Файл: Законы сохранения лабораторный практикум Краснодар 2020.pdf

23
???? =
1 2
????(????
2 2
+ ????
1 2
). (2.6)
Следует отметить, что аналитическое вычисление интеграла
(2.5) возможно только в простейших случаях тел правильной геометрической формы. Для тел неправильной геометрической формы или для тел, в которых плотность является некоторой функцией, зависящей от расстояния, такие интегралы находят численно, либо используют экспериментальные методы определения момента инерции тела.
Любое сложное движение можно представить как сумму простых, при этом скорость общего движения определяется суммой скоростей простых движений. В случае общего движения твердого тела оно может быть разделено на поступательное и вращательное. В то же время общее движение твердого тела можно рассматривать как вращательное движение относительно мгновенной оси (прямой, проходящей через точку твердого тела, которая в данный момент оказывается неподвижной).
Мгновенная ось с течением времени непрерывно перемещается как в теле, так и в пространстве. Такое описание общего движения обосновывается теоремой Эйлера.
Рассмотрим силы, действующие на маятник Максвелла, и запишем уравнения динамики для опускающегося маятника вертикально вниз, например, вдоль оси ???? (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Схема маятника Максвелла

24
Для описания движения маятника Максвелла выберем систему отсчета, связанную с центром масс системы. Под действием силы тяжести центр масс опускается вниз с постоянным ускорением ????⃗, тогда уравнение движения имеет следующий вид:
????????⃗ = ????????⃗ + ????
⃗⃗, (2.7) где ????⃗⃗ – результирующая сила натяжения обеих нитей; ???? – масса маятника.
В процессе движения вниз маятник совершает вращательное движение вокруг горизонтальной оси OO', проходящей через центр масс системы. Вращение вызвано действием сил натяжения нитей на плечо силы ????, намотанных на трубчатую ось маятника.
Здесь ???? =
????
2
+ ???? и ведены следующие обозначения: ???? – диаметр оси, ????  толщина нити бифилярной подвески (0,5 мм).
Основное уравнение вращательного движения маятника
Максвелла имеет вид:
????
⃗⃗⃗ = ????ε⃗ = [????⃗
×
????
⃗⃗], (2.8) где ????
⃗⃗⃗ – суммарный момент сил, действующих на маятник; ε⃗ – угловое ускорение вращения маятника; ???? – введенный ранее момент инерции маятника относительно оси OO'.
Так как поступательное движение происходит только вдоль вертикальной оси, то для решения уравнений (2.7) и (2.8) перейдем от векторной формы записи к проекциям на эту ось
(вертикальная ось ????):
???????? = ???????? − ????, (2.9)
???? = ????ε. (2.10)
В процессе движения центр масс маятника опускается настолько, насколько раскручивается нить с металлической трубки, поэтому перемещение центра масс вдоль оси ???? связано с углом поворота φ соотношением:
???? = ????φ. (2.11)
Дифференцируя выражение (2.11) дважды по времени, получим связь между линейным ускорением центра масс маятника и его угловым ускорением:

25
???? =
????
2
????
????????
2
= ????
????
2
φ
????????
2
= ????ε. (2.12)
С учетом выражений (2.10) и (2.12) выражение (2.8) может быть записано в следующем виде:
???????? = ????
????
????
, (2.13) или
???? = ????
????
????
2
. (2.14)
Решая совместно систему уравнений (2.9) и (2.14), получим:
???? =
????????
???? +
????
????
2
, (2.15)
???? =
????????
1 +
????????
2
????
. (2.16)
Из уравнений (2.15) и (2.16) следует, что в процессе движения маятника, его ускорение и сила натяжения нитей постоянны. Следовательно, при движении маятника вниз, положение центра масс можно отсчитывать от точки его закрепления в начальный момент времени и его положение меняется по закону:
???? =
????????
2 2
. (2.17)
Подставляя (2.17) в (2.16), получим выражение для экспериментального момента инерции маятника Максвелла:
???? = ????????
2
(
????????
2 2????
− 1), (2.18) где ???? = ????/2 + ???? – плечо силы; ???? – внешний диаметр трубки
(оси), на которую наматывается нить; ???? – диаметр нити (0,5 мм);
???? – время движения маятника от самой верхней точки до самой нижней точки; ???? – соответствующее пройденное расстояние вдоль вертикальной оси; ???? – полная масса маятника, равная сумме масс отдельных компонент – трубки, диска и кольца (если надето).

26
О
ПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
Общий вид установки с маятником Максвелла показан на рис. 2.3.
Основание 11 оснащено регулируемыми ножками 12, которые позволяют произвести горизонтирование прибора. В основании закреплена колонка 2, к которой прикреплен неподвижный верхний кронштейн 3 и подвижный нижний кронштейн 1, электронный секундомер 11. На верхнем кронштейне находится электромагнит 6, фотоэлектрический датчик 4 и вороток 5 для закрепления и регулирования длины бифилярной подвески маятника.
Рис. 2.3. Схема установки с маятником Максвелла

27
Нижний кронштейн вместе с прикрепленным к нему фотоэлектрическим датчиком 9 можно перемещать вдоль колонки и фиксировать в произвольно выбранном положении.
Диск Максвелла 8, закрепленный бифилярным подвесом, позволяет менять момент инерции при помощи сменных колец 7.
Диск с наложенным кольцом удерживается в верхнем положении электромагнитом.
Длина маятника определяется по миллиметровой шкале на колонке прибора (от нижней кромки кольца 7 в верхнем положении диска Максвелла, до нижней кромки кольца в нижнем положении диска). С целью облегчения этого измерения нижний кронштейн оснащен указателем.
Некоторые технические данные установки: ????
о
– масса оси
(34,0 г);
???? – диаметр оси (10,0 мм); ????
д
– масса диска (125,6 г);
????
к
– соответствующая масса выбранного кольца (указана на кольце в граммах); ????  толщина нити бифилярной подвески
(0,5 мм); рабочая погрешность измерения времени – 0,02 %; электрическое питание: 220 В, 50 Гц.
На лицевой панели электронного блока размещены следующие элементы: «Сеть» – включатель сети; «Сброс» – установка счетчиков на нуль, команда на начало измерений;
«Пуск» – выключатель электромагнита; «Стоп» – команда на прекращение измерений.

28 соблюдать меры безопасности, согласно общим правилам по безопасности труда для устройств, в которых имеются напряжения до 250 В. Прибор разрешается эксплуатировать только при применении заземления. Подключение установки к блоку электронному ФМ-1/1 разрешается только лаборанту.
Включение прибора, проведение измерений и любые другие
манипуляции с лабораторным оборудованием допускаются
только с разрешения преподавателя и только при его личном
присутствии в лаборатории.
Подготовка установки к работе
1.
Проверить вертикальность и заземление прибора.
2.
Включить сетевой шнур в питающую сеть, прибор готов к работе непосредственно после подключения к питающей сети.
3.
Нажать клавишу «Сеть», проверяя, произошло ли высвечивание цифровыми индикаторами нулей и засветились ли лампочки фотоэлектрического датчика.
4.
Намотать на ось маятника нить подвески, обращая внимание на то, чтобы она намоталась равномерно, виток к витку, поднимая его до самого верхнего положения, и привести в контакт с электромагнитом; убедиться в способности электромагнита удерживать маятник в статичном положении.
5.
Нажать кнопку «Сброс» и обнулить все показания.
6.
Нажать кнопку «Пуск», внимательно проследив за движением маятника, оно должно происходить вертикально вниз, без вибраций и колебаний.
Задание 1. Экспериментально определить момент инерции
маятника Максвелла (трубки и диска).
1.
Проверить, отвечает ли нижняя кромка кольца в верхнем положении нулю шкалы на колонке. Если нет, отвинтить верхний кронштейн и отрегулировать его высоту.
2.
Установить нижний кронштейн так, чтобы нижняя кромка диска находилась примерно на 2 мм ниже оптической оси нижнего фотоэлектрического датчика.

29 3.
В нижнем положении по нижней кромке кольца определить высоту спуска маятника.
4.
Намотать нить подвеса на ось маятника, укладывая витки вплотную друг к другу.
5.
Зафиксировать маятник с помощью электромагнита в самом верхнем положении.
6.
Повернуть маятник в направлении его движения на угол около пяти градусов, для снятия натяжения нити при его накручивании.
7.
Нажать клавишу «Сброс».
8.
Нажать клавишу «Пуск».
9.
Считать и записать полученное время падения маятника.
10. Повторить действия, описанные в пунктах 4–9 еще минимум 4 раза.
11. Используя формулу (2.18), определить моменты инерции маятника Максвелла относительно его оси симметрии бесконечного порядка и найти его среднее значение.
12. Определить погрешность вычисленного момента инерции маятника.
Задание
2.
С
помощью
маятника
Максвелла
экспериментально
определить
моменты
инерции
колец
относительно их осей симметрии бесконечного порядка.
1.
На диск маятника надеть одно из колец, прижимая его до упора. Кольцо должно плотно прилегать к диску и не
«восьмерить» в процессе движения.
2.
Установить нижний кронштейн так, чтобы внешняя кромка кольца находилась примерно на 2 мм ниже оптической оси нижнего фотоэлектрического датчика.
3.
В нижнем положении по внешней кромке кольца определить новую высоту спуска маятника.
4.
Далее следовать указаниям, описанным в пунктах 4–10 задания 1.
5.
Проделать аналогичные эксперименты с другим кольцом.

30 6.
По формуле (2.18) рассчитать суммарные моменты инерции системы.
7.
Используя свойство аддитивности моментов инерции, найти моменты инерции колец относительно их осей симметрии бесконечного порядка.
8.
Оценить погрешности проделанных вычислений.
Значения физических параметров
Параметр
1 2
3 4
5
Среднее значение
Абсолютная погрешность
????
о+д
, м
0,0005, м
????
о+д+к
, м
????
о+д
, с
0,005, с
????
о+д+к1
, с
????
о+д+к2
, с
????
о+д
, кг
∙
м
2
????
о+д+к1
, кг
∙
м
2
????
к1
, кг
∙
м
2
????
о+д+к2
, кг
∙
м
2
????
к2
, кг
∙
м
2
????
теор к1
, кг
∙
м
2
????
теор к2
, кг
∙
м
2
Задание 3. Вычислить теоретические моменты инерции
колец относительно их осей симметрии бесконечного порядка и
сравнить их со значениями, полученными на основе
экспериментальных данных.
1.
Измерить штангенциркулем внешние и внутренние диаметры двух колец в разных местах минимум пять раз и найти их средние значения.

31 2.
Взвесить кольца на электронных весах и записать значения их масс.
3.
По формуле (2.6) вычислить их моменты инерции.
4.
Оценить погрешности проделанных вычислений.
5.
Сравнить теоретически полученные значения моментов инерции колец с расчетными значениями, полученными экспериментально.
6.
Объяснить полученный результат (позволяет ли сравнение результатов расчета с экспериментом проверить справедливость законов общего движения твердого тела).
7.
Заполнить таблицу.
Контрольные вопросы и задания
1.
Сформулируйте теорему о движении центра масс системы материальных точек.
2.
Дайте определение момента инерции одной материальной точки, системы материальных точек.
3.
Сформулируйте и запишите теорему Штейнера.
4.
Сформулируйте закон сохранения энергии.
5.
Дайте определения кинетической и потенциальной энергиям.
6.
Что называется математическим маятником?
7.
Дайте определение угловой скорости и углового ускорения. Сделайте рисунок. Укажите направления этих векторов в процессе движения маятника.
8.
Что называется моментом инерции? В каких единицах он измеряется?
9.
Что называется физическим маятником? Каким образом из маховика можно получить физический маятник?
10. Что называется моментом силы? Дайте векторную формулу.
11. Запишите уравнения движения маятника Максвелла.
12. Как изменяется ускорение, скорость и сила натяжения нити при движении маятника?
13. Куда направлена угловая скорость для тела, вращающегося в горизонтальной плоскости по часовой стрелке?

32 14. Всегда ли направление угловой скорости совпадает с направлением углового ускорения?
15. Всегда ли совпадает направление углового ускорения и направление момента силы, вызывающего это ускорение?
16. Чему равны периоды малых колебаний математического и физического маятников?
17. Сформулируйте и запишите закон сохранения механической энергии для замкнутой консервативной системы.
18. Как изменяется механическая энергия маятника
Максвелла при его движении?
19. Проанализируйте источники возможных погрешностей.
20. Вычислите момент инерции полого тора с радиусом
???? направляющей окружности, радиусом ???? образующей окружности, массой ???? относительно оси перпендикулярной горизонтальной плоскости симметрии тора и проходящей через его центр масс.
21. Вычислите значение момента инерции
Земли относительно оси симметрии, проходящей через ее геометрический центр, считая Землю однородным шаром массы
????
З
и радиуса
????
З
. Сравните полученное значение с табличным.
22. Какова в действительности реальная форма Земли?
На сколько сильно она деформирована?
23. В силу каких причин форма Земли деформирована?
Какова ее внутренняя структура?
Рекомендуемая литература
Абрамов С.М. Механика: учеб. пособие. 2-е изд., стер. М.:
ФЛИНТА, 2018. URL: https://e.lanbook.com/book/116348.
Аксенова Е.Н, Калашников Н.П. Методы обработки результатов измерений физических величин: учеб.-метод. пособие.
М.:
НИЯУ
МИФИ,
2016.
URL: https://e.lanbook.com/book/119497.
Аксенова Е.Н. Общая физика. Механика (главы курса): учеб. пособие.
2-е изд., испр.
СПб.:
Лань,
2018.
URL: https://e.lanbook.com/book/103056.