Файл: Вапник В.Н. Теория распознавания образов. Статистические проблемы обучения.pdf

260 гл . XI. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Действительно,

Сп-С21t--гП

сггI

есть вероятность вынуть г черных шаров из урны, содер­ жащей п черных и 21 — п белых шаров, когда вынимается случайно I шаров без возвращения. При этом математи­ ческое ожидание числа черных шаров в выборке равно nt2 и правая часть формулы (11.23) выражает вероят­ ность того, что число черных шаров в выборке отклонит­ ся от математического ожидания более чем на гп. Пос­ кольку для схемы без возвращения справедлив закон больших чисел, формула (11.23) верна, начиная с дос­ таточно больших I.

Аналогично

есть вероятность вынуть t черных шаров из урны, содер­ жащей р черных и 21 — п — р белых шаров, когда вынимается шаров, опять-таки без возвращения. Математическое ожидание черных шаров в выборке равно

гР ( і - г ) l 2I — п — р

и, следовательно, формула (11.24) выражает закон боль­ ших чисел в этом случае.

Тогда, учитывая что число разбиений R k подвыборки

х й Р ( Х 2г)>(і-т])*(і-р-(-і-, г)).

262 ГЛ. X I. НЕОБХОДИМ Ы Е И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ

и, следовательно, с вероятностью 1

sup IV (Ä) — P (A) I > 0,5

A e s

(в действительности нетрудно убедиться, что в данном

случае почти наверное sup | ѵ (.4) —- Р (А) \ = 1). AeS

Таким образом, равномерной сходимости нет, несмот­ ря на то, что система S содержит лишь счетное число событий.

2. В примере 3 § 3 главы X рассматриваются «-мер­ ное пространство Е п и система событий вида

{х : (.X, ф) > 0}

цри всевозможных ф (ф=^0).

Нетрудно убедиться, что если точки хѵ . . ., х2і на«

с вероятностью 1 выборка удовлетворяет условию общ­ ности положения. Поэтому при 1< - т

Л І Ш - і 21 — А

и

sup IV (4) — Р (A) I ]> 0,5

Ae S

свероятностью 1. Таким образом, пока длина выборки меньше половины размерности пространства, максималь­ ное уклонение частоты от вероятности остается большим.

3.Установим еще один критерий, который позволяет судить о наличии равномерной сходимости в тех случаях, когда достаточные условия не выполняются.

Теорема 11.2. Пустъ в пространстве X заданы веро­ ятностная мера Р (х) и система событий S . Допустим,

В ^ А ^ С

264 ГЛ. X I. НЕОБХОДИМ Ы Е И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Си ( Х / Х п),

где Q произвольное подмножество X (п).

При этом для каждого А ЕЕ S можно указать В g= S t и С S 2, удовлетворяющие условию теоремы, а именно:

С = А {] X (п),

В = {А О X (п)) U (X I X (п)).

Поскольку системы S x и <5>2 конечны, для них выпол­ няется равномерная сходимость, а следовательно, она имеет место и для системы S. Таким образом, если X — счет­ ное множество, то равномерная сходимость частот к вероятнос­ тям имеет место всегда. При этом^ система S может быть та­ кой, "что ms (I) == 21. В этом случае скорость сходимости мо­ жет быть сколь угодно низкой.

5. Рассмотрим еще один лю бопытный пример. Пусть X — двумерная плоскость, а систе­ ма S состоит из всех выпуклых замкнутых множеств на плос­ кости. В этом случае

ms (I) == 2'.

В самом деле, разместим I точек хъ . . ., х х на окружно­ сти (рис. 22). Рассмотрим любую подпоследовательность x t , . . . , хіг (на рисунке эти точки отмечены крестиками, а остальные — кружками). Вписанный замкнутый вы­ пуклый многогранник с вершинами в точках'жг , . . ., хіг, очевидно, содержит эти точки и не содержит никаких других из числа хг , . . . , x t. Значит, система S инду­ цирует на хг , . . . , хі любую подвыборку:

A s О н , • • •, я г) = 2 '