Файл: И. В. Аржанцев Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений.pdf

6.4. К главе 4 53
Доказательство. По условию f
i
=
a
i
x
α
+
и f
j
=
a
j
x
α
+
, поэто- му S(f
i
, f
j
) =
f
i
a
i
−
f
j
a
j
. Ясно также, что
f =
P
λ
i
f
i
=
λ
1
a
1

f
1
a
1
−
f
2
a
2

+
(λ
1
a
1
+
λ
2
a
2
)

f
2
a
2
−
f
3
a
3

+
. . . +
(λ
1
a
1
+
. . . + λ
s−1
a
s−1
)

f
s−1
a
s−1
−
f
s
a
s

+
(λ
1
a
1
+
. . . + λ
s
a
s
)
f
s
a
s
.
Однако по условию λ
1
a
1
+
. . . + λ
s
a
s
=
0.
Вернемся к доказательству теоремы. Нам достаточно показать,
что любой многочлен f ∈ I представим в виде f =
P
h
i
f
i
, где стар- ший член f совпадает с наибольшим из старших членов многочленов
h
i
f
i
. Будем рассуждать от противного. Пусть f =
P
h
i
f
i
— запись f,
для которой наибольший из старших членов многочленов h
i
f
i
явля- ется наименьшим возможным, однако этот старший член все рав- но больше старшего члена многочлена f. Перепишем данное пред- ставление как f =
t
P
i=1
(h
iC
f
i
+
h
iM
f
i
) +
m
P
i=t+1
h
i
f
i
, где многочлены h
iC
f
i
,
i = 1, ..., t — это в точности члены представления, старший член которых является наибольшим. По предположению, старшие члены в сумме F =
t
P
i=1
h
iC
f
i
взаимно уничтожаются. По лемме 1 имеем пред- ставление F =
P
i<j
ν
i,j
S(h
iC
f
i
, h
jC
f
j
). Однако h
iC
— одночлены, поэтому
S(h
iC
f
i
, h
jC
f
j
) делится на S(f
i
, f
j
). Редуцируемость к нулю многочленов
S(f
i
, f
j
) с помощью набора {f
i
} обеспечивает нам представление каж- дого из S(f
i
, f
j
) в виде комбинации
P
g
l
f
l
, для которых старший член многочлена S(f
i
, f
j
) совпадает с наибольшим из старших членов мно- гочленов g
l
f
l
. Подставляя полученные комбинации в выражения для F
и f, получим представление f в виде комбинации
P
d
s
f
s
, у которой наи- больший из старших членов многочленов d
s
f
s
меньше, чем у исходной комбинации. Требуемое противоречие получено.
Остается объяснить, почему не нужно рассматривать S-многочлены для тех пар f
i
, f
j
, которые не имеют зацепления. Мы докажем, что если старшие члены многочленов f и g взаимно просты, то S(f, g) редуцирует- ся к нулю при помощи многочленов f и g. Для этого достаточно доказать,
что f и g образуют базис Грёбнера идеала (f, g), или что старший член любого многочлена вида fu + gv делится либо на старший член f
C
, либо

54
Глава 6. Доказательства на старший член g
C
. Предположим противное в последнем утвержде- нии. Пусть F = fu + gv — многочлен, старший член которого не делит- ся ни на f
C
, ни на g
C
. Можно считать, что в этой записи старший член многочлена u минимален по всем таким представлениям многочлена F.
По предположению, старшие члены многочленов fu и gv сокращают- ся, откуда u
C
=
wg
C
, а v
C
=
−wf
C
для некоторого одночлена w. Но то- гда F = f(gw + u
1
) + g(−wf + v
1
) = fu
1
+
gv
1
, и старший член u
1
меньше старшего члена u. Получили противоречие.
Доказательство теоремы
4.29
. Ш
АГ
1. Пусть f
1
, ..., f
s
и g
1
, ...
, g
t
— два минимальных базиса Грёбнера идеала I. Мы покажем, что
s = t и (возможно после перестановки многочленов) старшие члены мно- гочленов f
i
и g
i
совпадают для всех i (мы предполагаем, что все мно- гочлены нормированы, т. е. имеют коэффициент 1 при старшем члене).
По определению базиса Грёбнера, старший член многочлена f
1
делится на старший член некоторого из g
i
(можно считать, что на старший член многочлена g
1
). С другой стороны, старший член g
1
делится на стар- ший член некоторого f
j
. В силу минимальности базиса f
1
, ..., f
s
получаем
j = 1. Отсюда следует, что старшие члены многочленов f
1
и g
1
совпадают.
Далее, старший член f
2
делится на старший член многочлена g
k
, причем
k /
=
1, так как иначе старший член многочлена f
2
делился бы на стар- ший член f
1
, что противоречило бы минимальности базиса многочленов
f
1
, ..., f
s
. Можно считать, что k = 2, и мы получаем, как и выше, что старшие члены многочленов f
2
и g
2
совпадают. Продолжая этот процесс,
несложно заметить, что многочлены f
i
и g
j
должны исчерпаться одновре- менно, откуда s = t.
Ш
АГ
2. Пусть базисы f
1
, ..., f
s
и g
1
, ..., g
s
дополнительно явля- ются редуцированными. Предположим, что f
i
− g
i
/
=
0 для некоторого i.
Тогда старший член многочлена f
i
− g
i
∈ I делится на старший член од- ного из g
j
. С другой стороны, старший член многочлена f
i
− g
i
является нестаршим членом одного из многочленов f
i
или g
i
. Заметим, что старшие члены многочленов g
j
и f
j
совпадают. Получено противоречие с редуци- рованностью базисов.
6.5. К главе 5
Доказательство теоремы
5.14
. После перенумерации можно обозначить переменные x
i
1
, ..., x
i
k
просто x
1
, ..., x
k
. Рассмотрим есте- ственную проекцию π подалгебры A = C[x
1
, ..., x
k
] алгебры C[x
1
, ..., x
n
]

6.5. К главе 5 55
на факторалгебру B = C[x
1
, ..., x
n
] /I(S). Если отображение π не яв- ляется инъективным, то найдется многочлен F(x
1
, ..., x
k
), лежащий в идеале системы. Это означает, что образ координатной проекции ле- жит в гиперповерхности H
F
Предположим, что отображение π является вложением, и докажем,
что образ координатной проекции в этом случае плотен. Мы будем отож- дествлять алгебру A с ее образом π(A) и рассматривать A как подалгебру в B. Нам потребуется следующее утверждение
1
Предложение 1. Пусть B — алгебра без делителей нуля, ко-
нечно порожденная над своей подалгеброй A. Тогда для любого
элемента b ∈ B, b /
=
0 найдется такой элемент a ∈ A, a /
=
0, что
всякий гомоморфизм ϕ: A → C, не аннулирующий a, продолжается
до гомоморфизма ψ: B → C, не аннулирующего b.
Доказательство. Ш
АГ
1. Пусть B = A[u], где элемент u не удо- влетворяет никакому уравнению над A (т. е. является трансцендентным над A). Для любого многочлена f ∈ A[x] обозначим через f
ϕ
многочлен из C[x], полученный из f применением гомоморфизма ϕ ко всем ко- эффициентам. Пусть b = g(u). Возьмем в качестве a любой ненулевой коэффициент многочлена g. Тогда g
ϕ
/
=
0. Пусть α ∈ C — любое чис- ло, не являющееся корнем многочлена g
ϕ
. Определим гомоморфизм ψ
формулой ψ(f(u)) = f
ϕ
(α). Тогда ψ(b) /
=
0.
Ш
АГ
2. Предположим, что B = A[u] и элемент u является алгебра- ическим над A. Пусть p ∈ A[x] — минимальный многочлен элемента u,
и a
1
— старший коэффициент этого многочлена. Если q
∈ A[x] — такой многочлен, что q(u) = 0, то существует такое k, что a
k
1
q делится на p
в A[x]. Поэтому, если ϕ(a
1
) /
=
0 и α ∈ C — любой корень многочле- на p
ϕ
, то формула ψ(f(u)) = f
ϕ
(α) корректно определяет гомоморфизм
ψ
: B → C, совпадающий с ϕ на A.
Любой элемент b ∈ B алгебраичен над A. Пусть h ∈ A[x] — та- кой ненулевой многочлен, что h(b) = 0. Можно считать, что свободный член a
2
многочлена h отличен от нуля. Если ψ(b) = β, то h
ϕ
(β) = 0.
Пусть ϕ(a
2
) /
=
0. Тогда и β /
=
0. Остается положить a = a
1
a
2
Ш
АГ
3. Индукция по числу образующих алгебры B над A сводит до- казательство к последовательному применению шагов 1 и 2.
Вернемся к доказательству теоремы
5.14
. Точки на множестве ре- шений X(S) определяются значениями переменных x
i
, для которых
1
заимствованное из книги В и н б е р г Э. Б., О н и щ и к А. Л. Семинар по груп- пам Ли и алгебраическим группам. — М.: Наука, 1988.

56
Глава 6. Доказательства обнуляются все многочлены из идеала системы. Это позволяет уста- новить биекцию между точками из X(S) и гомоморфизмами алгебры
B = C[x
1
, ..., x
n
]/I(S) в поле C (значения переменных отвечают образам этих переменных при соответствующем гомоморфизме).
Предположим, что алгебра B не имеет делителей нуля. По только что доказанному, найдется такой элемент a алгебры A = π(C[x
1
, ..., x
k
]), что каждый гомоморфизм A → C, не обнуляющий a, продолжится до гомо- морфизма B → C (здесь мы положили b = 1). Это означает, что каждая точка на координатном подпространстве Ox
1
x
k
, в которой не обраща- ется в нуль многочлен a, является образом некоторой точки из X(S) при координатной проекции.
Рассмотрим случай, когда алгебра B имеет делители нуля. Мы по- кажем, что этот случай сводится к предыдущему. Пусть b
1
/
=
0, b
2
/
=
0,
но b
1
b
2
=
0. Тогда хотя бы одно из отображений π
i
: A → B/(b
i
), i = 1, 2,
инъективно. В самом деле, если π
i
(c
i
) = 0, то π(c
1
c
2
) = 0, что противо- речит инъективности π, поскольку в A делителей нуля нет. Далее мы можем рассматривать в качестве B соответствующую B
i
и доказывать,
что для отвечающего ей множества решений образ координатной проек- ции плотен в Ox
1
x
k
(тем более будет плотен образ X(S)). Если в B
i
есть делители нуля b
3
и b
4
, поступаем аналогично и т. д. В результате мы получим идеал в B, порожденный элементами b
i
, b
j
, ... По теореме
Гильберта о базисе такой идеал порождается конечным числом своих ба- зисных элементов. Следовательно, за конечное число шагов мы получим алгебру B
′
, в которую вкладывается A и которая не содержит делителей нуля.
Доказательство теоремы
5.24
. В силу максимальности свободного набора {x
1
, ..., x
k
}, для любого j > k значения переменных {x
1
, ..., x
k
, x
j
}
на множестве решений связаны соотношением F
j
(x
1
, ..., x
k
, x
j
) = 0.
Пусть h
j
(x
1
, ..., x
k
) — коэффициент при старшем члене по перемен- ной x
j
. Если при значениях x
1
=
x
0 1
, ..., x
k
=
x
0
k
значение h
j
(x
0 1
, ..., x
0
k
)
отлично от нуля, то переменная x
j
может принимать лишь конечное число значений на соответствующем прообразе ϕ
−1
(u
0
). Поэтому для всех то- чек множества U, в которых многочлен h
k+1
(x
1
, ..., x
k
)h
k+2
(x
1
, ..., x
k
)...
h
n
(x
1
, ..., x
k
) отличен от нуля, прообраз ϕ
−1
(u
0
) конечен.