Файл: Законы сохранения лабораторный практикум Краснодар 2020.pdf

33
Бугаенко Г.А., Маланин В.В., Яковлев В.И. Механика: учебник для вузов. 2-е изд., испр. и доп. М.: Юрайт, 2018. URL: https://biblio-online.ru/book/B1C28758-8D33-487F-9032-4882C5039672.
Доронин Ф.А. Теоретическая механика: учеб. пособие.
СПб.: Лань, 2018. URL: https://e.lanbook.com/book/101840.
Иродов И.Е. Механика. Основные законы: учеб. пособие.
13-е изд.
М.:
Лаборатория знаний,
2017.
URL: https://e.lanbook.com/book/94115.
Кузнецов С.И., Подзеева Э.В. Физика: учеб. пособие; в 2 ч.
Ч. 1: Механика. Механические колебания и волны. Молекулярная физика и термодинамика. URL: https://e.lanbook.com/book/10288.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: учеб. пособие для вузов в 10 т.: Механика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2018.
Т. 1.
Практикум по решению задач общего курса физики.
Механика: учеб. пособие / Н.П. Калашников [и др.]. М.: Лань,
2018. URL: https://e.lanbook.com/reader/book/106870/#1.
Савельев И.В. Курс физики: учеб. пособие; в 3 т.: Механика.
Молекулярная физика. 7-е изд., стер. СПб.: Лань. Т 1.
URL: https://e.lanbook.com/book/106894.
Стрелков С.П. Механика: учебник. 6-е изд., стер. СПб.:
Лань, 2019. URL: https://e.lanbook.com/book/115197.

34
Лабораторная работа № 3
МАЯТНИК ОБЕРБЕКА
Цель работы – вычислить момент инерции маятника
Обербека относительно его неподвижной оси вращения при различных положениях грузов.
Приборы и принадлежности: крутильный маятник
Обербека с 4 передвижными грузами, линейка, перегрузки с известной массой, секундомер, фотоэлектрический датчик
ФМ-1/1.
К
РАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Вращательным движением твердого тела называется движение, при котором все точки тела, двигаясь в параллельных плоскостях, описывают окружности с центрами, лежащими на одной неподвижной прямой, перпендикулярной к плоскости этих окружностей и называемой осью вращения.
Момент силы ????
⃗⃗⃗ относительно неподвижной оси (или вращательным моментом силы) называется векторное произведение радиус ????⃗ вектора на силу ????⃗ (рис. 3.1):
????
⃗⃗⃗ = [????⃗
×
????⃗]. (3.1)
Рис. 3.1. Поясняющая схема к определению момента силы

35
Момент силы ????
⃗⃗⃗ перпендикулярен к плоскости, в которой лежат радиус-вектор ????⃗ и сила ????⃗, и образует с ними правую тройку
(при наблюдении с конца вектора ????
⃗⃗⃗ видно, что вращение по кратчайшему пути от ????⃗ к ????⃗ происходит против часовой стрелки).
Единица момента силы в СИ – Н∙м (ньютонметр).
Модуль вектора ????
⃗⃗⃗, согласно определению векторного произведения, равен:
???? = ????

????

????????????(????⃗????⃗) = ????

????

???????????? α = ????

????. (3.2)
Кратчайшее расстояние ???? от оси вращения до линии действия силы ????⃗, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси вращения и вызывающей вращение тела, называется плечом силы.
Если момент силы отличен от нуля, то тело вращается с угловым ускорением ε⃗. Угловое ускорениеε⃗ – это величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости тела и равная первой производной угловой скорости по времени:
ε⃗ =
????ω
⃗⃗⃗
????????
. (3.3)
Пусть некоторое тело состоит из ???? материальных точек соответствующих масс ????
????
, кратчайшее расстояние до каждой точки ????
????
и на каждую действует некоторая сила величины
????
????
, тогда суммарный момент сил, действующий на тело, равен алгебраической сумме отдельных моментов:
???? = ∑ ????
????
????
????=1
= ∑ ????
????
????
????
????
????=1
= ∑ ????
????
????
????
????
????
????
????=1
= ∑ ????
????
????

????
????????
????
????
,
????
????=1
(3.4) где ????
????
и

????
– соответствующие ускорения и скорости материальных точек.
Моментом инерции ???? материальной точки относительно некоторой оси называется скалярная величина, равная произведению массы ???? этой материальной точки на квадрат расстояния ???? от этой точки до оси вращения:
???? = ????????
2
. (3.5)

36
Момент инерции относительно оси вращения характеризует инертность тела при вращении вокруг этой оси, т.е. является величиной, аналогичной массе тела, которая является мерой инертности тела при его поступательном движении. Момент инерции зависит не только от массы всего тела и ее распределения в теле, но также от его ориентации относительно оси вращения и является величиной аддитивной. Аддитивность – свойство физических, геометрических и других величин, состоящее в том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме значений величин, соответствующих его частям, при любом разделении объекта на части. Тогда для некоторого тела, состоящего из ???? материальных точек, момент инерции относительно той же оси равен:
???? = ∑ ????
????
????
????=1
= ∑ ????
????
????
????
2
????
????=1
(3.6)
При непрерывном распределении массы относительно оси вращения момент инерции равен:
???? = lim
????
????

0
????

∞
∑ ????
????
????
????
2
????
????=1
= ∫ ????
2
????????
????
0
= ∫ ????
2
????????.
????
(3.7)
Тогда для бесконечно малого элемента объема массы ???????? модуль момента силы ???????? будет определяться следующим выражением:
???????? = ???? ???????? = ????

????

???????? = ????
????

????????

????????. (3.8)
Так как величина ???? = ω????, то формулу (3.8) можно переписать следующим образом:
???????? = ????
2
????ω
????????
????????. (3.9)
Продифференцировав формулу (3.5) для суммарного момента инерции, получим момент инерции для элементарной массы:
???????? = ????
2
????????. (3.10)

37
Учитывая формулы (3.7) и (3.9) и интегрируя по всем элементам массы тела, находим:
????
⃗⃗⃗ = ????

ε⃗. (3.11)
Уравнение (3.11) называется основным законом динамики
вращательного движения и формулируется следующим образом: момент внешних сил, вращающих тело вокруг неподвижной оси, равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловое ускорение тела.
О
ПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ
Маятник Обербека, применяемый в установке, представляет собой инерционное колесо в виде крестовины. На четырех стержнях могут перемещаться четыре подвижных груза массой
????
гр
(192 г) каждый. На горизонтальной оси крестовины имеется двухступенчатый диск, на который наматывается нить. Один конец нити прикреплен к диску, а на втором конце нити подвешено несколько грузов общей массой ????
п
. Под влиянием веса падающего груза нить разматывается с диска и вызывает вращательное равномерно ускоренное движение крестовины.
Общий вид маятника Обербека показан на рис. 3.2–3.3. На вертикальной колонне 1, установленной на основании 2, прикреплены два кронштейна: нижний неподвижный 3, верхний подвижный 4 и две неподвижные втулки: нижняя 5 и верхняя 6.
Основание
2 снабжено регулируемыми ножками
7, обеспечивающими горизонтальную установку прибора.
На верхней втулке 6 посредством основания 8 закреплен подшипниковый узел диска 9 и малый диск 10. Через диск 10 перекинута нить 11. Один конец нити прикреплен к двухступенчатому диску 12, а на втором конце закреплены грузы
13.
На нижней втулке 5 посредством основания 14 прикреплен тормозной электромагнит 15, который после включения напряжения питания удерживает с помощью фрикционной муфты систему крестовины вместе с грузами в состоянии покоя.

38
Подвижный кронштейн 4 можно перемещать вдоль колонны 1 и фиксировать его в любом положении, определяя таким образом длину пути падения грузов. С целью определения этой длины на колонне 1 нанесена миллиметровая шкала 16.
Рис. 3.2. Схема маятника Обербека (профиль)

39
На подвижном кронштейне 4 закреплен фотоэлектрический датчик 17. На неподвижном кронштейне 3 закреплен фотоэлектрический датчик 18, фиксирующий конец времени измерения и включающий тормозной электромагнит. К кронштейну 3 прикреплен кронштейн 19 с резиновыми амортизаторами, ограничивающими движение грузов.
Рис. 3.3. Схема маятника Обербека (фронт)

40
В основании прибора имеется жестко скрепленный с ним миллисекундомер. Клавиша «Сеть» при нажатии включает (или выключает) напряжение сети. Клавиша «Сброс» – устанавливает миллисекундомер на нулевое деление. Клавиша «Пуск» – отключает тормозной электромагнит и вызывает движение грузов с одновременным началом счета времени движения. Значение времени дается в секундах с точностью до третьего знака.
При изменении расстояния перемещаемых грузов от оси крестовины данной лабораторной установки модуль углового ускорения ε крестовины тем меньше, чем больше момент инерции тела ???? относительно оси вращения; из (3.11) имеем:
ε =
????
????
. (3.12)
Величина углового ускорения ε связана с линейным ускорением ???? падающего груза следующим соотношением:
ε =
????
????
, (3.13) где ???? – радиус двухступенчатого диска.
При равномерно ускоренном движении величина ???? связана с высотой ℎ падения грузов и временем ???? их падения:
ℎ =
????????
2 2
. (3.14)
Модуль вращательного момента силы ????, приложенной к крестовине, равен:
???? = ???????? = ????
п
(???? − ????)????, (3.15) где ???? – модуль ускорения свободного падения (на широте
Краснодара – ???? ≈ 9,81 м/с
2
).
Используя формулы
(3.12)–(3.15), находим экспериментальное значение момента инерции крестовины с грузами:
????
экс
= ????
п
????
2
(
????????
2 2ℎ
− 1). (3.16)
Теоретическое значение момента инерции ????
теор
:
????
теор
= ????
0
+ 4????
????
+ 4????
гр
????
????
2
, (3.17)

41 где ????
0
– суммарный момент инерции маховика без грузов;
????
????
– момент инерции подвижного груза относительно оси, проходящей через его центр масс и параллельной оси вращения крестовины; ????
????
– расстояние от оси вращения до центра масс груза, ????
гр
– масса каждого подвижного груза (192 г).
Величина ????
????
+ ????
гр
????
????
2
в (3.17) есть не что иное, как момент инерции подвижного груза относительно оси вращения крестовины. Согласно теореме Штейнера: момент инерции тела относительно оси вращения равен моменту инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями. Поэтому, если произвести измерения для двух разных значений ????
????
, например, для наибольшего из возможных значений ????
1
и наименьшего значения
????
2
, то легко найти теоретическое значение разности моментов инерции:
Δ????
теор
= 4????
гр
∙ (????
1 2
− ????
2 2
). (3.18)
Следовательно, все четыре подвижных груза всякий раз находятся на одинаковых расстояниях ????
1
или
????
2
от оси вращения крестовины. Эти расстояния должны отсчитываться от центра масс (фактически от середины) подвижного груза, а не от его переднего или заднего края.

42 90
о друг к другу. Следить, чтобы нить не слетела с диска на ось крестовины и не привела к заклиниванию вращения. Не прикасаться к задней стенке панели миллисекундомера. При выполнении любых подготовительных работ следует выключить электронный блок.
Подключение установки к блоку электронному ФМ-1/1 разрешается только лаборанту.
Включение прибора, проведение измерений и любые другие
манипуляции с лабораторным оборудованием допускаются
только с разрешения преподавателя и только при его личном
присутствии в лаборатории.
Подготовка установки к работе
1.
С помощью четырех установочных винтов установить платформу с маятником Обербека по уровню в горизонтальной плоскости.
2.
Включить вилку шнура в сеть, нажать клавишу «Сеть» и убедиться, что все индикаторы показывают нули и горят лампочки в обоих фотоэлектрических датчиках. Расстояние между фотоэлектрическими датчиками должно быть 40–50 см.
3.
Установить несколько дополнительных грузов на специальный подвес, привязанный к концу нити.
4.
Аккуратно вращая крестовину против часовой стрелки, установить нижний край подвеса чуть выше верхнего фотоэлектрического датчика. При этом электрический тормозной механизм должен фиксировать выбранное положение крестовины.
5.
Проверить, симметрично ли расположены передвижные грузы на крестовине. Они должны быть надежно зафиксированы.
6.
Нажать кнопку «Пуск», наблюдать за раскручиванием крестовины и опусканием подвеса с грузами до самого нижнего положения. Подвес должен проходить строго по центру фотоэлектрических датчиков без ударов, трения об установку и не должен касаться резинового амортизатора, ограничивающего движение подвеса с грузами. В противном случае – произвести регулировку положений датчиков и длины нити.

43
Задание. Экспериментально определить моменты инерции
крестовины при различных положениях передвижных грузов.
1.
Измерить штангенциркулем диаметр (радиус ????) двухступенчатого диска.
2.
Установить подвижные грузы на большое расстояние
(около 20 см) ????
1
от оси диска. Измерить расстояния линейкой от центров грузов до оси вращения; они должны быть равны между собой.
3.
Установить 2–4 груза на подвес в конце нити и вычислить суммарную массу ????
п подвеса с грузами.
4.
Аккуратно вращая крестовину с грузами против часовой стрелки, навить нить на двухступенчатый диск так, чтобы нижний край подвеса с грузами оказался немного выше черты на корпусе верхнего фотоэлектрического датчика 17.
5.
Отсчитать по шкале, расположенной на колонне, длину пути падения ℎ подвеса с грузами.
6.
Нажать на клавишу «Пуск»; при этом должно начаться ускоренное падение подвеса с грузами и раскручивание крестовины.
7.
Определить по показанию миллисекундомера время ????
1
падения подвеса с грузами. Затем нажать кнопку «Сброс».
8.
Повторить пункты 4–7 еще минимум 4 раза, не меняя условий проведения эксперимента.
9.
Установить подвижные грузы на меньшее расстояние
(не более 10 см) ????
2
от оси диска. Измерить расстояния линейкой от центров грузов до оси вращения; они должны быть равны между собой.
10. Определить по показанию миллисекундомера время
????
2
падения подвеса с грузами. Затем нажать кнопку «Сброс».
11. Повторить пункты 4–6 и 10 еще минимум 4 раза, не меняя условий проведения эксперимента.
11. Записать измеренные значения в табл. 3.1.
12. По формуле (3.16) вычислить экспериментальные моменты инерции крестовины при различных положениях передвижных грузов.

44 13. Вычислить погрешности полученных моментов инерции крестовины и занести полученные значения в табл. 3.1.
14. Найти разность вычисленных моментов инерции крестовины Δ????
экс
, полученных экспериментальным путем.
15. По формуле (3.18) вычислить разность теоретических моментов инерции Δ????
теор
16. Вычислить относительную погрешность измерений по формуле:
Δ = |
Δ????
теор
− Δ????
экс
Δ????
теор
| ∙ 100%.
17. Полностью заполнить табл. 3.1 и сравнить полученные значения Δ????
экс и
Δ????
теор
. Объяснить полученные результаты.
Таблица 3.1
Измеренные и расчетные физические параметры
Параметр
1 2
3 4
5
Среднее значение
????, м
ℎ, м
????
п
, кг
????
1
, м
????
1
, с
????
экс1
, кг∙м
2
Δ????
экс1
, кг∙м
2
????
2
, м
????
2
, с
????
экс2
, кг∙м
2
Δ????
экс2
, кг∙м
2
Δ????
экс
= ????
экс1
− ????
экс2
, кг∙м
2
Δ????
теор
, кг∙м
2
Δ, %