4. 
   Построить кривые распределения Эрланга и Энгсета и получить численное доказательство того, что сумма вероятностей состояний полнодоступного пучка при обслуживании примитивного и простейшего потока вызовов составит
   

5. 
   Установить взаимосвязь между рассматриваемыми моделями, выявив условия перехода формулы Энгсета в первую формулу Эрланга.
   
6. 
   По результатам проведенных исследований сформулировать выводы относительно соответствия процесса обслуживания реального потока сообщений математическим моделям, описываемым первой формулой Эрланга и формулой Энгсета.
   

Таблица 5 – Результаты измерений числа одновременно занятых линий

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1 день	1	3	1	4	5	3	2	0	1	3	1	1
2 день	0	1	1	2	1	0	1	3	5	5	4	2
3 день	2	2	5	5	5	5	4	2	1	1	0	0

---

Таблица 6 – Исходные данные

с	t, c	ν	N
90	100	5	20

Решение:

1. 
   Интенсивность обслуженной нагрузки определяется как
   

, где

- число одновременно занятых линий при каждом измерении (k = 1,2,..,12) в j-й день измерений (j = 1,2,3).

Для 1 дня: = 25

Для 2 дня: = 25

Для 3 дня: = 32


Интенсивность поступающей нагрузки:




Интенсивность потерянной нагрузки:





Вероятность потерь по нагрузке:

2. 
   Предположим, что поступающий поток вызовов является простейшим потоком. Для его полного описания достаточно знать интенсивность потока μ, зная которую можно оценить все остальные характеристики потока (параметр λ, функцию распределения промежутков между вызовами А(х), вероятность поступления определенного числа вызовов k за некоторый промежуток времени t – P_k(t)).
   

Если принять за единицу времени ЧНН, то правомерно приравнять эмпирическое значение среднего числа вызовов в ЧНН его теоретическому значению:

.

Переходя к расчету характеристик модели обслуживания М/М/ν/К (процесс обслуживания простейшего потока вызовов полнодоступным пучком линий с потерями при показательном распределении длительности обслуживания), К=ν, также правомерно приравнять эмпирическое значение интенсивности поступающей нагрузки его теоретическому значению

---

у:



Модель М/М/ν/К, К=ν описывается первым распределением Эрланга:



Р₅ = 0,069731

Р₄ = 0,139462

Р₃ = 0,22314

Р₂ = 0,267767

Р₁ = 0,214214

Р₀ = 0,085686
где -вероятность того, что в полнодоступном пучке из ν линий, на который поступает нагрузка интенсивности у, занято точно i линий .

Вероятность занятости в пучке всех ν линий Р_ν равна вероятности потерь по вызовам Р_в, времени Р_t и нагрузке Р_н:



Согласно таблицам из Приложения 2 вероятность занятости в пучке всех ν линий Р_ν равна 0,0697, т.е. Рв=Рt=Рн=0,0697

Интенсивность обслуженной нагрузки равна:



Интенсивность потерянной нагрузки:



Определим отклонения теоретических значений Р_н и у_об от эмпирических, и , в %:

3. 
   Предположим, что поступающий поток вызовов является примитивным, который характеризуется переменным параметром λ_i, пропорциональным числу свободных источников (абонентов):
   

где N – общее число источников, i – число занятых источников, α – параметр потока одного свободного источника.

В сущности, примитивный поток – это суммарный поток, т.е. от каждого свободного источника поступают простейшие взаимно независимые потоки.

Модель обслуживания примитивного потока полнодоступным пучком (модель М/М/ν/K/N, К=ν) описывается формулой Энгсета.

---

Распределение Энгсета P_i и характеристики качества прохождения нагрузки имеют следующий вид:







,

при этом Р_н < P_в < P_t = P_ν, где α/β= α×1/β – среднее число вызовов, посылаемое одним свободным источником в течение интервала времени, равного средней длительности обслуживания;

- нагрузка, создаваемая одним источником, т.е. отношение средней длительности обслуживания к сумме средней длительности обслуживания и расстояния от момента окончания обслуживания до момента посылки нового вызова.

Нагрузка, создаваемая одним источником равна:



Тогда согласно Приложению 3:

Р_в = 0,0564

P_t = P_ν = 0,0665



Распределение вероятностей P_i рассчитывается через рекуррентное соотношение, начиная с i=ν:





. . . . . . .



Р₅ = 0,0564

Р₄ = 0,1455

Р₃ = 0,2396

Р₂ = 0,2796

Р₁ = 0,2068

Р₀ = 0,0721

При расчете характеристик модели М/М/ν/К/N, К=ν будем исходить из численного равенства между эмпирическим значением интенсивности поступающей нагрузки и ее математическим ожиданием ( ).

Интенсивность поступающей нагрузки на ν линий от N источников (по определению среднего значения)

---

Интенсивность обслуженной нагрузки (среднее число занятых линий i):



Интенсивность потерянной нагрузки:



Определим отклонения теоретических значений Р_н и у_об от эмпирических, и , в %:

4. 
   Сумма вероятностей состояний полнодоступного пучка при обслуживании примитивного и простейшего потоков составляет 1:
   

Это легко доказать.

Для простейшего потока:

0,069731+0,139462+0,22314+0,267767+0,214214+0,085686= 1

Для примитивного потока:

0,0564+0,1455+0,2396+0,2796+0,2068+0,0721=1

5. 
   Характер зависимости величины поступающей нагрузки na от емкости пучка линий v, который обслуживает вызовы примитивного потока, поступающие от фиксированного числа источников n, такой же, как при обслуживании вызовов простейшего потока. Однако на пропускную способность пучка влияет число источников вызовов n: в области малых потерь с уменьшением n увеличивается пропускная способность пучка. При увеличении потерь Р_в:
   

- существенно уменьшается влияние n на пропускную способность пучка;

- сокращается различие между пропускной способностью пучков, обслуживающих вызовы примитивного и простейшего потоков.

6. 
   По результатам проведенных исследований можно Сопоставить реальный поток обслуживания вызовов и две математические модели: простейший поток и примитивный поток.
   

У простейшего потока интенсивность обслуженной нагрузки отличается от реальной на 2.19%, а у примитивного потока – на 4.96%.

Вероятность потерь по нагрузке отличается от реального потока на 20,8 %, у примитивного – на 43.63 %.

---

Смотрите также файлы

• Сомнения 4 12.docx

• Язык как основное средство человеческого общения.docx

• Отчетность рабочих перед начальниками, начальников перед директором. Премии рабочим за качественную работу.docx

• Основная образовательная программа начального общего образования должна содержать следующие разделы 1 пояснительная записка. Пояснительная записка должна раскрывать 1 цели реализации основной образовательной программы начального общего образования.docx

• Разработка системы мгновенного обмена сообщениями.docx