Файл: И. В. Аржанцев Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений.pdf

66
Глава 8. Указания и ответы к задачам
Базис Грёбнера при x > y > z: x
2
y
2
− z, x
2
yz − z
2
, −z
3
+
x
2
z
2
, xy
2
z −
− xyz, −z
2
+
z
2
y.
5) x ∈ C, y = 0, z = 0 или x = −1, y = ±
1 2
, z = −
1 2
Базис Грёбнера при x > y > z: x
2
y − y, xz + z, 2y
2
+
z, 2z
2
+
z.
6) x = 1, y = 1, z = 0;
x = −1 ± i
√
2, y = ∓i
√
2, z = −1 ∓ i
√
2;
x = ± i
√
2, y = −
1 2
, z = 1 ±
i
√
2 2
Базис Грёбнера при y > z > x: −x
2
+
2y − 1, 2z − 2 + x
3
+
x, (x
2
+
+
2x + 3)(x
2
+
2)(x − 1)
2 7) (0, 0, 0); (1, 0, 1); (−1, 2, −3).
Базис Грёбнера при y > z > x: x − x
2
+
y, x
2
− 2x
3
+
z, −x
2
+
x
4 8) x = 0, y = 0, z ∈ C или x =
1 ± i
√
3 2
, y =
1 ∓ i
√
3 2
, z = −
1 ∓ i
√
3 2
Базис Грёбнера при x > y > z: x + y + yz, y
2
+
z
2
y, yz + z
2
y + z
3
y.
9) x = y = z = 0 или x =
1 2
, y = −
1 2
, z = −
1 2
или x = −
1 ± i
√
3 4
,
y = −
1 2
, z =
1 ± i
√
3 4
Базис Грёбнера при x > y > z: yz + x
2
+
z, xz − 2z
3
, y
2
+
2z
3
, 2z
2
y +
+
z
2
, z
2
+
8z
5 10) x = 0, y = 0, z = ±1.
Базис Грёбнера при x > z > y: x
2
+
z
2
y + yz, y
2
− zx + x, xy + z
2
− 1,
−z
2
+
1 + z
3
− z + y
3
, y
2
z
2
− y
2
, y
4
8.6. К главе 7
7.4
. Достаточно доказать, что найдутся такие номера i < j, для кото- рых x
a
j
делится на x
a
i
, а это в точности лемма Диксона.
7.8
. Универсальный базис состоит из одного многочлена f. В самом деле, для любого порядка старший член многочлена fg делится на стар- ший член f.

Литература о базисах Грёбнера
1. Б у х б е р г е р Б. Алгоритмический метод в теории полиномиаль- ных идеалов // Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраиче- ские вычисления. — М.: Мир, 1986.
2. У ф н а р о в с к и й В. А. Комбинаторные и асимптотические ме- тоды в алгебре // Современные проблемы математики. Фундамен- тальные направления. Т. 57. — М.: ВИНИТИ. 1990.
3. Д э в е н п о р т Д ж., С и р э И., Т у р н ь е Э. Компьютерная алгебра. — М.: Мир. 1991.
4. Л а т ы ш е в В. Н. Комбинаторная теория колец. Стандартные базисы. — М.: МГУ. 1988.
5. П р а с о л о в В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 2000.
6. К о к с Д., Л и т т л Д ж., О ’ Ш и Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. — М.: Мир, 2000.
7. E i s e n b u d D. Commutative Algebra with a View Toward Algeb- raic Geometry. — N. Y.: Springer-Verlag. 1995.
8. S t u r m f e l s B. Gr ¨obner Bases and Convex Polytopes. — Provi- dence, RI: AMS, 1995.
9. A d a m s W. W., L o u s t a u n a u P. An introduction to Gr ¨obner
Bases. — Providence, RI: AMS, 1994.
10. B e c k e r T., K r e d e l H., W e i s p f e n n i n g V. Gr ¨obner Ba- ses: A Computational Approach to Commutative Algebra. — N. Y.:
Springer-Verlag, 1993.

Оглавление
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Глава 1. Основные понятия и определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 1.2. Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 1.3. Некоторые сведения о многочленах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 1.4. Системы уравнений над R и C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Глава 2. САУ и их идеалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.1. Понятие идеала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 2.2. Теорема Гильберта о базисе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16 2.3. Идеал системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Глава 3. Теорема Гильберта о нулях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.1. Определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20 3.2. Радикал идеала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22 3.3. Теорема Гильберта о нулях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23 3.4. Применения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Глава 4. Базис Грёбнера идеала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4.1. Лексикографический порядок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26 4.2. Многогранник Ньютона многочлена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27 4.3. Задача вхождения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29 4.4. Определение базиса Грёбнера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30 4.5. Алгоритм Бухбергера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32 4.6. Минимальный редуцированный базис Грёбнера . . . . . . . . . . . . . .
34 4.7. Вычисление базисов Грёбнера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Глава 5. Применения базисов Грёбнера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
5.1. Критерий несовместности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37 5.2. Критерий эквивалентности систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37 5.3. Критерий конечности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38 5.4. Свободные неизвестные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41 5.5. Геометрическая структура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44 5.6. Решение систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Глава 6. Доказательства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Глава 7. Универсальный базис Грёбнера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
Глава 8. Указания и ответы к задачам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
Литература о базисах Грёбнера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67