Уравнение плоскости BCD найдём, используя уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки : .

_{Для решаемой задачи} это точки , , и, следовательно, уравнение _{АВС имеет вид:}

,

,

,

,

.

Вектор является нормальным вектором плоскости , следовательно, этот вектор является направляющим вектором для прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости . Уравнение этой прямой

Выясним, лежат ли точки и по одну сторону плоскости грани или по разные?

Найдём уравнение плоскости грани как уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор :

.

Для решаемой задачи , а найден в п. в) решаемой задачи. Следовательно, уравнение плоскости грани

---

: или .

Для всех точек , лежащих на плоскости, будет выполняться равенство , для точек, лежащих по одну сторону плоскости, будет выполняться неравенство , для точек, лежащих по другую сторону плоскости, - неравенство .

Для точки выполняется неравенство .

Для точки выполняется неравенство .

Следовательно, точки и лежат по одну сторону плоскости грани .
Задание 6

В стандартном базисе пространства даны векторы , , , и

Требуется:

а) убедиться, что векторы образуют базис пространства ;

б) найти разложение вектора по этому базису;

в) найти угол между векторами и .

Решение

а) Векторы образуют базис пространства , если их линейная комбинация равна нулю только при .

Уравнению

---

соответствует система уравнений

Эта однородная система имеет только нулевое (тривиальное) решение , если её определитель не равен нулю, то есть

Вычислим определитель, разложив его по элементам второй строки:

.

Следовательно, заданные векторы образуют базис пространства .

б) Найдем координаты вектора в базисе из векторного уравнения .

Этому векторному уравнению соответствует система



Решив систему, находим .

Следовательно, разложение вектора по базису :

в) Если скалярное произведение в определено аналогично тому, как это было в , то .

Следовательно, , то есть векторы и ортогональны.
Задание 7

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в базисе матрицей .

Решение

Ненулевой вектор называется собственным вектором, а число -соответствующим вектору собственным значением оператора

---

, если или .

Для заданной матрицы последнее матричное уравнение примет вид или .

Этому матричному уравнению соответствует однородная линейная система уравнений



Для того, чтобы однородная система имела ненулевые решения необходимо, чтобы её определитель был равен нулю.

Уравнение называют

характеристическим уравнением.

Для нахождения собственных значений решим характеристическое уравнение:

; ;

, , .

Таким образом, собственными значениями линейного оператора, заданного матрицей (собственными значениями матрицы ), являются , , .

Найдем собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям, то есть векторы .

Для получим систему уравнений для нахождения координат первого собственного вектора



Полагая , получим координаты первого собственного вектора

---

. При , получим .

Для получим систему уравнений для нахождения координат второго собственного вектора





Полагая , получим координаты второго собственного вектора . При , получим .

Для получим систему уравнений для нахождения координат третьего собственного вектора





Полагая , получим координаты третьего собственного вектора . При , получим .

---

Смотрите также файлы

• Программа подготовки Промышленное и гражданское строительство.docx

• Задача Определить теплоту сгорания и плотность газообразного топлива, имеющего следующий состав (% по объему).docx

• аллея славы.docx

• Контрольная работа 1 Вариант 12 e 1, b e 2, b e 3, b r.docx

• Формирование здорового образа жизни.docx