Файл: Теория погрешностей Измерение физических величин.pdf

7 погрешность. В нашем практикуме сравнительно небольшой коэффициент надежности


0,9
 
и малое число измерений. Поэтому при округлении (с избытком) полной абсолютной погрешности оставляют одну значащую цифру.
Разряд значащей цифры абсолоютной погрешности определяет разряд первой сомнительной цифры взначении результата. Следовательно, само
значение результата нужно округлять (с поправкой) до той значащей
цифры, разряд которой совпадает с разрядом значащей цифры погрешности.
Сформулированное правило следует применять и в тех случаях, когда некоторые из цифр являются нулями.
Пример.
Если при измерении массы тела получен результат


m
0,900 0,004 кг


, то писать нули в конце числа 0,900 необходимо. Запись m 0,9

означала бы, что о следующих значащих цифрах ничего не известно, в то время как измерения показали, что они равны нулю.
7). Вычисляется относительная погрешность
X

X
ср
X
X



При округлении относительной погрешности достаточно оставить две значащие цифры.
Результат серии измерений некоторой физической величины
представляют в виде интервала значений с указанием вероятности
попадания истинного значения в данный интервал, то есть результат необходимо записать в виде: ср
X
X
X

 
;
X
ср
X
X



;
0,9
 
Здесь
X

– полная, округленная до первой значащей цифры, абсолютная погрешность и ср
X
– округленное с учетом уже округленной погрешности среднее значение измеряемой величины. При записи результата измерений
обязательно нужно указать единицу измерения величины.
Рассмотрим несколько примеров:
1. Пусть при измерении длины отрезка мы получили следующий результат: ср
2,34582

см и
0, 02631
 
см. Как грамотно записать результат измерений длины отрезка? Сначала округляем с избытком абсолютную погрешность, оставляя одну значащую цифру
0, 02631 0, 03
 

см. Значащая цифра погрешности в разряде сотых. Затем округляем с поправкой среднее значение с точностью до сотых, т.е. до той значащей цифры, разряд которой совпадает с разрядом значащей цифры погрешности ср
2,34582 2,35


см. Вычисляем относительную погрешность ср
0 03 0 013 2 35
,
,
,





Результат измерений записываем так:


2,35 0, 03


см;
0 013 1 3
,
, %



;
0 9
,
 

8 2. Пусть при расчете сопротивления проводника мы получили следующий результат: ср
R
28, 7673 Ом

и
R
2, 4652 Ом
 
. Сначала округляем абсолютную погрешность, оставляя одну значащую цифру
R
2, 4652 Ом
3 Ом
 

. Затем округляем среднее значение с точностью до целых ср
R
28, 7673 Ом
29 Ом


Вычисляем относительную погрешность
R
ср
R
3 0 11
R
29
,





Результат измерений записываем так:


R
29 3 Ом


;
R
0 11 11
,
%



;
0 9
,
 
3. Пусть при расчете массы груза мы получили следующий результат: ср m
357, 456

кг и m
24, 726
 
кг. Сначала округляем абсолютную погрешность, оставляя одну значащую цифру m
24, 726 30
 

кг. Затем округляем среднее значение с точностью до десятков ср m
357, 456 360


кг. Вычисляем относительную погрешность m
ср m
30 0 083
m
360
,





Результат измерений массы груза записываем так:


m
360 30


кг; m
0 083 8 3
,
, %



;
0 9
,
 
Из приведенных примеров видно, что округление абсолютной
погрешности производится до первой значащей цифры в сторону
увеличения (с избытком). Среднее значение измеряемой величины
округляется с поправкой до той значащей цифры, разряд которой совпадает
с разрядом значащей цифры погрешности. При округлении относительной
погрешности оставляем две значащие цифры.
Расчет погрешностей косвенных измерений
Пусть искомую величину
Z
можно рассчитать, составив функциональную зависимость от непосредственно измеряемых величин
À, B,..., K


Z
f À, B,..., K

Тогда говорят,что величина
Z
измеряется косвенным образом.
Пусть при этом известны абсолютные погрешности всех прямых измерений
A, B, ..., K



, причем эти погрешности малы по сравнению с самими измеряемыми величинами
A, B, ... , K
. Тогда погрешность искомой величины
Z

вычисляется подобно полному дифференциалу функции:
Z
Z
Z
Z
A
B
K
A
B
K



 
 
  




, только, в отличие от операции отыскания полного дифференциала, все минусы, получающиеся при дифференцировании, заменяются на плюсы, а дифференциалы аргументов на соответствующие абсолютные погрешности.
Формула для расчета относительной погрешности косвенного измерения:
Z
Z
Z
A
Z
B
Z
K
Z
A
Z
B
Z
K
Z












 






9
Формула отыскания относительной погрешности совпадает с формулой


d n Z
, если в последней заменить дифференциалы аргументов на абсолютные погрешности прямых измерений, а минусы на плюсы.
Чаще всего зависимость


Z
f À, B,..., K

имеет вид:
Z
A
B
K





 
Тогда формула для расчета относительной погрешности данного косвенного измерения
Z

будет следующей
Z
A
B
K
  
  
   




Примеры.
1.
Объем параллелепипеда определяется по формуле:
V
a b c
  
Тогда
ñð
ñð
ñð
ñð
V
a b
c



Относительная погрешность определения объема параллелепипеда
V
a b
c
ñð
ñð
ñð
a b
c a
b c









   
Абсолютная погрешность определения объема параллелепипеда


ñð
V
ñð
ñð
ñð
ñð
ñð
ñð
a b
c
V
V
a b
c a
b c





 














2.
Объем цилиндра определяется по формуле:
2
V
R
h
 

Тогда
2
ñð
ñð
ñð
V
R
h
 

Относительная погрешность определения объема цилиндра
V
R
h
ñð
ñð
R
h
2 2
R
h





 


 


 
 
Абсолютная погрешность определения объема цилиндра


2
ñð
V
ñð
ñð
ñð
ñð
R
h
V
V
R
h
2
R
h





 

 


 









Если число «Пи» округляем до сотых (
3 14
,
 
), то
0 01
,
 
3.
Объем шара определяется по формуле:
3 4
V
R
3
 
Тогда
3
ñð
ñð
4
V
R
3
 
Относительная погрешность определения объема шара
V
R
ñð
R
3 3
R




 

 

 

Абсолютная погрешность определения объема шара
3
ñð
V
ñð
ñð
4
R
V
V
R
3 3
R






 




 



 



 

