Файл: M и n середины ребер sc, se и ab соответственно. Постройте сечение пирамиды плоскостью (m kn ). Решение.pdf

ДЗ–8. №13 из ЕГЭ
Сечения шестиугольной пирамиды и призмы
№1
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF точки K, M и N — середины ребер SC,
SE и AB соответственно. Постройте сечение пирамиды плоскостью (M KN ).
Решение
Точки сечения всюду обозначены заглавными латинскими X и пронумерованы в том поряд- ке, в котором мы их строим.
Обозначим через α плоскость сечения. Поскольку M K ∥ EC как средняя линия в треуголь- нике SEC, то плоскость α параллельна прямой EC, лежащей в плоскости (ABC) основания пирамиды. Тогда α пересекает плоскость (ABC) по прямой, параллельной EC и проходящей через точку N. Пусть X
1
— точка пересечения этой прямой с F A. Несложно видеть, что X
1
—
середина F A, так как EC ∥ F B ∥ X
1
N и N — середина AB по условию.
1. Все точки прямой X
1
N принадлежат α, при этом X
1
N ⊂ (ABCDEF ). Тогда X
2
= F E ∩
X
1
N, X
3
= BC ∩ X
1
N и X
4
= DC ∩ X
1
N принадлежат α.
2. Все точки прямой X
2
M принадлежат α, при этом X
2
M ⊂ (SF E). Тогда X
5
= X
2
M ∩ SF
принадлежит α.
1

3. Все точки прямой X
3
K принадлежат α, при этом X
3
K ⊂ (SBC). Тогда X
6
= X
3
K ∩ SB
принадлежит α.
4. Все точки прямой X
4
K принадлежат α, при этом X
4
K ⊂ (SDC). Тогда X
7
= X
4
K ∩ SD
принадлежит α.
5. Искомое сечение X
1
X
5
M X
7
KX
6
N.
№2
Постройте сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью (M KP ).
Решение
Точки сечения всюду обозначены заглавными латинскими X и пронумерованы в том поряд- ке, в котором мы их строим.
Обозначим через α плоскость сечения.
2

1. Все точки прямой M K принадлежат α, при этом M K ⊂ (F F
1
C
1
C). Тогда X
1
= M K ∩F
1
C
1
и X
2
= M K ∩ F C принадлежат α.
2. Все точки прямой P X
1
принадлежат α, при этом P X
1
⊂ (A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
). Тогда X
3
=
P X
1
∩ D
1
C
1
и X
4
= P X
1
∩ F
1
A
1
принадлежат α.
3. Все точки прямой X
3
K принадлежат α, при этом X
3
K ⊂ (DD
1
C
1
C). Тогда X
5
= X
3
K∩DC
принадлежит α.
4. Все точки прямой X
2
X
5
принадлежат α, при этом X
2
X
5
⊂ (ABCDEF ). Тогда X
6
=
X
2
X
5
∩ F A принадлежит α.
5. Искомое сечение X
4
X
3
X
5
X
6 3