,311

3, 4

0,49*66

0,49*69

0,49 2 7 1

0,49 2 7 3

0,49 2 75

0,9

0,316

0,321

0,326

0,331

0,336

3,5

0,492 77

0,49 2 7 8

0,49 2 8 0

0,49 2 8 1

0,49 2 83

1,0

0,341

0,346

0,351

0,355

0,360

3,6

0,49 2 84

0,49 2 85

0,49 2 8 6

0 , 492 87

0,49 2 8 8

1,1

0,364

0,369

0,373

0,377

0,381

3,7

0,492 89

0,49 3 0 0

0,49 3 0 8

0,49 3 15

0,49 3 2 2

1,2

0,385

0,389

0,393

0,396

0,400

3,8

0,493 28

0,49

3 33

0,49 3 3 8

0,49 3 43

0,49 3 48

1,3

0,403

0,407

0,410

0,413

0,416

3,9

0,49 3 52

0,49 3 5 6

0 , 493 59

0,49 3 63

0,49 3 6 6

1,4

0,419

0,422

0,425

0,428

0,431

4, 0

0,49 3 68

0,49 3 7 1

0,49 3 73

0,49 3 75

0,49 3 77

1,5

0,433

0,436

0,438

0,441

0,443

4 , 1

0,49 3 79

0,49 3 8 1

0,49 3 83 0,49 3 84

0,49 3 8 5

1,6

0,445

0,447

0,449

0,452

0,454

4, 2

0,49 3 87

0,49 3 88

0,49 3 89

0,49 4 0 0

0,49 4 0 7

1,7

0,455

0,457

0,459

0,461

0,462

4,3

0,49*15

0,49 4 22

0,49 4 2 9

0,49 4 3 5

0,49*41

1,8

0,464

0,466

0,467

0,469

0,470

4, 4

0 , 4 9 4 6

0,49 4 5 1

0,49 4 5 5

0,49 4 5 9

0,49*63

1,9

0,471

0,473

0,474

0,475

0,476

4, 5

0,49 4 6 6

0,49 4 69

0,49 4 7 2

0,49 4 7 4

0,49 4 7 7

2, 0

0,477

0,478

0,479

0,480

0,481

4 , 6

0,49*79

0,49*81

0,49 4 8 3

0,49 4 8 4

0,49*86

2 , 1

0,482

0,483

0,484

0,485

0,485

4,7

0,49 4 8 7

0,49 4 8 8

0,49 4 8 9

0,49 5 0 3

0,495 12

2, 2

0,486

0,487

0,487

0,488

0,489

4, 8

0 , 4 Э б 2 1

0,49 6 2 8

0,49 6 3 5

0,49 в 4 1

0,49 5 4 7

2,3

0,4893

0,4898

0,4904

0,4909

0,4913

4,9

0,49 6 52

0,49 6 57

0,49 6 6 1

0,49 б 6 5

0,49 в 68

2 , 4

0,4918

0,4922

0,4927

0,4931

0,4934

5

0,49 5 71

0,49 5 7 4

0,49 5 77

0,49 5 7 9

0,49581

2,5

0,4938

0,4941

0,4945

0,4948

0,4951

OQ

0,5

—

—

—

—

• Числа 0,492 00— 0,49"81 следует читать 0,49900 — 0,49999981 соответственно.

 

 

 

 

Н е п о л н а я Y - ф у н к ц и я * Y a ( и ) = -рт

^у ^

2 а — ' е х р ( — г ) й г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

а

0, 1

0,3

0,7

 

1,7

 

 

2,3

2,7

3,4

3,8

4,4

и

^^.^

1,3

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,1

0,828

0,546

0,211

0,041

0,012

0,5

0,054

0,026

0,006

0,003

0,001

 

0, 3

0,908

0,577

0,420

0,152

0,069

1

 

0,190

0,118

0,046

0,026

0,010

 

0,5

0,941

0,647

0,545

0,265

0,147

2

 

0,507

0,397

0,239

0,171

0,098

 

0,7

0,960

0,867

0,657

0,370

0,231

3

 

0,738

0,648

0,483

0,394

0,277

 

ъ о

0,976

0,916

0,761

0,506

0,356

4

 

0,872

0,813

0,687

0,607

0,486

 

1,2

0,982

0,937

0,811

0,582

0,435

5

 

0,940

0,907

0,825

0,767

. 0,667

 

1,5 .

0,989

0,958

0,866

0,677

0,540

6

 

0,973

0,956

0,908

0,870

0,800

 

2, 0

0,994

0,978

0,924

0,792

0,682

7

 

0,988

0,980

0,954

0,932

0,887

 

2,5

0,997

0,988

0,956

0,868

0,785

8

 

0,995

0,991

0,978

0,965

0,939

 

3,0

0,998

0,994

0,974

0,916

0,856

10

 

0,999

0,998

0,995

0,992

0,984

 

5,0

1,000

0,999

0,997

0,987

0,974

12

 

1,000

1,000

0,999

0,998

0,996

 

8,0

1,000

1,000

1,000

0,999

0,998

14

 

1,000

1,000

1,000

1,000

0,999

Для а = А / 2 , где А —целое число, у а (ы) = 1 — $>{2и, 2а) : 0>(х, k) см. в табл. П.З.

Смотрите также файлы