Файл: Квадратные и иррациональные уравнения и неравенства. Метод интервалов. Степенная, показательная и логарифмическая функции. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Производная функции.doc

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.05.2024

Просмотров: 38

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.




При вычислении были использованы следующие правила дифференцирования: (xa)' = axa-1
(a)' = 0,



Используем формулу:

Найдем производную первого члена, используя формулу из таблицы производных:



Производная от логарифма и под логарифмического выражения:



Найдем производную второго члена, используя формулы из таблицы производных и свойство сложной функции:



Производная от тригонометрической функции и производная с константой:



Результат:

Задание 8.

 Вам предложена функция: 

Проведите исследование, согласно схеме:

1.    Найти область определения функции.

2.    Найти точки пересечения с осями.

3.    Исследовать функцию на четность/нечетность.

4.    Найти асимптоты.

5.    Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6.    Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

7.    Найти дополнительные точки, уточняющие график.

8.    Построить график.

 Решение:

  1. Найти область определения функции.

Точки разрыва:



Значит, область определения функции:

∞;-4) (-4;4)
(4;+∞)

  1. Найти точки пересечения с осями. Приравняем к нулю.

Пересечение с осью 0Y: x=0, y=0

Пересечение с осью 0X:

y=0, тогда , х=0

  1. Исследовать функцию на четность/нечетность:



y(-x) = -y(x), нечетная функция

  1. Найти асимптоты:

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:



Находим коэффициент k:





Находим коэффициент b:





Получаем уравнение наклонной асимптоты:

y = x
Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точки разрыва:

x1 = -2, x2 = 2
Находим переделы в точке x=-2





x1 = -2 - точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой.


Находим переделы в точке x=2





x2 = 2 - точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой.

Найдем наклонную асимптоту при x → -∞:



Находим коэффициент k:





Находим коэффициент b:





Получаем уравнение наклонной асимптоты:

y = x

  1. Найти y = x^3/(x^2-4)
    Найдем точки разрыва функции: x1 = 2, x2 = -2
    Поскольку f(-x)=-f(x), то функция является нечетной. экстремумы и интервалы монотонности функции:

  1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.



Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю


x2·(x2-12) = 0

или


x1 = 0,

(-∞;-2 )

(-2 ;-2)

(-2;0)

(0;2)

(2;2 )

(2 ;+∞)

f'(x)> 0

f'(x) <0

f'(x) <0

f'(x) <0

f'(x) <0

f'(x)> 0

функция возрастает

функция убывает

функция убывает

функция убывает

функция убывает

функция возрастает

В окрестности точки x = -2 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -2 - точка максимума. В окрестности точки x = 2 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 2 - точка минимума.

  1. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.



Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.

=> точки перегиба: x1 = 0

(-∞ ;-2)

(-2; 0)

(0; 2)

(2; +∞)

f''(x) <0

f''(x)> 0

f''(x) <0

f''(x)> 0

функция выпукла

функция вогнута

функция выпукла

функция вогнута




  1. Найти дополнительные точки, уточняющие график:









  1. Построить график.