Файл: Квадратные и иррациональные уравнения и неравенства. Метод интервалов. Степенная, показательная и логарифмическая функции. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Производная функции.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.05.2024
Просмотров: 35
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
При вычислении были использованы следующие правила дифференцирования: (xa)' = axa-1
(a)' = 0,
Используем формулу:
Найдем производную первого члена, используя формулу из таблицы производных:
Производная от логарифма и под логарифмического выражения:
Найдем производную второго члена, используя формулы из таблицы производных и свойство сложной функции:
Производная от тригонометрической функции и производная с константой:
Результат:
Задание 8.
Вам предложена функция:
Проведите исследование, согласно схеме:
1. Найти область определения функции.
2. Найти точки пересечения с осями.
3. Исследовать функцию на четность/нечетность.
4. Найти асимптоты.
5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
7. Найти дополнительные точки, уточняющие график.
8. Построить график.
Решение:
-
Найти область определения функции.
Точки разрыва:
Значит, область определения функции:
∞;-4) (-4;4)
(4;+∞)
-
Найти точки пересечения с осями. Приравняем к нулю.
Пересечение с осью 0Y: x=0, y=0
Пересечение с осью 0X:
y=0, тогда , х=0
-
Исследовать функцию на четность/нечетность:
y(-x) = -y(x), нечетная функция
-
Найти асимптоты:
Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:
Находим коэффициент k:
Находим коэффициент b:
Получаем уравнение наклонной асимптоты:
y = x
Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точки разрыва:
x1 = -2, x2 = 2
Находим переделы в точке x=-2
x1 = -2 - точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой.
Находим переделы в точке x=2
x2 = 2 - точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой.
Найдем наклонную асимптоту при x → -∞:
Находим коэффициент k:
Находим коэффициент b:
Получаем уравнение наклонной асимптоты:
y = x
-
Найти y = x^3/(x^2-4)
Найдем точки разрыва функции: x1 = 2, x2 = -2
Поскольку f(-x)=-f(x), то функция является нечетной. экстремумы и интервалы монотонности функции:
-
Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
x2·(x2-12) = 0
или
x1 = 0,
-
(-∞;-2 )
(-2 ;-2)
(-2;0)
(0;2)
(2;2 )
(2 ;+∞)
f'(x)> 0
f'(x) <0
f'(x) <0
f'(x) <0
f'(x) <0
f'(x)> 0
функция возрастает
функция убывает
функция убывает
функция убывает
функция убывает
функция возрастает
В окрестности точки x = -2 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -2 - точка максимума. В окрестности точки x = 2 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 2 - точка минимума.
-
Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.
Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.
=> точки перегиба: x1 = 0
-
(-∞ ;-2)
(-2; 0)
(0; 2)
(2; +∞)
f''(x) <0
f''(x)> 0
f''(x) <0
f''(x)> 0
функция выпукла
функция вогнута
функция выпукла
функция вогнута
-
Найти дополнительные точки, уточняющие график:
-
Построить график.