Файл: Авторы А. Е. Абылкасымова, Т. П. Кучер,В. Е. Корчевский, З. А. Жумагулова Абылкасымова А. Е, Кучер Т. П., Корчевский В. Е., Жумагулова за издательство Мектеп,.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 26.04.2024

Просмотров: 9

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Пособие для учителей 9 классов общеобразовательных школ
ЭЛЕКТРОННОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ К УЧЕБНИКУ
Издательство «Мектеп» АЛГЕБРА КЛАСС
Алгебра Электронное приложение Пособие для учителей 9 кл. общеобразоват. шк. / А.Е.Абылкасымова, Т.П.Кучер , В.Е.Корчевский,
З.А.Жумагулова. — Алматы: Мектеп, 2019. — 79 с.
Авторы:
А.Е.Абылкасымова, Т.П.Кучер ,
В.Е.Корчевский, З.А.Жумагулова
© Абылкасымова А. Е,
Кучер Т. П. , Корчевский В.Е.,
Жумагулова ЗА Издательство “Мектеп”,
художественное оформление, 2019
Все права защищены Имущественное право на издание принадлежат издательству “Мектеп”
ПРИЕМЫ ИЗ ТЕХНОЛОГИИ РАЗВИТИЯ КРИТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ С МАТЕМАТИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ 1. Нелинейные уравнения с двумя переменными
Детям предлагается выразить свое отношение кряду утверждений по правилу согласен – “+”, несогласен, и зафиксировать это в таблице.
Согласен
Не согласен
Вывод
Уравнения: х – ху + 2 = 0 и уху+ х = 18 являются нелинейными уравнениями с двумя переменными
Уравнениями с двумя переменными хи у называются уравнениями, которые имеют вид
f (x, y) = q (x, y), где f (x, y) и
q (x, y), — выражения с переменными хи у
Любое уравнение с двумя переменными можно привести к виду х, у) = 0, левая часть которого — многочлен стандартного вида
Число 2 является решением нелинейного уравнения с двумя переменными х (4 – у = Пара (4; 3) значений переменных хи у является решением нелинейного уравнения с двумя переменными х х – у = Пара (0;
–4) значений переменных хи у не является решением нелинейного уравнения с двумя переменными х х – у = Два уравнения, имеющие одно и тоже множество решений, называются равносильными уравнениями
Графиком уравнения с двумя переменными
xy = 1 является гипербола
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения

4
§ 2. Система нелинейных уравнений с двумя переменными
При изучении этой темы можно использовать прием из технологии развития критического мышления“До—После”.Его надо использовать на 1 этапе урока, как прием, актуализирующий знания учащихся, а также на этапе рефлексии. Этот прием формирует умение прогнозировать события умение соотносить известные и неизвестные факты умение выражать свои мысли умение сравнивать и делать вывод.
"До"
"После"
Вывод. Я думаю, что Я прав (неправ, так как ... Почему пара чисел (0; 1) является решением системы нелинейных уравнений с двумя переменными −




5 5
5 5
2
,
? Почему пара чисел (0; –1) не является решением системы нелинейных уравнений с двумя переменными
x
y
x
y
+
=
−
= −




5 5
5 Можно ли решить систему нелинейных уравнений с двумя переменными способом
x
y
x
y
2 2
7 58 12 алгебраического сложения?
Можно ли решить систему нелинейных уравнений с двумя переменными
x
y
x
y
2 2
20 6
+
=
+
=




,
способом подстановки?
Можно ли решить систему нелинейных уравнений с двумя переменными 2
16 графическим способом

5
§ 3. Решение систем нелинейных уравнений с двумя переменными Эту тему можно предложить учащимся изучить самостоятельно по тексту учебника (этот текст помещен в приложении к учебнику и может быть распечатан)и использовать прием критического мышления “Инсерт”. Он способствует формированию умения систематизировать и анализировать информацию, обеспечивает вдумчивое, внимательное чтение, делает зримым процесс накопления информации, путь от старого знания к новому. Авторами этого приема являются Воган и Эстес.
“Инсерт” — это
I — interactive — самоактивизирующая
N — noting — обозначение — system — системная разметка — effective — для эффективного — reading — чтения — thinking — и размышления.
Прием используется в три этапа Первый этап в процессе чтения учащиеся маркируют текст значками
(“V” — уже знал “+” — новое “–” — думал иначе “?” — не понял, есть вопросы Второй этап учащиеся заполняют таблицу — уже знал — новое — думал иначе — не понял, есть вопросы
Третий этап обсуждение записей, внесенных в таблицу.

§ 4. Решение текстовых задач с помощью систем нелинейных уравнений с двумя переменными
Эту тему можно предложить учащимся изучить самостоятельно по тексту учебника (этот текст помещен в приложении к учебнику и может быть распечатан)и использовать прием критического мышления “Инсерт”. Методика его применения описана в § 3.
“ V ” — уже знал + ” — новое – ” — думал иначе ? ” — не понял, есть вопросы

7
§ 5. Неравенства с двумя переменными
Организовать самостоятельное овладение учащимися умением решения неравенств с двумя переменными можно, используя игру“Снежный ком. Сначала каждый учащийся выполняет задания по карточке с печатной основой, думает индивидуально и записывает свое решение. Затем учащиеся объединяются по 2 человека, обсуждают свои решения. Далее учащиеся объединяются по 4 человека итак далее, ноне более 8 человек. Объединять в группы можно по-разному. Потом группа из 8 человек записывает свои ответы на лист бумаги, приклеивает их на доску или на большой лист и презентует выполненное.
Карточка 1
Задание
Решение
1) Постройте график функции ух) Сравните ординаты точек, расположенных выше прямой и имеющих абсциссу
3, с ординатой точки с такой же абсциссой, но принадлежащей графику функции ух) Решением какого неравенства будет множество точек плоскости, расположенных выше прямой ух) Сравните ординаты точек, расположенных ниже прямой и имеющих абсциссу
3, с ординатой точки с такой же абсциссой, но принадлежащей графику функции ух) Решением какого неравенства будет множество точек плоскости, расположенных ниже прямой ух) Решением какого неравенства будет множество точек плоскости, расположенных на прямой ухи ниже нее?
Карточка 2
Задание
Решение
1) Постройте график функции ух) Сравните ординаты точек, расположенных выше прямой и имеющих абсциссу 4, с ординатой точки с такой же абсциссой, но принадлежащей графику функции ух) Решением какого неравенства будет множество точек плоскости, расположенных выше прямой ух) Сравните ординаты точек, расположенных ниже прямой и имеющих абсциссу 4, с ординатой точки с такой же абсциссой, но принадлежащей графику функции ух) Решением какого неравенства будет множество точек плоскости, расположенных ниже прямой ух) Решением какого неравенства будет множество точек плоскости, расположенных на прямой ухи ниже нее?
Карточка 3
Задание
Решение
1) Постройте график функции ух) Сравните ординаты точек, расположенных выше прямой и имеющих абсциссу 1, с ординатой точки с такой же абсциссой, но принадлежащей графику функции ух) Решением какого неравенства будет множество точек плоскости, расположенных выше прямой ух) Сравните ординаты точек, расположенных ниже прямой и имеющих абсциссу 1, с ординатой точки с такой же абсциссой, но принадлежащей графику функции ух) Решением какого неравенства будет множество точек плоскости, расположенных ниже прямой ух) Решением какого неравенства будет множество точек плоскости, расположенных на прямой ухи ниже нее
Карточка 4
Задание
Решение
1) Постройте график функции ух) Сравните ординаты точек, расположенных выше прямой и имеющих абсциссу 2, с ординатой точки с такой же абсциссой, но принадлежащей графику функции ух) Решением какого неравенства будет множество точек плоскости, расположенных выше прямой ух) Сравните ординаты точек, расположенных ниже прямой и имеющих абсциссу 2, с ординатой точки с такой же абсциссой, но принадлежащей графику функции ух) Решением какого неравенства будет множество точек плоскости, расположенных ниже прямой ух) Решением какого неравенства будет множество точек плоскости, расположенных на прямой ухи ниже нее

10
§ 6. Системы нелинейных неравенств с двумя переменными и их решение Работу над новой темой можно организовать, используя один из приемов критического мышления Вращающаяся станция. Учащиеся делятся на несколько групп (например, по цвету карточек, по дню или месяцу рождения, первой букве имени, цвету глаз, росту и т.д.), каждая из которых решает одну из проблем. Дети используют карточки для групп.
Проблема Изобразите водной и той же координатной плоскости решения каждого неравенства системы
x
y
x
y
2 0
3
+
+




m в отдельности, а затем найдите их общее решение.
Проблема Изобразите водной и той же координатной плоскости решения каждого неравенства системы
x
y
x
y
2 2
9 3
+
−




m в отдельности, а затем найдите их общее решение.
Проблема Изобразите водной и той же координатной плоскости решения каждого неравенства системы
x
y
xy
2 2
16 1
+




l в отдельности, а затем найдите их общее решение.
Проблема Изобразите водной и той же координатной плоскости решения каждого неравенства системы
x
y
y
x
2 2
9 1
+




l в отдельности, а затем найдите их общее решение

11
§ 7. Основные понятия и правила комбинаторики правило суммы и правило произведения)
Эту тему можно предложить учащимся изучить самостоятельно по тексту учебника и использовать прием критического мышления Вопросы на стикерах”. При этом можно использовать Ромашку Блума”. После ознакомления с содержанием текста § 7 учащимся дают задание сформулировать вопросы и записать их на стикерах. Вопросы могут начинаться со слов как, почему …., где можно использовать . Затем отвечать на эти вопросы, сгруппировав и расположив их около лепестков ромашки по категориям Простые вопросы
Это вопросы, отвечая на которые, нужно назвать какие-то факты, вспомнить, воспроизвести прочитанное. В данном случае это могут быть вопросы Какие задачи называются комбинаторными, Что такое правило суммы, Что такое правило произведения, Как найти число элементов объединения двух множеств, В каких случаях используется 1) правило суммы 2) правило произведения и т.п.
Интерпретационные (объясняющие) вопросы
Примером таких вопросов может быть вопрос Почему, если элемент х
∈ Х можно выбрать
m способами, а элемент y
∈ Y – k способами, то пару хи можно выбрать
m · k способами, Почему число элементов в объединении двух пересекающихся множеств
X и Y, которые имеют с общих элементов, а множество X содержит а элементов, множество Y содержит b элементов, равнозначению выражения (а + b) – с?”.
Творческие вопросы
Когда в вопросе есть частица бы, а в его формулировке есть элементы условности, предположения, фантазии прогноза. Изменился бы результат, если для решения комбинаторной задачи использовать не правила суммы и произведения, а способ перебора, Как выдумаете, любую ли комбинаторную задачу можно решить способом перебора ”, Оценочные вопросы
“Почему при наличии большого числа вариантов комбинаций элементов много лучше использовать не способ перебора, а правила комбинаторики?”,“Чем правило суммы отличается отправила произведения, В каких случаях способ перебора использовать нецелесообразно, а в каких — целесообразно и т. д.
Практические вопросы
“Для чего нужны правила комбинаторики, Какие практические задачи можно решать, используя правила суммы и произведения?”.
Уточняющие вопросы
Их можно задавать в процессе ответов на поставленные вопросы. Обычно начинаются со слов То есть выговорите, что, Если я правильно понял, то, Я могу ошибаться, но, по-моему, высказали о. Целью этих вопросов является предоставление обратной связи учащемуся относительно того, что он только что сказал. Иногда их задают с целью получения информации, отсутствующей в сообщении, но подразумевающейся

12
§ 8. Факториал числа. Перестановки и размещения Формирование умений применять формулы для вычисления размещений и перестановок без повторений можно организовать, используя методику Вращающаяся станция. Методика применения этого приема описана в § Проблема Используя формулу
P
n
=
n!, вычислите Используя формулу
n
k
A
=
n
n
k
!
(
) !
−
, вычислите
A
5 Проблема Используя формулу
P
n
=
n!, вычислите Используя формулу
n
k
A
=
n
n
k
!
(
) !
−
, вычислите
A
5 Проблема Используя формулу
P
n
=
n!, вычислите Используя формулу
n
k
A
=
n
n
k
!
(
) !
−
, вычислите
A
6 2

13
§ 9. Сочетания без повторений. Основные формулы комбинаторики
Формирование умений применять формулы для вычисления сочетания без повторений и сочетания с повторениями и использовать свойства сочетаний без повторений можно организовать, используя методику Вращающаяся станция. Методика применения этого приема описана в § Проблема Используя формулу
n
k
C
=
n
k n
k
!
!(
) !
−
, вычислите
C
5 Проблема Используя формулу
n
k
C
=
n
k n
k
!
!(
) !
−
, вычислите
C
5 Проблема Используя формулу
n
k
C
=
n
k n
k
!
!(
) !
−
, вычислите
C
6 2

14
§ 10. Решение задач с использованием формул комбинаторики Эту тему можно предложить учащимся изучить самостоятельно по тексту учебника (этот текст помещен в приложении к учебнику и может быть распечатан)и использовать прим критического мышления “Инсерт”. Методика его применения описана в § 3.
“ V ” — уже знал + ” — новое – ” — думал иначе ? ” — не понял, есть вопросы

15
§ 11. Бином Ньютона и его свойства
Организовать самостоятельный вывод формулы бинома Ньютона и его свойств можно, используя игру Снежный ком. Методика применения этого приема описана в § Карточка 1
Задание
Ответы
Выполните преобразованиях + ахах+ ахах+ ахах+ а Сравните показатель степени пи число слагаемых
— изменения показателей степеней хи а
— коэффициенты слагаемых, равноотстоящих от начала и от конца число слагаемых и показатель степени двучлена
Проверьте для выполненных выше преобразований справедливость формулы:
(
х + а =
n
C
0
·
a
0 п
+
n
C
1
·
a
1 п
+
n
C
2
·
a
2 п
+
.... +
n
k
C
· ·
a
k п
+ … +
n
n
C
− 1
·
a
n–1
·
x
1
+
n
n
C
·
a
n Карточка 2
Задание
Ответы
Выполните преобразования:
(
у + b)
2
у + у + у + b)
3
у + b)
4
у + b)
5
у + b)
6
=
Сравните:
показатель степени пи число слагаемых изменения показателей степеней у и коэффициенты слагаемых, равноотстоящих от начала и от конца число слагаемых и показатель степени двучлена
Проверьте для выполненных выше преобразований справедливость формулы:
(
у + b)
n
=
n
C
0
·
b
0 п
+
n
C
1
·
b
1 п
+
n
C
2
·
d
2 п
+
.... +
n
k
C
·
b
k п
+ … +
n
n
C
− 1
·
b
n–1
·
y
1
+
n
n
C
·
b
n Карточка 3
Задание
Ответы
Выполните преобразования + c)
2
=
z
2
+ 2
cz+ c
2
(
z + c)
3
=
(
z + c)
4
=
(
z + c)
5
=
(
z + c)
6
=
Сравните:
показатель степени пи число слагаемых изменения показателей степеней
z и с
коэффициенты слагаемых, равноотстоящих от начала и от конца число слагаемых и показатель степени двучлена
Проверьте для выполненных выше преобразований справедливость формулы + c)
n
=
n
C
0
·
c
0 п
+
n
C
1
·
c
1 п+
n
C
2
·
c
2 п
+
.... +
n
k
C
·
c
k п+
+ … +
n
n
C
− 1
·
c
n–1
·
z
1
+
n
n
C
·
c
n
·
z
п
Карточка 4
Задание
Ответы
Выполните преобразованиях + d)
2
х + х + d
х + d)
3
х + d)
4
х + d)
5
х + d)
6
=
Cравните:
показатель степени пи число слагаемых изменения показателей степеней хи коэффициенты слагаемых, равноотстоящих от начала и от конца число слагаемых и показатель степени двучлена
Проверьте для выполненных выше преобразований справедливость формулы:
(
х + d)
n
=
n
C
0
·
d
0 п
+
n
C
1
·
d
1 п
+
n
C
2
·
d
2 п
+
.... +
n
k
C
·
d
k
· п
+ … +
n
n
C
− 1
·
d
n–1
·
x
1
+
n
n
C
·
d
n
·
x
0

18
§ 12. Числовая последовательность, ее виды, способы задания и свойства
При изучении этой темы можно использовать прием из технологии развития критического мышления “До—После”. Методика его использования описана в параграфе 2.
“До”
“После”
Вывод. Я думаю, что Я прав неправ, так как Почему числовую последовательность
1,
1 2
1 3
,
… — чисел, обратных всем натуральным числам называют бесконечной, а числовую последовательность 1, 2, 3, …
9 — всех однозначных чисел называют
конечной?
Почему числовую последовательность
1,
1 2
1 3
,
… называют убывающей, числовую последовательность 1, 2, 3, … 9 —
возрас-
тающей?
Почему числовую последовательность
1,
1 2
,
1 2
1 3
,
,
1 4
1 5
, называют невозрастающей, числовую последовательность 1, 2, 3, 3, 4, 5,
5,…, 9 … –
неубывающей?
Почему последовательность 11; 12; 13, 14,
… является ограниченной снизу, последовательность ограниченной сверху, а последовательность 100; 200; 300;
…; 1000 – ограниченной?
Почему способ задания числовой последовательности трехзначных чисел назвали словесным способом?
Можно ли составить числовую последовательность по формуле го члена (общего члена) а Можно ли составить числовую последовательность, зная первые два ее члена и формулу, по которой находят другие члены, возвращаясь к предшествующим
Как изобразили график числовой последовательности. Арифметическая прогрессия. Формула го члена арифметической прогрессии
Организовать самостоятельный вывод учащимися формул арифметической прогрессии можно, используя игру Снежный ком. Методика использования игры описана в § Карточка 1
Задание
Решение
1) Как можно найти а + 1
член последовательности 7; 10; 13; 16; 19;
22, начиная со второго члена, если известен члена) Как можно получить второй член арифметической прогрессии 7; 10;
13; 16; 19; 22 из первого и третьего) Как можно получить третий член арифметической прогрессии 7; 10;
13; 16; 19; 22 из второго и четвертого) Как можно получить четвертый член арифметической прогрессии
7; 10; 13; 16; 19; 22 из третьего и пятого) Как можно получить пятый член арифметической прогрессии
7; 10; 13; 16; 19; 22 из четвертого и шестого) На основании выполненных заданий) запишите формулу, связывающую член арифметической прогрессии с соседними с ним членами и
a
n + 1 7) Используя определение арифметической прогрессии (связь
a
n + 1
си, выразите a
2
,
a
3
,
a
4
,
a
5
через
a
1
и
d.
a
2
=
a
1
+
d,
a
3
=
=
=
,
a
4
=
=
=
,
a
5
=
=
=
,
8) Используя полученные при выполнении задания 7) результаты, попробуйте установить закономерность и записать формулу, выражающую
a
n
через
a
1
и
d, которая называется формулой го члена арифметической прогрессии
Карточка 2
Задание
Решение
1) Как можно найти а + 1
член последовательности 1; 5; 9; 13;
17; 21, начиная со второго члена, если известен члена) Как можно получить второй член арифметической прогрессии
1; 5; 9; 13; 17; 21 из первого и третьего) Как можно получить третий член арифметической прогрессии
1; 5; 9; 13; 17; 21 из второго и четвертого) Как можно получить четвертый член арифметической прогрессии из третьего и пятого) Как можно получить пятый член арифметической прогрессии
1; 5; 9; 13; 17; 21 из четвертого и шестого) На основании выполненных заданий 2) – 5) запишите формулу, связывающую член арифметической прогрессии с соседними с ним членами
a
n – 1
и
a
n + 1 7) Используя определение арифметической прогрессии (связь
a
n + си, выразите a
2
,
a
3
,
a
4
,
a
5
через
a
1
и
d.
a
2
=
a
1
+
d,
a
3
=
=
=
,
a
4
=
=
=
,
a
5
=
=
=
,
8) Используя полученные при выполнении 7) задания результаты, попробуйте установить закономерность и записать формулу, выражающую
a
n
через
a
1
и
d, которая называется формулой го члена арифметической прогрессии
Карточка 3
Задание
Решение
1) Как можно найти а + 1
член последовательности 6; 9; 12; 15; 18;
21, начиная со второго члена, если известен члена) Как можно получить второй член арифметической прогрессии
6; 9; 12; 15; 18; 21 из первого и третьего) Как можно получить третий член арифметической прогрессии
6; 9; 12; 15; 18; 21 из второго и четвертого) Как можно получить четвертый член арифметической прогрессии
6; 9; 12; 15; 18; 21 из третьего и пятого) Как можно получить пятый член арифметической прогрессии
6; 9; 12; 15; 18; 21 из четвертого и шестого) На основании выполненных заданий) запишите формулу, связывающую член арифметической прогрессии с соседними с ним членами
a
n – 1
и
a
n + 1 7) Используя определение арифметической прогрессии (связь
a
n + си, выразите a
2
,
a
3
,
a
4
, через
a
1
и
d.
a
2
=
a
1
+
d,
a
3
=
=
=
,
a
4
=
=
=
,
a
5
=
=
=
,
8) Используя полученные при выполнении задания 7) результаты, попробуйте установить закономерность и записать формулу, выражающую через
a
1
и
d, которая называется формулой го члена арифметической прогрессии
Карточка 4
Задание
Решение
1) Как можно найти а + 1
член последовательности 7; 14; 21; 28;
35; 42, начиная со второго члена, если известен члена) Как можно получить второй член арифметической прогрессии
7; 14; 21; 28; 35; 42 из первого и третьего) Как можно получить третий член арифметической прогрессии
7; 14; 21; 28; 35; 42 из второго и четвертого) Как можно получить четвертый член арифметической прогрессии из третьего и пятого) Как можно получить пятый член арифметической прогрессии
7; 14; 21; 28; 35; 42 из четвертого и шестого) На основании выполненных заданий 2) – 5) запишите формулу, связывающую член арифметической прогрессии с соседними с ним членами
a
n – 1
и
a
n + 1 7) Используя определение арифметической прогрессии (связь
a
n + 1
си, выразите a
2
,
a
3
,
a
4
,
a
5
через
a
1
и
d.
a
2
=
a
1
+
d,
a
3
=
=
=
,
a
4
=
=
=
,
a
5
=
=
=
,
8) Используя полученные при выполнении задания 7) результаты, попробуйте установить закономерность и записать формулу, выражающую
a
n
через
a
1
и
d, которая называется формулой го члена арифметической прогрессии. Формула для вычисления значения суммы первых ï членов арифметической прогрессии
Организовать самостоятельный вывод учащимися формулы суммы п первых членов арифметической прогрессии можно, используя игру Снежный ком. Методика использования игры описана в § Карточка Найдите значение суммы 100 членов арифметической прогрессии 2, 5, 8,
10, 13, …., Если последовательно выполнять сложение чисел, то понадобится много времени. Попытайтесь найти более рациональный способ нахождения значения искомой суммы. Запишите сумму этих чисел дважды, расположив первый раз слагаемые в порядке возрастания, а второй разв порядке убывания 5
8 11 290 293 296 299
+
+
+
+
+
+
+
+
299 296 293 290 11 8
5 Чему равно значение суммы чисел, расположенных друг под другом?
По какой формуле можно вычислить значение суммы первых
n членов арифметической прогрессии
a
1
+ a
2
+ a
3
+ … + a
n
? Обозначьте эту сумму через Карточка Найдите значение суммы 99 членов арифметической прогрессии 4, 8, 12,
16, …., Если последовательно выполнять сложение чисел, то понадобится много времени. Попытайтесь найти более рациональный способ нахождения значения искомой суммы. Запишите сумму этих чисел дважды, расположив первый раз слагаемые в порядке возрастания, а второй разв порядке убывания Чему равно значение суммы чисел, расположенных друг под другом?
По какой формуле можно вычислить значение суммы первых
n членов арифметической прогрессии
a
1
+ a
2
+ a
3
+ … + a
n
? Обозначьте эту сумму через
S
n
Карточка Найдите значение суммы 46 членов арифметической прогрессии 15, 22,
29, 36, 43, …., Если последовательно выполнять сложение чисел, то понадобится много времени. Попытайтесь найти более рациональный способ нахождения значения искомой суммы. Запишите сумму этих чисел дважды, расположив первый раз слагаемые в порядке возрастания, а второй разв порядке убывания 22 29 36 309 316 323 330
+
+
+
+
+
+
+
+
330 323 316 309 36 29 22 Чему равно значение суммы чисел, расположенных друг под другом?
По какой формуле можно вычислить значение суммы первых
n членов арифметической прогрессии
a
1
+ a
2
+ a
3
+ … + a
n
? Обозначьте эту сумму через Карточка Найдите значение суммы 80 членов арифметической прогрессии 4, 12, 20,
28, 312, 620, 628, Если последовательно выполнять сложение чисел, то понадобится много времени. Попытайтесь найти более рациональный способ нахождения значения искомой суммы. Запишите сумму этих чисел дважды, расположив первый раз слагаемые в порядке возрастания, а второй разв порядке убывания 12 20 28 612 620 628 636
+
+
+
+
+
+
+
+
636 628 620 612 28 20 12 Чему равно значение суммы чисел, расположенных друг под другом?
По какой формуле можно вычислить значение суммы первых
n членов арифметической прогрессии
a
1
+ a
2
+ a
3
+ … + a
n
? Обозначьте эту сумму через
S
n

26
§ 15. Геометрическая прогрессия Формула го члена геометрической
прогрессии
Организовать самостоятельный вывод учащимися формул арифметической прогрессии можно, используя игру Снежный ком. Методика использования игры описана в § Карточка 1
Задание
Решение
1) Как связан каждый член
b
n
+ 1
последовательности с предыдущим ее членом
b
n
? Запишите формулу, обозначив найденное число буквой
d. Такие последовательности называют геометрическими прогрессиями) Как можно получить второй член геометрической прогрессии 1; 3; 9; 27; 81;
243 из первого и третьего) Как можно получить третий член геометрической прогрессии 1; 3; 9; 27; 81;
243 из второго и четвертого) Как можно получить четвертый член геометрической прогрессии 1; 3; 9; 27; 81;
243 из третьего и пятого) Как можно получить пятый член геометрической прогрессии 1; 3; 9; 27; 81;
243 из четвертого и шестого) На основании выполненных заданий
2) – 5) запишите формулу, связывающую член геометрической прогрессии с соседними с ним членами
b
n – 1
и
b
n + 1 7) Используя определение геометрической прогрессии (связь
b
n + 1
си, выразите
b
2
,
b
3
,
b
4
,
b
5
через
b
1
и
q.
b
2
=
b
1
·
q,
b
3
=
=
=
,
b
4
=
=
=
,
b
5
=
=
=
,
8) Используя полученные при выполнении задания 7) результаты, попробуйте установить закономерность и записать формулу, выражающую
b
n
через
b
1
и
q, которая называется формулой го члена геометрической прогрессии
Карточка 2
Задание
Решение
1) Как связан каждый член
b
n + последовательности 1; 5; 25; 125; 625, 3125 с предыдущим ее членом
b
n
? Запишите формулу, обозначив найденное число буквой. Такие последовательности называют геометрическими прогрессиями) Как можно получить второй член геометрической прогрессии 1; 5; 25; 125;
625? 3125 из первого и третьего) Как можно получить третий член геометрической прогрессии 1; 5; 25; 125;
625? 3125 из второго и четвертого) Как можно получить четвертый член геометрической прогрессии 1; 5; 25; 125;
625? 3125 из третьего и пятого) Как можно получить пятый член геометрической прогрессии 1; 5; 25; 125;
625? 3125 из четвертого и шестого) На основании выполненных заданий
2) – 5) запишите формулу, связывающую член геометрической прогрессии с соседними с ним членами
b
n – 1
и
b
n + 1 7) Используя определение геометрической прогрессии (связь
b
n + 1
си, выразите
b
2
,
b
3
,
b
4
,
b
5
через
b
1
и
q.
b
2
=
b
1
·
q,
b
3
=
=
=
,
b
4
=
=
=
,
b
5
=
=
=
,
8) Используя полученные при выполнении задания 7) результаты, попробуйте установить закономерность и записать формулу, выражающую
b
n
через
b
1
и
q, которая называется формулой го члена геометрической прогрессии
Карточка 3
Задание
Решение
1) Как связан каждый член
b
n + 1
последовательности с предыдущим ее членом
b
n
? Запишите формулу, обозначив найденное число буквой
q. Такие последовательности называют геометрическими прогрессиями) Как можно получить второй член геометрической прогрессии 2; 6; 18; 54; 162;
486 из первого и третьего) Как можно получить третий член геометрической прогрессии 2; 6; 18; 54; 162;
486 из второго и четвертого) Как можно получить четвертый член геометрической прогрессии 2; 6; 18; 54;
162; 486 из третьего и пятого) Как можно получить пятый член геометрической прогрессии 2; 6; 18; 54; 162;
486 из четвертого и шестого) На основании выполненных заданий
2) – 5) запишите формулу, связывающую член геометрической прогрессии с соседними с ним членами
b
n – 1
и
b
n + 1 7) Используя определение геометрической прогрессии (связь
b
n + 1
си, выразите
b
2
,
b
3
,
b
4
,
b
5
через
b
1
и
q.
b
2
=
b
1
·
q,
b
3
=
=
=
,
b
4
=
=
=
,
b
5
=
=
=
,
8) Используя полученные при выполнении задания 7) результаты, попробуйте установить закономерность и записать формулу, выражающую
b
n
через
b
1
и
q, которая называется формулой го члена геометрической прогрессии
Карточка 4
Задание
Решение
1) Как связан каждый член
b
n + последовательности 3; 6; 12; 24; 48; 96 с предыдущим ее членом а Запишите формулу, обозначив найденное число буквой
d. Такие последовательности называют арифметическими прогрессиями) Как можно получить второй член геометрической прогрессии 3; 6; 12; 24; 48;
96 из первого и третьего) Как можно получить третий член геометрической прогрессии 3; 6; 12; 24; 48; 96 из второго и четвертого) Как можно получить четвертый член геометрической прогрессии 3; 6; 12; 24; 48;
96 из третьего и пятого) Как можно получить пятый член геометрической прогрессии 3; 6; 12; 24; 48; 96 из четвертого и шестого) На основании выполненных заданий
2) – 5) запишите формулу, связывающую член геометрической прогрессии с соседними с ним членами
b
n – 1
и
b
n + 1 7) Используя определение геометрической прогрессии (связь
b
n + 1
си, выразите
b
2
,
b
3
,
b
4
,
b
5
через
b
1
и
q.
b
2
=
b
1
·
q,
b
3
=
=
=
,
b
4
=
=
=
,
b
5
=
=
=
,
8) Используя полученные при выполнении задания 7) результаты, попробуйте установить закономерность и записать формулу, выражающую
b
n
через
b
1
и
q, которая называется формулой го члена геометрической прогрессии

30
  1   2   3   4   5
§ 16. Формула для вычисления значения суммы первых
n членов геометрической прогрессии Организовать самостоятельный вывод учащимися формулы суммы п первых членов арифметической прогрессии можно, используя игру Снежный ком. Методика использования игры описана в § Карточка Найдите значение суммы
S
n
= b
1
+
b
2
+
b
3
+
… + b
n-1
+
b
n
первых членов геометрической прогрессии со знаменателем
q Используя определение геометрической прогрессии,
S
n
запишите так
S
n
= b
1
+
b
1
q +
b
1
q
2
+… + Умножьте обе части этого равенства на
q. В результате получите равенство
qS
n
= b
1
q + b
1
q
2
+
b
1
q
3
+ … + Затем вычтите почленно из этого равенства предыдущее Какое равенство получится после упрощения левой и правой частей разности?
___________________________________________________________
Запишите формулу, по которой можно вычислить значение суммы первых
n членов геометрической прогрессии S
n
= b
1
+
b
2
+
b
3
+… +
b
n–1
+
b
n

31
§ 17. Формула для вычисления значения суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии С целью формирования интереса к усвоению темы и создания положительной мотивации учащихся самостоятельного изучения теоретического материала по темеможно провести игру “Верю—не верю. Учащимся, которые будут работать парами, предлагаются верные и неверные высказывания. Верные высказывания надо отметить знакома неверные — знаком “–”. Отвечая на вопросы, учащиеся смогут догадаться и сформулировать тему, которую они будут изучать.
Верю не верю
Верю +Не верю Вывод. Верители вы, что если знаменатель геометрической прогрессии меньше 1, то она убывающая. Верители вы, что если знаменатель бесконечной геометрической прогрессии |
q| < 1, то она бесконечно убывающая. Верители вы, что при неограниченном увеличении
n значение суммы
S
b
q
q
n
n
=
−
−
1 бесконечно убывающей геометрической прогрессии стремится к значению выражения
b
q
1 1
−
?
4. Верители вы, что бесконечную десятичную периодическую дробь можно записать в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Верители вы, что бесконечную десятичную периодическую дробь можно записать в виде обыкновенной дроби используя формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

32
§ 18 Метод математической индукции
Эту тему можно предложить учащимся изучить самостоятельно по тексту учебника (этот текст помещен в приложении к учебнику и может быть распечатан) и использовать прием критического мышления “Инсерт”. Методика его использования описана в §3.
“V " — уже знал — новое — думал иначе — не понял, есть вопросы
Третий этап обсуждение записей, внесенных в таблицу.

33
§ 19. Градусная и радианная меры углов и дуг
С целью формирования интереса к усвоению темы и создания положительной мотивации учащихся самостоятельного изучения теоретического материала по теме можно провести игру Верю — не верю. Методика ее использования описана в § Верю не верю
Верю + Не верю Вывод. Верители вы, что углы бывают положительными и отрицательными. Верители вы, что углы бывают больше 360°?
3. Верители вы, что углы и дуги можно измерять только в градусах, минутах и секундах. Верители вы, что углу и дуге в 180° соответствует число p?
5. Верители вы, что в окружности содержится 2
p дуг, каждая длиной равной длине радиуса

34
§ 20. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов
Эту тему можно предложить учащимся изучить самостоятельно по тексту учебника (этот текст помещен в приложении к учебнику и может быть распечатан) и использовать прием критического мышления “Инсерт”. Методика использования описана в § 3.
“ V ” — уже знал + ” — новое – ” — думал иначе ? ” — не понял, есть вопросы

35
§ 21. Тригонометрические функции и их свойства При овладении материалом темы можно использовать приём развития критического мышления “Фишбоун” (рыбный скелет. Учащимся надо предложить заполнить схему. Голова — название темы, верхние косточки — свойства тригонометрических функций, нижние косточки — суть этих понятий. Записи должны быть краткими, представлять собой ключевые слова или фразы, отражающие суть.
Все периодические Нечетные+ –
2
p +pk, k–
x+
pk, k– Область определения
Множество значений
Четность, нечетность
Периодич- ность
y=sinx y=cos x
y=tgx y=ctgx
y=sinx y=cosx
y=tgx любое целое число
y=tgx
любое целое число
Монотон- ность
Промежутки знакопосто- янства

36
§ 22. Тригонометрические тождества
Эту тему можно предложить учащимся изучить самостоятельно по тексту учебника (этот текст помещен в приложении к учебнику и может быть распечатан) и использовать прием критического мышления “Инсерт”. Методика его использования описана в § 3.
“ V ” — уже знал + ” — новое – ” — думал иначе ? ” — не понял, есть вопросы

37
§ 23. Формулы приведени С целью формирования интереса к усвоению темы и создания положительной мотивации учащихся самостоятельного изучения теоретического материала по теме можно провести игру “Верю—не верю. Методика ее использования описана в § Верю +Не верю Вывод. Верители вы, что все тригонометрические функции угла вида
π
2
k± α (где k – любое целое число, α – острый угол) можно привести к тригонометрическим функциям угла α?
2. Верители вы, что отдельно запоминать каждую из этих формул не надо. Верители вы, что есть правило, состоящее из двух пунктов, зная которые не надо запоминать каждую формулу отдельно

38
§ 24. Формулы синуса и косинуса суммы и разности двух углов Вывод формулы косинуса разности двух углов основывается на использовании теоремы косинусов. Остальные формулы можно вывести при активном участии учащихся, например, используя методику Вращающаяся станция. Методика применения этого приема описана в § Проблема Используя формулу cos (α – β) = cosαcosβ +
+ sinαsinβ получите формулу косинуса суммы двух углов, те. косинуса суммы (α + β). Для этого представьте сумму α + β в виде разности α – (–β).
cos (α + β) = Формула Проблема Используя формулу cos (α – β) = cosαcosβ +
+ sinαsinβ получите формулусинуса суммы двух углов sin(α + β). Для этого используйте формулы приведения. sinα = с α).
sin(α + β) = Формула Проблема Используя формулу sin(α + β) = sinαcosβ +
+ cosαsinβ получите формулусинуса разности двух углов sin(α – β). Для этого представьте сумму
α + β в виде разности α – (– β).
sin(α – β) = Формула

39
§ 25. Формулы тангенса и котангенса суммы и разности двух углов
Вывод формулы тангенса суммы двух углов основывается на использовании формул синуса и косинуса суммы двух углов. Остальные формулы можно предложить учащимсявывести самостоятельно, например, используя методику Вращающаяся станция. Методика применения этого приема описана в § Проблема Используя формулу tg tg tg tg tg
α
β
α
β
α β
+
(
)
=
+
−
1
получите формулу тангенса разности двух углов tg (α–β). Для этого представьте сумму α + β в виде разности α – (–β).
tg (α – β) = Формула Проблема Используя формулу tg tg tg tg tg
α
β
α
β
α β
+
(
)
=
+
−
1
получите формулу котангенса суммы двух углов с (α + β). с (α + β) = Формула Проблема Используя формулу tg tg tg tg tg
α
β
α
β
α получите формулу котангенса разности двух углов с (α – β). с (α – β) Формула

40
§ 26. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов
Эти формулы можно предложить учащимсявывести самостоятельно, например, используя методику Вращающаяся станция. Методика применения этого приема описана в § Проблема Используя формулу sin(α
+ β) = sinα cosβ + cosα получите формулу синуса двойного угла sin2α. sin2α = Формула Проблема Используя формулу со + β) = cosαcosβ – sinα sinβ, получите формулу косинуса двойного угла со. со = Формула Проблема Используя формулу tg tg tg tg tg
α
β
α
β
α получите формулу тангенса двойного угла tg 2α. tg 2α Формула Проблема Используя формулу ctg(α + β) =
1
−
+
tg tg tg tg
α β
α
β
, получите формулу котангенса двойного угла с 2α. с 2α = Формула
Формулы тригонометрических функций половинного угла можно предложить учащимся вывести самостоятельно, например, используя методику Вращающаяся станция. Методика применения этого приема описана в § Проблема Используя формулу косинуса двойного угла си основное тригонометрическое тождество 1 = cos
2
α
2
+ sin
2
α
2
, докажите cos
α
2
= ±
1 2
+ Формула Проблема Используя формулу косинуса двойного угла си основное тригонометрическое тождество 1 = cos
2
α
2
+ sin
2
α
2
, докажите sin
α
2
=±
1 2
− Формула Проблема Используя формулы tgα = tg
2 2
⋅




α
; cos
α
2
= ±
1 2
+ cosα
, sin
α
2
= ±
1 2
− cosα
докажите tg
α
2
= ±
1 1
−
+
cos Формула Проблема Используя формулу ctgα =ctg
2 2
⋅




α
; cos
α
2
=±
1 2
+ cosα
, sin
α
2
= ±
1 2
− cosα
. докажите с = ±
1 1
−
+
cos Формула

42
§ 27. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение
Формулы тригонометрических функций половинного угла можно предложить учащимся вывести самостоятельно, например, используя методику Вращающаяся станция. Методика применения этого приема описана в § Проблема Используя замену угла α суммой
α
β
α
β
+
+
−
2 2
и угла β разностью
α
β
α
β
+
−
−
2 2
, преобразуйте сумму sinα + sinβ для доказательства формулы sinα
+ sinβ = Доказательство Проблема Используя замену угла α суммой
α
β
α
β
+
+
−
2 2
и угла β разностью
α
β
α
β
+
−
−
2 2
, преобразуйте разность sinα – sinβ для доказательства формулы sinα
–sinβ = Доказательство Проблема Используя замену угла α суммой
α
β
α
β
+
+
−
2 2
и угла β разностью
α
β
α
β
+
−
−
2 2
, преобразуйте сумму cosα + cosβ для доказательства формулы cosα + cosβ = Доказательство
Проблема Используя замену угла α суммой
α
β
α
β
+
+
−
2 2
и угла β разностью
α
β
α
β
+
−
−
2 2
, преобразуйте разность cosα – cosβ для доказательства формулы cosα – cosβ = Доказательство Проблема Докажите tgα + tgβ = sin(
)
cos cos
α
β
α
β
+
⋅
, используя тождество tgα = sin Доказательство Проблема Докажите tgα – tgβ = sin(
)
cos cos
α
β
α
β
−
⋅
, используя тождество tgα = sin Доказательство

44
§ 28. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму или разность Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение можно предложить учащимся вывести самостоятельно, например, используя методику Вращающаяся станция. Методика применения этого приема описана в § Проблема Используя формулы синуса суммы и разности двух углов, найдите) для доказательства формулы sinα cosβ =
1 2
[ sin(α + β) + sin(α – β)]. Доказательство Проблема Используя формулы синуса суммы и разности двух углов, найдите sin(α + β) + sin(α – β) для доказательства формулы sinα cosβ =
1 2
[ sin(α + β) – sin(β – α)]. Доказательство Проблема Используя формулы косинуса суммы и разности двух углов, найдите) для доказательства формулы cosαcosβ =
1 2
[ cos(α + β) + cos(α – β)]. Доказательство Проблема Используя формулы косинуса суммы и разности двух углов, найдите) для доказательства формулы sinαsinβ =
1 2
[ cos(α – β) – cos(α + β)]. Доказательство

45
§ 29. Тождественные преобразования тригонометрических выражений Эту тему можно предложить учащимся изучить самостоятельно по тексту учебника (этот текст помещен в приложении к учебнику и может быть распечатан)и использовать прием критического мышления “Инсерт”. Методика его применения описана в § 3.
“V” — уже знал — новое — думал иначе — не понял, есть вопросы

46
§ 30. Событие и ее виды.
Для того чтобы быстро включить учащихся в мыслительную деятельность и логично перейти к изучению темы урока, можно использовать прием из технологии развития критического мышления Согласен – несогласен. Методика ее использования описана в § Согласен Несогласен Вывод Под событием понимается всякое явление, о котором имеет смысл говорить, что оно происходит (имеет место) или не происходит
Событиями являются и результаты различных опытов, наблюдений и измерений
Событие называется достоверным, если оноо- бязательно произойдет в данном испытании
Событие называется случайным, если оно может произойти, но может и не произойти
Событие называется невозможным, если оно не может произойти в данном испытании, те. свершение которого приданных условиях исключается
События, которые нельзя разделить на более простые события, называются элементарными событиями
Для события В опыте подбрасывания игрального кубика выпало простое число исход В опыте подбрасывания игрального кубика выпало число 1” является благоприятствующим исходом
Исход опыта, в котором наблюдается интересующее нас событие, называется благоприятствующим исходом
Равновозможными исходами называются исходы опыта, которые имеют одинаковые шансы наступления
События“
Попадание при выстреле и Промах при выстреле противоположные

47
§ 31. Определение классической вероятности. Статистическая вероятность
Эту тему можно предложить учащимся изучить самостоятельно по тексту учебника (этот текст помещен в приложении к учебнику и может быть распечатан) и использовать прим критического мышления “Инсерт”. Методика ее использования описана в § 11.
“ V ” — уже знал + ” — новое – ” — думал иначе ? ” — не понял, есть вопросы

48
§ 32. Геометрическая вероятность
С целью формирования интереса к усвоению темы и создания положительной мотивации учащихся самостоятельного изучения теоретического материала по теме можно провести игру Верю — не верю. Методика ее использования описана в § Верю +Не верю Вывод. Верители вы, что вероятность бывает геометрическая. Верители вы, что для вычисления геометрической вероятности надо вычислять геометрические величины длину, площадь, объем. Верители вы, что геометрическая вероятность применяется, когда число исходов бесконечно. Верители вы, что геометрическая вероятность любого события меньше 1?
5. Верители вы, что можно вычислить вероятность попадания точки на часть отрезка, плоской или пространственной фигуры
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ФОРМАТИВНОГО ОЦЕНИВАНИЯ
§ 1. Нелинейные уравнения с двумя переменными Обвести кружком номер правильного ответа. Нелинейными уравнениями с двумя переменными являются уравнения Ах у
= 0 их у = 0;
В) х – у 0 и 4ху = 0;
С) 4
ху= 0 их у
= 0.
2. Решениями нелинейного уравнения с двумя переменными х – у = 4 являются Аи В) (2; 2) и (1; 0);
Си. Нелинейное уравнение с двумя переменными
х
2
+ у
–1)
2
= 0 имеет решений А) два Водно С) ни одного решения D) бесконечно много. Нелинейное уравнение с двумя переменными х
+ у
= 0 имеет решений
А) два Водно С) ни одного решения D) бесконечно много. Нелинейное уравнение с двумя переменными х
+ у
+ 4
= 0 имеет решений
А) два Водно С) ни одного решения D) бесконечно много. Нелинейное уравнение с двумя переменными х
– у = 0 имеет решений
А) два Водно С) ни одного решения D) бесконечно много

50
§ 2. Система нелинейных уравнений с двумя переменными Обвести кружком номер правильного ответа. Системой нелинейных уравнений с двумя переменными являются системы, в которых линейным уравнением обязательно Ане является хотя бы одно уравнение
Вне являются все уравнения. Решить систему нелинейных уравнений с двумя переменными значит найти А) ее решение В) множество ее решений Установить правильную последовательность. При решении системы нелинейных уравнений с двумя переменными способом алгебраического сложения используют алгоритм в следующей последовательности:
1)
решить получившееся уравнение с одной переменной
2)
найти соответствующее значение второй переменной
3)
если коэффициенты одного из подобных слагаемых двух уравнений не являются противоположными числами, то умножить почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одном из подобных слагаемых двух уравнений стали противоположными числами
4)
записать ответ в виде множества пар числовых значений переменных
5)
сложить почленно левые и правые части уравнений системы. При решении системы нелинейных уравнений с двумя переменными способом подстановки используют алгоритм в следующей последовательности:
1)
найти соответствующее значение второй переменной
2)
в одном из уравнений системы, выразить одну переменную через другую
3)
решить полученное уравнение с одной переменной
4)
подставить полученное выражение вместо переменной во второе уравнение
5)
записать ответ в виде множества пар числовых значений переменных. При решении системы нелинейных уравнений с двумя переменными графическим способом используют алгоритм в следующей последова- тельности:
1)
записать ответ в виде множества пар числовых значений переменных
2)
построить график каждого уравнения системы водной и той же прямоугольной системе координат
3)
найти координаты точек пересечения графиков уравнений

51
1   2   3   4   5
§ 3. Решение систем нелинейных уравнений с двумя переменными Обвести кружком номер правильного ответа. Систему нелинейных уравнений с двумя переменными
x
y
x
y
3 3
35 можно решить способом А) деления однородного уравнение с двумя переменными на у В) почленного умножения и деления С) алгебраического сложения D) графическим E) подстановки. Систему нелинейных уравнений с двумя переменными
2 9
0 2
2 2
2 можно решить способом А) деления однородного уравнение с двумя переменными на у
В) почленного умножения и деления С) алгебраического сложения D) графическим E) подстановки. Систему нелинейных уравнений с двумя переменными
x y
x y
2 3 3 2 16 2
=
=




можно решить способом А) деления однородного уравнение с двумя переменными на у
В) почленного умножения и деления С)алгебраического сложения графическим E) подстановки. Систему нелинейных уравнений с двумя переменными 3
0 9
0 2
2 2
2
x
y
xy
x
xy
y
+
−
=
+
−
=




,
можно решить способом А) деления однородного уравнение с двумя переменными на у
В) почленного умножения и деления С) алгебраического сложения D) графическим E) подстановки. Систему нелинейных уравнений с двумя переменными
xy
x
y
=
−
= −




2 2
3 можно решить способом А) деления однородного уравнение с двумя переменными на у
В) почленного умножения и деления С) алгебраического сложения D) графическим E) подстановки. К приобретению посторонних корней может привести решениесистемы нелинейных уравнений с двумя переменными способом А) деления однородного уравнение с двумя переменными на у В) почленного умножения и деления С) алгебраического сложения D) графическим E) подстановки

52
§ 4. Решение текстовых задач с помощью систем нелинейных уравнений с двумя переменными
Установить правильную последовательность. При решении задач с помощью системы уравнений можно придерживаться алгоритма в следующей последовательности:
1)
исследовать по условию задачи, какие из решений системы удовлетворяют условию задачи
2)
внимательно изучить условие задачи и ее вопрос
3)
составить уравнения с двумя переменными и из них соответствующую систему
4)
обозначить буквами искомые или некоторые неизвестные величины
5)
найти решения системы
6)
выразить искомые и неизвестные величины через данные величины
Дополнить:
2. Для решения задачи Две бригады, работая вместе, могут отремонтировать шоссе задней. За сколько дней каждая бригада, работая отдельно, могла бы отремонтировать шоссе, если, работая отдельно, одной бригаде понадобится на 15 дней больше, чем другой можно составить систему ___________________.
3. Для решения задачи Длина пути между двумя пунктами по реке равна
75 км. Моторная лодка проходит этот путь по течению реки и против течения реки зач. Найдите скорость лодки по течению и скорость против течения реки, если скорость по течению реки на 10 км/ч меньше скорости против течения реки можно составить систему ___________________.

53
§ 6. Системы нелинейных неравенств с двумя переменными и их решение
Обвести кружком номер правильного ответа. На рисунке показано решение системы неравенств А)
y
x
y
x
l l
2 1
;
,




В)
y
x
y
x
l m
2 С)
y
x
y
x
m l
2 1
;
,




D)
y
x
y
x
m m
2 1
;
,




E)
y
x
xy
m m
2 1
;
,




F)
y
x
xy
m l
2 1
;




2. На рисунке показано решение системы неравенств А)
y
x
y
x
l l
2 1
,
;





В)
y
x
y
x
l m
2 С)
y
x
xy
l l
2 1
,
;




D)
y
x
xy
l m
2 1
,
;




E)
y
x
xy
m m
2 1
,
;




F)
y
x
xy
m l
2 1
,




3. На рисунке показано решение системы неравенств А)
x
y
y
x
2 2
1
+





l 4,
;
> В)
x
y
y
x
2 2
1
+





l 4,
;
<
С)
x
y
xy
2 2
1
+




l 4,
;
>
D)
x
y
xy
2 2
1
+




l 4,
;
<
E)
x
y
xy
2 2
+




m 4,
;
< 1
F)
x
y
y
x
2 2
1
+





m 4,
<

54 4. На рисунке показано решение системы неравенств А)
x
y
y
x
2 2
1
+





l 4,
;
> В)
x
y
y
x
2 2
1
+





l 4,
;
<
С)
x
y
xy
2 2
1
+




l 4,
;
>
D)
x
y
xy
2 2
1
+




l 4,
;
<
E)
x
y
xy
2 2
+




m 4,
;
< 1
F)
x
y
xy
2 2
1
+




m 4,
>

55
§ 7. Основные понятия и правила комбинаторики правило суммы и правило произведения)
Обвести кружком номер правильного ответа. Задачи, в которых из элементов некоторого конечного множества по некоторым правилам составляются различные комбинации этих элементов, и подсчитывается их число, называются А) алгоритмическими
B) статистическими С) арифметическими D) комбинаторными E) логическими.
2. Если объект х из одного множества можно выбрать а способами, а объекту из другого множества — b способами и эти множества не имеют общих элементов, то число способов выбора одного элементах или у равно А) а или b;
B) аи С) ах+ у
E) а · b.
3. Если объект х из одного множестваможно выбратьа способами, а объекту из другого множества — b способами, то число способов выбора пары элементов хи у равно А) а или b;
B) аи С) ах+ у
E) а · b.
4. Если множества
X и Y не имеют общих элементов и множество X содержит а элементов, множество
Y содержит b элементов, то объединение множеств
X и Y содержит элементов А) а или b;
B) аи С) ах+ у
E) а · b.
Дополнить. Если множества
X и Y имеют с общих элементов и множество X содержит а элементов, множество
Y содержит b элементов, то объединение множеств
X и Y содержит _____________ элементов

56
§ 8. Факториал числа. Перестановки и размещения Обвести кружком номер правильного ответа. Перестановка без повторений из 3 элементов {α, β, g} — это
АС. Размещение без повторений из 3 элементов {α, β, g} по 3 — это АС. Размещение без повторений из 3 элементов {α, β, g} по 2 — это АС, Дополнить. Число двузначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, равно
___.
5. Число двузначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ив записи которых все цифры разные, равно ___.
6. Значение выражения 5! равно ____.

57
§ 9. Сочетания без повторений. Основные формулы комбинаторики
Обвести кружком номер правильного ответа. Сочетание без повторений из 3 элементов {α, β, g} по 3 элемента — это АС. Сочетание без повторений из 3 элементов {α, β, g} по 2 — это АС. По свойству сочетаний
C
C
9 4
9 5
+
равно АС Дополнить. Число способов выбора трeх пирожных из пяти разных сортов равно ____.
5. Число способов выбора двух студентов из 20 равно ____.

58
§10. Решение задач с использованием формул комбинаторики. Обвести кружком номер правильного ответа. Число способов распределения трех первых мест среди 10 участников соревнования равно АС. Число способов раскраски 3 фигур различными цветами равно АС. Число способов выбора председателя и секретаря из 20 присутствующих АС. Число способов распределения 7 мест среди 7 участников соревнований равно
АС. Число способов раскрасить треугольник, круг, трапецию и квадрат четырьмя различными цветами синим, красным, желтым, зеленым равно
АС. Число способов рассадить 6 человек на 6 стульев равно
АС. Число способов выбора двух учащихся из 20 равно АС. Бином Ньютона и его свойства.
Обвести кружком номер правильного ответа. Формулу бинома Ньютона сокращенно можно записать в следующем виде Ах х ;
B)
x
a
C
a
x
n
n
k
k
n
k
n k
+
(
)
=
⋅
⋅
=
−
∑
0
;
С)
T
C
a
x
k
n
k
k
n k
+
−
=
⋅
⋅
1
;
D)
n
k
k
C
a
⋅
;
E)
n
k
C
2. Любой член бинома Ньютона определяется по формуле Ах х B)
x
a
C
a
x
n
n
k
k
n
k
n k
+
(
)
=
⋅
⋅
=
−
∑
0
;
С)
T
C
a
x
k
n
k
k
n k
+
−
=
⋅
⋅
1
;
D)
n
k
k
C
a
⋅
;
E)
n
k
C
3. Формула бинома Ньютона для приближeнных вычислений Ах х ;
B)
x
a
C
a
x
n
n
k
k
n
k
n k
+
(
)
=
⋅
⋅
=
−
∑
0
;
С)
T
C
a
x
k
n
k
k
n k
+
−
=
⋅
⋅
1
;
D)
n
k
k
C
a
⋅
;
E)
n
k
C
4. Биномиальными коэффициентами в формуле бинома Ньютона называются коэффициенты Ах х ;
B)
x
a
C
a
x
n
n
k
k
n
k
n k
+
(
)
=
⋅
⋅
=
−
∑
0
;
С)
T
C
a
x
k
n
k
k
n k
+
−
=
⋅
⋅
1
;
D)
n
k
k
C
a
⋅
;
E) Дополнить. Четвертый член биномах равен ____.

60
§ 12. Числовая последовательности, ее виды, способы задания и свойства
Обвести кружком номер правильного ответа. Возрастающей является последовательность А) –1, –8, –11, … –98;
В) –1, –1, –11, … –98;
С) –11, –8, –10, …, 0;
D) –11, –8, –8, …, 0;
E) –11, –8, –1, … –0,98.
2. Монотонной является последовательность А) 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4;
В) 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2;
С) 5, 4, 5, 4, 3, 2, 3, 2, 1, 1;
D) 5, 4, 3, 2, 2, 1, 1;
E) 5, –4, 3, –2, 2, –1, 1.
3. Ограниченной является последовательность:
А) 1; 2; В) 1; 2; 3…;
n С) 1; 2; 3…;
n;
D) …1; 2; 3…;
n;
E) …1; 2; 3.
4. Последовательность кубов чисел натурального ряда задана способом:
А) словесным;
В) аналитическим;
С) рекуррентным
D) графическим. Последовательность, для которой формула го члена равна а 2 + n, задана способом:
А) словесным;
В) аналитическим;
С) рекуррентным
D) графическим. Последовательность, для которой а = 2; аи формула а + 2
= а
+
+ а + 1
, задана способом:
А) словесным;
В) аналитическим;
С) рекуррентным) графическим

61
§ 13. Арифметическая прогрессия. Формула
п-го члена арифметической прогрессии
Обвести кружком номер правильного ответа. Арифметической прогрессией является числовая последовательность А) –1; –2; –4; –8; –16; –32; …
В) –8; –6; –4; –2; 0; 2; …
С) 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; …
D) 1, 2; 4; 8; 14; 22; ….
2. Признак арифметической прогрессии выражается формулой А)
b
n
= b
1
q
n–1
;
В)
S
a
n
d
n
n
=
+
−
⋅
2 1
2 1
(
)
;
С) а = а
+
d;
D)
a
a
a
n
n
n
=
+
−
+
1 1
2
;
E)
a
n
= a
1
+ (
n – 1) · d.
F)
b
b
b
n
n
n
= ±
⋅
−
+
1 1
3. Формула го члена арифметической прогрессии А)
b
n
= b
1
q
n–1
;
В)
S
a
n
d
n
n
=
+
−
⋅
2 1
2 1
(
)
;
С) а = а
+
d;
D)
a
a
a
n
n
n
=
+
−
+
1 1
2
;
E)
a
n
= a
1
+ (
n – 1) · d;
F)
b
b
b
n
n
n
= ±
⋅
−
+
1 1
4. По определению арифметической прогрессии справедлива формула А)
b
n
= b
1
q
n–1
;
В)
S
a
n
d
n
n
=
+
−
⋅
2 1
2 1
(
)
;
С) а = а
+
d;
D)
a
a
a
n
n
n
=
+
−
+
1 1
2
;
E)
a
n
= a
1
+ (
n – 1) · d;
F)
b
b
b
n
n
n
= ±
⋅
−
+
1 1
Дополнить. Разность арифметической прогрессии 13; 8; 3; –2; –7 равна _____.

62
§ 14. Формула для вычисления значения суммы первых ï членов арифметической прогрессии
Обвести кружком номер правильного ответа:
1.Формула суммы первых
n членов арифметической прогрессии А)
b
n
=
b
1
q
n–1
;
В)
S
a
n
d
n
n
=
+
−
⋅
2 1
2 1
(
)
;
С)
S
a
a
n
n
k
k n
=
+
⋅
+ − 1 2
;
D)
a
a
a
n
n
n
=
+
−
+
1 1
2
;
E)
a
n
=
a
1
+ (
n – 1) · d;
F)
b
b
b
n
n
n
= ±
⋅
−
+
1 1
2. Формула суммы первых
n членов арифметической прогрессии А)
b
n
=
b
1
q
n–1
В)
S
a
a
n
n
n
=
+
⋅
1 2
;
С)
S
a
a
n
n
k
k n
=
+
⋅
+ − 1 2
;
D)
a
a
a
n
n
n
=
+
−
+
1 1
2
;
E)
a
n
=
a
1
+ (
n – 1) · d;
F)
b
b
b
n
n
n
= ±
⋅
−
+
1 1
3. Значение суммы
n последовательных членов арифметической прогрессии, начиная с члена
k, вычисляется по формуле
А)
b
n
=
b
1
q
n–1
;
В)
S
a
a
n
n
n
=
+
⋅
1 2
;
С)
S
a
a
n
n
k
k n
=
+
⋅
+ − 1 2
;
D)
a
a
a
n
n
n
=
+
−
+
1 1
2
;
E)
a
n
=
a
1
+ (
n – 1) · d;
F)
b
b
b
n
n
n
= ±
⋅
−
+
1 Дополнить. Значение суммы первых 100 членов арифметической прогрессии, в которой первый член равен 4, сотый член равен 400, равно _______.
5. Значение суммы первых 200 членов арифметической прогрессии 4; 12,
16; … равно _______.

63
§ 15. Геометрическая прогрессия Формула го члена геометрической прогрессии
Обвести кружком номер правильного ответа. Геометрической прогрессией является числовая последовательность А) –1; –3; 9; –27; –81; 243; … В) –1; 3; –9; 27; –81; 243; …
С) 1; 2; 3; 6; 18; 54; 162; …
D) 1, 2; 4; 8; 14; 22; ….
2. Признак геометрической прогрессии выражается формулой А)
b
n
= b
1
q
n–1
;
В)
S
n
n
a
n
d
=
⋅
+
−
2 1
2 С) а
= а+
d;
D)
a
n
n
n
a
a
=
−
+
+
1 1
2
;
E)
a
n
= a
1
+ (n – 1) · d;
F)
b
b
b
n
n
n
= ±
⋅
−
+
1 1
3. Формула го члена геометрической прогрессии А)
b
n
= b
1
q
n–1
;
В)
S
n
n
a
n
d
=
⋅
+
−
2 1
2 С) а
= а+
d;
D)
a
n
n
n
a
a
=
−
+
+
1 1
2
;
E)
a
n
= a
1
+ (n – 1) · d;
F)
b
b
b
n
n
n
= ±
⋅
−
+
1 1
4. По определению геометрической прогрессии справедлива формула А)
b
n
= b
1
q
n–1
;
В)
S
n
n
a
n
d
=
⋅
+
−
2 1
2 1
(
)
;
С)
b
n+1
=
b
n
q;
D)
a
n
n
n
a
a
=
−
+
+
1 1
2
;
E)
a
n
= a
1
+ (
n – 1) · d;
F)
b
b
b
n
n
n
= ±
⋅
−
+
1 Дополнить. Знаменатель геометрической прогрессии 3; –6; 12; –24; 48 равен _____.

64
1   2   3   4   5
§ 16. Формула для вычисления значения суммы первых
n членов геометрической прогрессии Обвести кружком номер правильного ответа. Формула суммы первых
n членов геометрической прогрессии А)
b
n
= b
1
q
n-1
;
В)
S
a
n
d
n
n
=
+
−
⋅
2 1
2 1
(
)
;
С)
S
a
n
d
n
n
=
−
−
⋅
2 1
2 1
(
)
; D)
S
b q
q
n
n
=
−
(
)
−
1 1
1
,
q ≠1;
E)
a
n
= a
1
+ (n – 1) · d;
F)
bn
n
n
b
b
= ±
⋅
−
+
1 1
2. Формула суммы первых
n членов геометрической прогрессии А)
b
n
= b
1
q В)
S
n
n
n
a
a
=
⋅
+
1 2
;
С)
S
a
a
n
n
k
k n
=
+
+ −1 2
;
D)
S
b
b
q
q
n
n
=
−
−
≠
+
1 1
1 1
,
;
E)
a
n
= a
1
+ (n – 1) · d;
F)
bn
n
n
b
b
= ±
⋅
−
+
1 1
3. Формула суммы первых
n членов геометрической прогрессии со знаменателем А)
b
n
= В)
S
a
a
n
n
n
=
+
⋅
1 2
;
С)
S
a
a
n
n
k
k n
=
+
+ −1 2
;
D)
S
n
=
nb
1
;
E)
a
n
= a
1
+ (n – 1) · d;
F)
bn
n
n
b
b
= ±
⋅
−
+
1 1
Дополнить. Значение суммы первых 6 членов геометрической прогрессии, в которой первый член равен
1 9
, знаменатель равен 2, равно _______.
5. Значение суммы первых 200 членов геометрической прогрессии, в которой первый член равен 0,5, знаменатель равен 1, равно _______.

65
§ 17. Формула для вычисления значения суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии Обвести кружком номер правильного ответа. Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если ее знаменатель А)
q < 1;
В)
|q| < 1;
С) 0
< q < 1.
2. Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии — это А)
S =
b
q
1 1
−
;
В)
S
n
=
nb
1
;
С)
S
n
=
b
b
q
n
1 1
1
−
−
+
,
q ≠1;
D)
S
n
=
b q
q
n
1 1
1
(
)
−
−
,
q ≠1.
Дополнить. Число 0,(036) можно записать в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем равным ______.
4. Число 0,(25) можно записать в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, первый член которой равен ___, знаменатель равен ______.
Обвести кружком номер правильного ответа. Бесконечная периодическая десятичная дробь 0,(121) равна обыкновенной дроби А)
0 121 1
0 01
,
,
;
−
В)
0 121 1
0 001
,
,
;
−
С)
121 1
0 0001
− ,
;
D)
121 1
0 01
− ,

66
§ 18. Метод математической индукции Обвести кружком номер правильного ответа. Если индукция это рассуждения от частного к общему, то методами доказательства являются А) неполная индукция и математическая индукция
В) математическая индукция и полная индукция С) полная индукция и неполная индукция. Метод математической индукции используется, чтобы доказать справедливость некоторого утверждения для всех чисел
А) действительных В) рациональных С) натуральных D) целых Установить правильную последовательность. При использовании метода математической индукции выполняют действия в следующей последовательности:
1)
Доказывают, что утверждение А (п, содержащее натуральную переменную, верно при п = k + Проверяют, верно ли утверждение А (п, содержащее натуральную переменную, при п = 1 Допускают, что утверждение А (п, содержащее натуральную переменную, верно при п = k.

67
§ 20. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. Значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов Обвести кружком номер правильного ответа. Отношение ординаты точки В, лежащей на окружности к ее радиусу, называется А) синусом угла
α;
В) косинусом угла
α;
С) тангенсом угла
α;
D) котангенсом угла
α.
2. Отношение абсциссы точки В, лежащей на окружности к ее радиусу, называется А) синусом угла
α;
В) косинусом угла
α;
С) тангенсом угла
α;
D) котангенсом угла
α.
3. Отношение ординаты точки В, лежащей на окружности к ее абсциссе, называется А) синусом угла
α;
В) косинусом угла
α;
С) тангенсом угла
α;
D) котангенсом угла
α.
4. Отношение абсциссы точки В, лежащей на окружности к ее ординате, называется А) синусом угла
α;
В) косинусом угла
α;
С) тангенсом угла
α;
D) котангенсом угла
α.
5. sin
π
3
равен А)
1 2
;
В)
2 2
;
С)
3 3
;
D)
3 2
;
E) Дополнить. Зависимости синуса, косинуса, тангенса и котангенса от величины угла
α называются _____________________________ ____________________.

68
§ 21. Тригонометрические функции и их свойства
Обвести кружком номер правильного ответа. Области определения функций
y = sin
α, y = cosα:
А) (–
∞; +∞);
В) [–1; 1];
С) все значения
α, за исключением
π
2
+ pk (где k – любое целое число D) все значения
α, за исключением pk (где k – любое целое число. Области значений функций
y = sin
α, y = cos α
А) (–
∞; +∞);
В) [–1; 1];
С) все значения
α, за исключением
π
2
+ pk (где k – любое целое число D) все значения
α, за исключением pk (где k – любое целое число. Области значений функций
y = tg
α, y = ctg α
А) (–
∞; +∞);
В) [–1; 1];
С) все значения
α, за исключением
π
2
+ pk (где k – любое целое число D) все значения
α, за исключением pk (где k – любое целое число. В III четверти принимают отрицательные значения функции Аи В)
y = cosx и y = sinx;
Си. Нечетными являются функции Аи В)
y = sinx и y = ctgx;
Си Дополнить. Функция у = f(x) называется периодической, если существует такое отличное от нуля число
T где Т > 0), что для любого x из области определения функции у = f(x) выполняется равенство ________________.

69
§ 23. Формулы приведения Обвести кружком номер правильного ответа. При использовании формул приведения не изменяются наименование тригонометрические функции Аи В) sin(
3 2
π
+ α) и sin (π + α);
Си. При использовании формул приведения изменяются наименование тригонометрические функции Аи В) cos(
π
2
– α) и cos(2π + α);
Си. При использовании формул приведения не изменяются знаки тригонометрических функций Аи В) cos(2π + α) и cos(2π – α);
Си. При использовании формул приведения изменяются знаки тригонометрических функций Аи В) tg(π – α) и tg(π + α);
Си Дополнить. ctg (
3 2
π
+ α) = _________.

70
§ 24. Формулы синуса и косинуса суммы и разности двух углов
Обвести кружком номер правильного ответа. sin(α – β)=
А) cosαcosβ + sinαsinβ;
В) cosαcosβ – sinαsinβ;
С) sinαcosβ + cosαsinβ;
D) sinαcosβ – cosαsinβ.
2. sin(α + β) =
А) cosαcosβ + sinαsinβ;
В) cosαcosβ – sinαsinβ;
С) sinαcosβ + cosαsinβ;
D) sinαcosβ – cosαsinβ.
3.cos (α + β) =
А) cosαcosβ + sinαsinβ;
В) cosαcosβ – sinαsinβ;
С) sinαcosβ + cosαsinβ;
D) sinαcosβ – cosαsinβ.
4. cos (α – β) =
А) cosαcosβ + sinαsinβ;
В) cosαcosβ – sinαsinβ;
С) sinαcosβ + cosαsinβ;
D) sinαcosβ – Дополнить. cos 15° = cos (45° – 30°) = _____________.
6. cos 75° = cos (45° + 30°) = _____________.

71
§ 26. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов
Обвести кружком номер правильного ответа. Формула двойного угла tg2α =
А) 2sinα cosα В) cos
2
α – sin
2
α
С)
2 1
2
tg tg
α
α
−
;
D)
1 2
2
− tg tg
α
α
;
E) ctg tg
α
α
−
2 2. Формула двойного угла sin2α =
А) 2sinαcosα В) cos
2
α – sin
2
α
С)
2 1
2
tg tg
α
α
−
;
D)
1 2
2
− tg tg
α
α
;
E) ctg tg
α
α
−
2 3. Формула двойного угла cos2α =
А) 2sinαcosα В) cos
2
α – sin
2
α
С)
2 1
2
tg tg
α
α
−
;
D)
1 2
2
− tg tg
α
α
;
E) ctg tg
α
α
−
2 4. Формула половинного угла cos
α
2
=
А)
±
1 2
+ cosα
; В) ±
1 2
− cosα
;
С) ±
1 1
−
+
cos cos
α
α
;
D) ±
1 1
+
−
cos cos
α
α
; E
) ±
1
− cos sin
α
α
5. Формула половинного угла с
α
2
=
А)
±
1 2
+ cosα
;
В)
±
1 2
− cosα
;
С) ±
1 1
−
+
cos cos
α
α
;
D) ±
1 1
+
−
cos cos
α
α
; E
) ±
1
− cos sin
α
α
6. Формула половинного угла sin
α
2
=
А)
±
1 2
+ cosα
; В) ±
1 2
− cosα
;
С) ±
1 1
−
+
cos cos
α
α
;
D) ±
1 1
+
−
cos cos
α
α
;
E ) ±
1
− cos Дополнить. Формулы понижения степени cos
2
α =__________ и sin
2
α= ____________.

72
§ 27. Формулы суммы и разности тригонометрических функций
Обвести кружком номер правильного ответа. cos
α – cosα =
А) 2 sin
α
β
+
2
cos
α
β
−
2
; В) 2 cos
α
β
+
2
sin
α
β
−
2
;
С) –2 sin
α
β
+
2
sin
α
β
−
2
;
D) 2 cos
α
β
+
2
cos
α
β
−
2
;
E) sin(
)
cos cos
α
β
α
β
+
⋅
;
F) sin(
)
cos cos
α
β
α
β
−
⋅
2. cos
α + cosβ =
А) 2 sin
α
β
+
2
cos
α
β
−
2
; В) 2 cos
α
β
+
2
sin
α
β
−
2
;
С) –2 sin
α
β
+
2
sin
α
β
−
2
;
D) 2 cos
α
β
+
2
cos
α
β
−
2
;
E) sin(
)
cos cos
α
β
α
β
+
⋅
;
F) sin(
)
cos cos
α
β
α
β
−
⋅
3. sin
α + sinβ =
А) 2 sin
α
β
+
2
cos
α
β
−
2
; В) 2 cos
α
β
+
2
sin
α
β
−
2
;
С) –2 sin
α
β
+
2
sin
α
β
−
2
;
D) 2 cos
α
β
+
2
cos
α
β
−
2
;
E) sin(
)
cos cos
α
β
α
β
+
⋅
;
F) sin(
)
cos cos
α
β
α
β
−
⋅
4. sin
α – sinβ =
А) 2 sin
α
β
+
2
cos
α
β
−
2
; В) 2 cos
α
β
+
2
sin
α
β
−
2
;
С) –2 sin
α
β
+
2
sin
α
β
−
2
;
D) 2 cos
α
β
+
2
cos
α
β
−
2
;
E) sin(
)
cos cos
α
β
α
β
+
⋅
;
F) sin(
)
cos cos
α
β
α
β
−
⋅
5. tg
α + tgβ =
А) 2 sin
α
β
+
2
cos
α
β
−
2
; В) 2 cos
α
β
+
2
sin
α
β
−
2
;
С) –2 sin
α
β
+
2
sin
α
β
−
2
;
D) 2 cos
α
β
+
2
cos
α
β
−
2
;
E) sin(
)
cos cos
α
β
α
β
+
⋅
;
F) sin(
)
cos cos
α
β
α
β
−
⋅

73 6. tg α – tg α =
А) 2 sin
α
β
+
2
cos
α
β
−
2
; В) 2 cos
α
β
−
2
sin
α
β
−
2
;
С) –2 sin
α
β
+
2
sin
α
β
−
2
;
D) 2 cos
α
β
+
2
cos sin(
)
cos cos
α
β
α
β
+
⋅
E) sin(
)
cos cos
α
β
α
β
+
⋅
;
F) sin(
)
cos cos
α
β
α
β
−
⋅
§ 28. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму или разность
Обвести кружком номер правильного ответа. sin
αcosβ =
А)
1 2
[sin(
α + β) + sin(α – β)]; В)
1 2
[sin(
α + β) – sin(α – β)];
С)
1 2
[cos(
α + β) + cos(α – β)];
D)
1 2
[cos(
α – β) – cos(α + β)].
2. cos
αsinβ =
А)
1 2
[sin(
α + β) + sin(α – β)]; В)
1 2
[sin(
α + β) – sin(α – β)];
С)
1 2
[cos(
α + β) + cos(α – β)];
D)
1 2
[cos(
α – β) – cos(α + β)].
3. cos
αcosβ =
А)
1 2
[sin(
α + β) + sin(α – β)]; В)
1 2
[sin(
α + β) – sin(α – β)];
С)
1 2
[cos(
α + β) + cos(α – β)];
D)
1 2
[cos(
α – β) – cos(α + β)].
4. sin
αsinβ =
А)
1 2
[sin(
α + β) + sin(α – β)]; В)
1 2
[sin(
α + β) – sin(α – β)];
С)
1 2
[cos(
α + β) + cos(α – β)];
D)
1 2
[cos(
α – β) – cos(α + β)]. Дополнить. cos75°cos15° = ___.
6. sin75°sin15° =____.

74
§ 29. Тождественные преобразования тригонометрических выражений
Дополнить:
1. Значение выражения cos cos sin
42 18 12
° −
°
°
равно ___.
2. Значение выражения
2 42 2
21 1
2
cos cos
°
° −
равно ___.
3. Значение выражения 4 – cos36° – 2sin
2 18° равно ___.
4. Значение выражения (8 cos34°sin14°) : (sin48° – sin20°) равно ___.
5. Значение выражения
1 80 1
80
+
°
−
°
cos cos
: (0,2 ctg40°) равно ___.

75
§ 30. Событие и ее виды
Обвести кружком номер правильного ответа. Событие Из пакета, в котором находятся воздушные шарики синего, красного, жeлтого и зелeного цвета, наугад вынули шарик синего цвета является А) случайным B) достоверным С) невозможным. Событие Из пакета, в котором находятся воздушные шарики синего, красного, желтого и зеленого цвета, наугад вынули шарик белого цвета является А) случайным B) достоверным С) невозможным. Из событий А В опыте подбрасывания игрального кубика выпало число
1”, В В опыте подбрасывания игрального кубика выпало простое число, и СВ опыте подбрасывания монеты выпал герб элементарными событиями являются события
А) Аи В В) В и С С) Си А. Из исходов А В опыте подбрасывания игрального кубика выпало число 1”, В В опыте подбрасывания игрального кубика выпало число 2”, и СВ опыте подбрасывания игрального кубика выпало число 3”, благоприятствующими исходами для события В опыте подбрасывания игрального кубика выпало простое число являются исходы А) Аи В В) В и С С) Си А Из исходов А В опыте подбрасывания игрального кубика выпало число
1”, В В опыте подбрасывания игрального кубика выпало число 2” и СВ опыте подбрасывания игрального кубика выпало нечетное число равновозможными исходами являются исходы А) Аи В В) В и С С) Си А. Событие, противоположное событию В опыте подбрасывания игрального кубика выпало число 1”, является событие А) В опыте подбрасывания игрального кубика выпало число 1”;
В) В опыте подбрасывания игрального кубика выпало число 2 или СВ опыте подбрасывания игрального кубика выпало число 2; 3; 4; 5 или 6”.

76
§ 31. Определение классической вероятности. Статистическая вероятность
Обвести кружком номер правильного ответа. Формула
Р(А) =
m
n
, где
m — число исходов, благоприятствующих этому событию А , n — общее число равновозможных исходов, для вычисления А) классической вероятности В) статистической вероятности. Формула
Р(А) = w(A) =
m
n
, где
w(A) — относительная частота события А
m — число испытаний, в которых появилось событие А, n — общее число испытаний, для вычисления А) классической вероятности В) статистической вероятности. Если вероятность события равна
2 5
, то вероятность противоположного ему события равна АС. Вероятность события Из пакета, в котором находятся 2 воздушных шарика синего цвета, 3 — красного, 4 — желтого, 1 — зеленого, наугад вынули шарик красного цвета равна АС. Если из пакета, в котором находятся 2 воздушных шарика синего цвета,
3 — красного, 4 — желтого, 1 — зеленого, наугад вынули 2 шарика, то вероятность того, что они окажутся красными, равна
АС. Геометрическая вероятность
Обвести кружком номер правильного ответа. Формула
Р(А)=
m
F
m
F
E
E
(
)
( )
1
для вычисления А) классической вероятности В) статистической вероятности С) геометрической вероятности.
Дополнить:
2. Если отрезок
АВ длиной 5 см включается в отрезок MN длиной 1 дм, то вероятность события наудачу брошенная точка попала на отрезок
AB” равна ___.
3. Если треугольник площадью 12 см включается в прямоугольник площадью
48 см, то вероятность события А наудачу брошенная в прямоугольник точка попала в треугольник равна _____.
4. Если цилиндр объемом 2π
R
3
одержит шар объемом
4 3
πR
3
, то вероятность события А наудачу брошенная в цилиндр точка попала в шар равна
_____.
5. Если цилиндр объемом 2π
R
3
одержит шар объемом
4 3
πR
3
, то вероятность события А наудачу брошенная в цилиндр точка не попала в шар равна
_____.

78
1   2   3   4   5
СОДЕРЖАНИЕ
ПРИЕМЫ ИЗ ТЕХНОЛОГИИ РАЗВИТИЯ КРИТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ С МАТЕМАТИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ 1. Нелинейные уравнения с двумя переменными ....................................................3
§ 2. Система нелинейных уравнений с двумя переменными .......................................4
§ 3. Решение систем нелинейных уравнений с двумя переменными ............................5
§ 4. Решение текстовых задач с помощью систем нелинейных уравнений с двумя переменными ..................................................................................................6
§ 5. Неравенства с двумя переменными ....................................................................7
§ 6. Системы нелинейных неравенств с двумя переменными ................................... 10
§ 7. Основные понятия и правила комбинаторики (правило суммы и правило произведения. .............................................................................................. 11
§ 8. Факториал числа. Перестановки и размещения ................................................ 12
§ 9. Сочетания без повторений. Основные формулы комбинаторики .......................... 13
§10. Решение задач с использованием формул комбинаторики .................................. 14
§ 11. Бином Ньютона и его свойства. 15
§ 12. Числовая последовательность, ее виды, способы задания и свойства ................... 18
§ 13. Арифметическая прогрессия. Формула го члена арифметической прогрессии ... 20
§ 14. Формула для вычисления значения суммы первых членов арифметической прогрессии .................................................................................................... 24
§ 15. Геометрическая прогрессия. Формула го члена геометрической прогрессии ...... 26
§ 16. Формула для вычисления значения суммы первых
n членов геометрической прогрессии .................................................................................................... 30
§ 17. Формула для вычисления значения суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ............................................................................ 31
§ 18 Метод математической индукции .................................................................... 32
§ 19. Градусная и радианная меры углов и дуг ......................................................... 33
§ 20. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов ............................................................ 34
§ 21. Тригонометрические функции и их свойства .................................................... 35
§ 22. Тригонометрические тождества ....................................................................... 36
§ 23. Формулы приведени ...................................................................................... 37
§ 24. Формулы синуса и косинуса суммы и разности двух углов ................................ 38
§ 25. Формулы тангенса и котангенса суммы и разности двух углов ........................... 39
§ 26. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов .............. 40
§ 27. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение .............................................................................................. 42
§ 28. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму или разность ....................................................................................................44
§ 29. Тождественные преобразования тригонометрических выражений ...................... 45
§ 30. Событие и его виды ....................................................................................... ЗАДАНИЯ ДЛЯ ФОРМАТИВНОГО ОЦЕНИВАНИЯ
§ 1. Нелинейные уравнения с двумя переменными .................................................. 49
§ 2. Система нелинейных уравнений с двумя переменными ..................................... 50
§ 3. Решение систем нелинейных уравнений с двумя переменными .......................... 51
§ 4. Решение текстовых задач с помощью систем нелинейных уравнений с двумя переменными ................................................................................................ 52
§ 6. Системы нелинейных неравенств с двумя переменными .................................... 53
§ 7. Основные понятия и правила комбинаторики (правило суммы и правило произведения) ............................................................................................... 55
§ 8. Факториал числа. Перестановки и размещения ................................................ 56
§ 9. Сочетания без повторений. Основные формулы комбинаторики .......................... 57

Смотрите также файлы