безопасно передавать секретные сообщения, а также снимать и класть деньги в банкоматах и т. п. Теория эта оказалась востребована на практике. В России есть целая Академия криптографии и научно-исследовательские организации, которые используют такие разработки.

Мы рассматривали только неопределенные уравнения первой степени. С уравнениями второй степени сложнее. Уравнениями третьей и больше степеней занимаются великие математики, потому что их решения слишком сложны и громоздки. В ближайшее время, планируем рассмотреть уравнения 2 степени.
Литература

1. 
   Бардушкин В.В., Кожухов И.Б., Прокофьев А.А., Фадеичева Т.П. Основы теории делимости чисел. Решение уравнений в целых числах. Факультативный курс. – М.: МГИЭТ(ТУ), 2003. – 224 с.
   
2. 
   Башмакова И. Г. Диофант и диофантовы уравнения.– М.: изд. «Наука», 1972. –68с.
   
3. 
   Бухштаб А. А., Теория чисел. – М.: Просвещение, 1966. –385 с.
   
4. 
   Деев М.Е. Методы решения олимпиадных задач на доказательство. // Информация и образование: границы коммуникаций (INFO 13): Сборник научных трудов № 5(13) / под ред. Темербековой А.А., Гальцевой Н.П. – Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2013. – 462с.
   
5. 
   Никифоровский В. А. В мире уравнений.–М.: изд. «Наука» 1987.– 176с.
   
6. 
   Серпинский В. О решении уравнений в целых числах. – М.: Физматлит, 1961.– 88 с.
   
7. 
   Шпилекова Л.Н. Методика решения диофантовых уравнений при подготовке школьников к олимпиадам. // Информация и образование: границы коммуникаций INFO 16: Сборник научных трудов № 8(16) / под ред. Темербековой А.А., Альковой Л.А. – Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2016. – 258с.
   

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Способ 2. Алгоритм Евклида.

Решить уравнение в целых числах 407х – 2816y = 33.

Воспользуемся составленным алгоритмом.

1. 
   Найдем наибольший общий делитель чисел 407 и 2816: 
   

2816 = 407·6 + 374;

407 = 374·1 + 33;

374 = 33· 11 + 11;

33 = 11·3

Следовательно (407,2816) = 11, причем 33 делится на 11 

2. 
   Разделим обе части первоначального уравнения на 11, получим уравнение 37х – 256y = 3, причем (37, 256) = 1 
   
3. 
   Найдем линейное представление числа 1 через числа 37 и 256. 
   

256 = 37·6 + 34;

37 = 34·1 + 3;

34 = 3·11 + 1

Выразим 1 из последнего равенства, затем последовательно поднимаясь по равенствам будем выражать 3; 34 и полученные выражения подставим в выражение для 1.

1 = 34 – 3·11 = 34 – (37 – 34·1) ·11 = 34·12 – 37·11 = (256 – 37·6) ·12 – 37· 11 = – 83·37 – 256·(–12)

Таким образом, 37·(–83) – 256·(–12) = 1, следовательно, пара чисел 

---

х₀ = – 83 и у₀ = – 12 есть решение уравнения 37х – 256y = 3. 

4. 
   Запишем общую формулу решений первоначального уравнения 
   x = – 83c + bt= – 83 3 – 256t = – 249 – 256t
   

y = – 12c–at =– 12 3– 37t = – 36 – 37t

где t - любое целое число.


ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Способ 3.Метод рассеивания.

Задача 2. Для газификации жилого дома требуется проложить газопровод длиной 39 м. Имеются трубы 5 м и 8 м длиной. Сколько требуется труб, чтобы не приходилось их разрезать при прокладке газопровода?

Решить способом измельчения в целых числах уравнение 5x + 8y = 39.

Решение:

1. Выберем неизвестное, имеющее наименьший коэффициент, и выразим его через другое неизвестное: x = (39 – 8y):5.

Выделим целую часть: x = 7 –y + (4 – 3y):5.

Все число будет целым, если целым окажется значение (4 – 3y):5.

Это возможно тогда, когда число (4 – 3y) без остатка делится на 5. Вводя дополнительную целочисленную переменную z, последнее уравнение запишем в виде: 4 –3 y = 5z.

Мы пришли к уравнению такого же типа, как и исходное уравнение, но уже с меньшими коэффициентами. Решать его уже нужно относительно переменных y и z.

2. y= (4 – 5z): 3 = 1 – z + (1 – 2z):3

Аналогично рассуждая, запишем (1 – 2z) через новую целочисленную переменную и: 1–2z=3u

3. z = (1–3u):2=(1– u):2 – u;

1– u=2v

4. u=1 –2v - дробей больше нет, спуск закончен.

5. Теперь необходимо «подняться вверх». Выразим через переменную v сначала z, потом y и затем x.

z =(1– u):2 –u=(1–1+2v):2–1+2v= 3v–1,

z = 3v– 1.

y = (4–5z):3 = (4 – 5(3v – 1)):3=3– 5v,

y = 3 – 5v.

x = (39 – 8y) : 5 = (39 – 8(3 – 5v)) : 5 = 3 + 8v,

x=3+8v.

6. Формулы x=3+8v, y=3– 5v представляют общее решение исходного уравнения в целых числах.

7. Если необходимо получить только натуральные числа, то среди

всех целых решений нужно выбрать такие, для которых x>0, y>0, то есть 3+8v>0,3 – 5v>0.

Совместно эти неравенства могут выполняться лишь при v=0. В этом случае x=3, y=3

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Задача 5. Решим уравнение 5х–8у=1 геометрически.

Решение. Запишем частное решение уравнения (1).Запишем общее решение данного уравнения (1).

Отложим на окружности последовательно друг за другом равные дуги, составляющие

---

-ю часть полной окружности. За 8 шагов получим все вершины правильного вписанного в окружность 8-угольника. При этом сделаем 5 полных оборотов. На 5-ом шаге получили вершину, соседнюю с начальной, при этом сделали 3 полных оборота и еще прошли -ю часть окружности, так что х = у + .Итак, Х_о = 5, у_о =3 является частным решением уравнения 5х – 8у = 1.

Частное решение уравнения (1): Х_о = 19 5=95; у_о =19 3=57.

Общее решение уравнения (1):    n   Z. Рис.2 …..

---

Смотрите также файлы

• Программа среднего профессионального образования 46. 02. 01 Документационное обеспечение управления и архивоведение Дисциплина Государственные, муниципальные архивы и архивы организаций Практическое занятие 3.doc

• Боэций и проблема универсалий.docx

• Модулю 1 Общие вопросы гиигены и экологии Содержательный модуль Введение в гигиену и экологию.docx

• Правила обслуживания Правила приемки и выдачи (измений в заказах) Правила безопасности и действия при чс Правила работы с кассой и исправление ошибок по кассе.docx

• Наставничество педагогических работников в образовательных организациях Республики Башкортостан.pptx