Файл: Финансовые вычисления.pdf

Лекция 5. Практическое применение финансовых вычислений
93
Таблица 5.1
Год
Остаток
ссуды на
начало года
Сумма
годового
платежа
В том числе
Остаток
ссуды на
конец года
проценты
за год
погашенная
часть долга
1 20000 5687 2600 3087 16913 2
16913 5687 2199 3488 13425 3
13425 5687 1745 3942 9483 4
9483 5687 1233 4454 5029 5
5029 5687 658 5029 0
процентного платежа в k-м периоде, долю кредита, погашенную в первые k лет,
и т. д.
Рассуждения, аналогичные используемым при решении примера, можно про- вести и в общем виде, что позволит дать более строго интерпретацию приведенной стоимости аннуитета с помощью метода депозитной книжки и попутно выявить полезные с финансовой точки зрения закономерности, позволяющие ответить на многие вопросы, связанные с денежными потоками
Итак, пусть получена ссуда в сумме S на n лет под процентную ставку r,
причем сложные проценты начисляются на непогашенный остаток. Определим ве- личину годового платежа при возврате долга равными суммами в конце каждого года.
Обозначим через A годовой платеж. В конце первого года часть его, равная Sr,
идет на уплату процентов. Оставшаяся же часть A
− Sr — на уплату части долга.
Таким образом, к концу первого года величина непогашенного остатка составит:
S
− (A − Sr) = S(1 + r) − A.
В конце второго года на уплату процентов пойдет уже величина
(S(1+r)−A)r,
а на уплату долга — A
− (S(1 + r) − A)r == (A − Sr)(1 + r). Следовательно, к концу второго года долг будет равен:
S
(1 + r) − A − (A − Sr)(1 + r) = S(1 + r)
2
− A ⋅
(1 + r)
2
− 1
r
= S(1 + r)
2
− A ⋅ F M3(r, 2).
В конце третьего года проценты и уплата долга соответственно составят:
(S(1 + r)
2
− A ⋅ F M3(r, 2))r,
A
− (S(1 + r)
2
− A ⋅ F M3(r, 2))r = (A − Sr)(1 + r)
2
следовательно, остаток долга станет равным:
S
(1 + r)
2
− A ⋅ F M3(r, 2) − (A − Sr)(1 + r)
2
= S(1 + r)
3
− A ⋅ F M3(r, 3).

94
РАЗДЕЛ I. Общая часть
Вообще можно доказать, что в конце k-го года
(k = 1, 2, . . . , n) проценты,
уплата долга и непогашенный остаток соответственно составят:
(S(1 + r)
k
−1
− A ⋅ F M3(r, k − 1)) r,
(5.1)
(A − Sr)(1 + r)
k
−1
,
(5.2)
S
(1 + r)
k
−1
− A ⋅ F M3(r, k − 1) − (A − Sr)(1 + r)
k
−1
=
= S(1 + r)
k
− A ⋅ F M3(r, k).
(5.3)
Поскольку долг должен быть выплачен через n лет, то справедливо равенство
S
(1 + r)
n
− A ⋅ F M3(r, n) = 0, откуда
S
= A ⋅
F M 3
(r, n)
(1 + r)
n
= A ⋅ F M3(r, n).
Следовательно, S является приведенной стоимостью постоянного аннуитета постнумерандо с членом, равным A, т. е.
S
= P V
pst
.
Используя формулы (5.1)–(5.3), можно различным образом характеризовать де- нежные потоки. Например, найти сумму процентных платежей за m лет
(m =
= 1, 2, . . . , n):
m
∑
k
=1
(S(1 + r)
k
−1
− A ⋅ F M3(r, k − 1)) r = mA − (A − Sr)F M3(r, m),
откуда, в частности, следует, что доля кредита, погашенная в первые m лет, соста- вит
(A − Sr)F M3(r, m).
Проверим некоторые вычисления приведенного примера. Поскольку для него
P V
pst
= 20000, n = 5, A = 5687, то из (5.2) можно найти величину процентного платежа в четвертом периоде:
(20000 ⋅ (1 + 0,13)
3 5687
⋅ F M3(13%, 3)) ⋅ 0,13 = 1233,
что совпадает с соответствующим значением в табл. 5.1.
5.2 Анализ доступности ресурсов к потреблению в условиях рынка
Одной из типовых задач, решаемых на практике с помощью методов дисконти- рования, является прогнозный анализ фондов, доступных к потреблению, в усло- виях, когда аналитик (физическое или юридическое лицо) оценивает свои возмож- ные доходы, а также целесообразность проведения операций на рынке ссудных капиталов, подразумевающих предоставление или, наоборот, получение кредитов.
Общая постановка базовой задачи такова.
Анализ проводится в условиях свободного равновесного рынка, предполагаю- щего существование возможности размещения временно свободных средств путем

Лекция 5. Практическое применение финансовых вычислений
95
предоставления кредита или депонирования средств в банке, а также получения финансовых ресурсов в требуемых объемах; для простоты предполагается, что ставки процента при получении кредита и при размещении временно свободных средств одинаковы. Исходными данными для анализа являются прогнозные оценки:
а) планируемых к получению доходов в разрезе анализируемых периодов (ча- ще всего — лет);
б) процентные ставки по кредитам, которые в требуемом объеме могут быть предоставлены или получены.
Требуется проанализировать альтернативы поведения в отношении объема ре- сурсов, доступных к потреблению. Рассмотрим постановку базовой задачи на при- мере.
Предположим, что инвестор планирует получить доход в текущем году в разме- ре 12 тыс. руб., в следующем году — 15 тыс. руб. Прогнозируемая ставка процента по ссудам в течение этого периода — 15%. Какова же возможная политика инвесто- ра в отношении потребления полученного дохода? Возможны несколько вариантов действия.
1) Инвестор потребляет доход в том периоде, в котором он был генериро- ван, т. е. общая сумма потребленных средств равна 27 тыс. руб. Это самая простая политика, не требующая какого-то дополнительного анализа.
2) Инвестор отказывается от потребления (использования) средств в течение первого года или, по крайней мере, максимально сокращает это потребле- ние, предпочитая разместить эти средства на год в банке с тем, чтобы, по- лучив в дальнейшем депонированную сумму и соответствующий процент,
увеличить сумму средств, доступных к потреблению во втором году. Таким образом, если инвестор полностью отказывается от потребления в первом году, он сможет разместить в банке 12 тыс. руб., A через год получить
12
⋅1,15 = 13,8 (тыс. руб.). Общая сумма средств, доступных к потреблению за два года, составит в этом случае 28,8 тыс. руб. Это политика экономного инвестора, предпочитающего сначала пожить в стесненных, а затем в более комфортных условиях.
3) Инвестор может пойти диаметрально противоположным путем, максималь- но увеличив потребление первого года за счет сокращения потребления второго года. Реализовать этот подход можно путем получения в первом году ссуды в банке с условием возврата ее вместе с начисленными про- центами в следующем году, при этом инвестор исходит из условия, что максимальная сумма средств, которой он будет располагать во втором году и которую можно использовать для расчетов с банком по полученной ссуде,
равна 15 тыс. руб. Очевидно, что максимально возможная ссуда для инве- стора равна 13,04 тыс. руб.
(15/1,15 ≈ 13,04). Эту сумму кредита, а также начисленные проценты в размере 1,96 тыс. руб. инвестор сможет погасить за счет планируемого к получению во втором году дохода в размере 15 тыс.
руб. Это — политика инвестора, предпочитающего получить удовольствие от жизни как можно быстрее, хотя бы и с некоторыми затратами.
Рассмотренные варианты можно представить графически (рис. 5.2). Линия AB,
пересекающая оси в точках
(0; 28,8) и (25,04; 0), как раз и описывает возможные

96
РАЗДЕЛ I. Общая часть
варианты поведения. Из приведенного графика видно, что, варьируя суммой полу- чаемого или предоставляемого кредита, инвестор может выбрать различные стра- тегии поведения, каждой из которых соответствует некоторая точка на графике.
Допустим, что инвестор решил несколько урезать свои потребности первого года, снизив их на 2 тыс. руб. от максимально возможного. В этом случае потреб- ление первого года составит 10 тыс. руб.; потребление второго года составит 17,3
тыс. руб.
(15+2⋅1,15 = 17,3). Общая сумма потребления равна 27,3 тыс. руб. Этому варианту соответствует точка M на линии AB с координатами
(10; 17,3).
Допустим, что инвестору по некоторым причинам понадобилось увеличить на
2 тыс. руб. максимально возможное потребление первого года. В этом случае по- надобится банковская ссуда, по которой придется рассчитаться из доходов второго года. Итак, потребление первого года равно 14 тыс. руб.; потребление второго года равно 12,7 тыс. руб.
(152 ⋅ 1,15 = 12,7). Общая сумма потребления составит 26,7
млн руб. Этому варианту также соответствует некоторая точка L на линии AB.
Точка O на графике является центральной и соответствует варианту, когда в пределах каждого периода суммы потребления и дохода совпадают. Отклоне- ние от точки O означает появление операций по получению или предоставлению кредита: движение по прямой от O в сторону A означает предоставление кредита;
движение от O в сторону B означает получение кредита.
Рис. 5.2 – Графики линии доступности ресурсов к потреблению
Нетрудно видеть, что представленная зависимость описывается формулой
y
= MC − (1 + r)x,
(5.4)
где y — сумма к потреблению во втором году; x — сумма к потреблению в первом году; M C — максимально доступная к потреблению во втором году сумма; r — про- центная ставка (в десятичных дробях).

Лекция 5. Практическое применение финансовых вычислений
97
Очевидно, M C
= P
1
(1 + r) + P
2
, где P
1
, P
2
— доходы инвестора соответственно в первом и втором годах.
Ясно, что с ростом r угол наклона меняется, при этом наибольшая сумма средств, доступных к потреблению, растет, а политика в отношении потребления может изменяться в сторону максимально возможного откладывания момента по- требления — при достижении некоторого значения процентной ставки инвестор,
предпочитавший ранее по возможности ускорять потребление, может диаметраль- но изменить свою политику. Так, при ставке процента, равной 25%, объему потреб- ления первого года в размере 10 тыс. руб. соответствует точка N на новом графике
CD, показывающая, что при выборе такой политики объем средств, доступных к потреблению во втором году, увеличится с 17,3 до 17,5 тыс. руб.
Линия возможностей потребления зависит и от других факторов. В частности,
появление новых инвестиционных возможностей может существенно изменить по- ложение прямой.
Допустим, что в условиях предыдущей ситуации с планируемыми годовыми доходами в 12 и 15 тыс. руб. появилась возможность принять участие в кратко- срочном инвестиционном проекте. Для этого необходимо в конце текущего года вложить 10 тыс. руб., при этом гарантированный доход через год составит 30%.
Рассмотрим возможные варианты действия в этом случае.
Поскольку проект несомненно выгоден, речь идет о том, как распределить по годам доступные к потреблению ресурсы. Если инвестор хочет максимизировать общую сумму средств к потреблению, он полностью откажется от потребления в текущем году, инвестировав получаемый им доход, т. е. его оптимальная полити- ка будет такова: участие в проекте (10 тыс. руб.) и депонирование в банке остав- шейся суммы (2 тыс. руб.) под 15% годовых. Максимально доступная к потребле- нию сумма средств за два года составит: 13 тыс. руб. от участия в инвестиционном проекте
(10 ⋅ 1,3); 2,3 тыс. руб. от депонирования средств в банке (2 ⋅ 1,15); 15 тыс.
руб. — текущий доход второго года; итого — 30,3 тыс. руб.
Если инвестор хочет максимизировать объем потребления текущего года, то он откажется от потребления в следующем году, a его оптимальная политика будет такова: 12 тыс. руб. — текущий доход первого года; инвестирование 10 тыс. руб.
в предлагаемый проект; 11,3 тыс. руб. — получение ссуды в банке под доход от участия в проекте
(13 ∶ 1,15); 13,04 тыс. руб. — получение ссуды под текущий доход следующего года
(15 ∶ 1,15); итого — 26,34 тыс. руб.
Таким образом, линия возможностей потребления сдвигается вправо (линия
EF ); меняется и угол ее наклона, поскольку рентабельность инвестиционного про- екта отличается от базовой процентной ставки.
Рассмотренная ситуация, когда линия возможностей потребления представлена в виде прямой, в определенном смысле условна и используется лишь для иллю- страции общей идеи оптимизации финансовой политики в условиях рынка ссуд- ных капиталов. В реальной жизни более распространенной является ситуация,
когда процентные ставки при получении и размещении кредитов не совпадают,
именно: ставка при получении кредита будет несколько выше ставки при разме- щении временно свободных средств путем предоставления их в долг. В этом слу- чае прямая возможностей потребления при движении по ней от точки E начнет искривляться и трансформируется в выпуклую вверх кривую.

98

РАЗДЕЛ II
Методические указания к практическим занятиям

Практическое занятие 1
ПРОСТЫЕ СТАВКИ
Денежные ресурсы, участвующие в финансовой операции, имеют временную ценность, смысл которой может быть выражен следующим утверждением: одна денежная единица, имеющаяся в распоряжении инвестора в данный момент вре- мени, более предпочтительна, чем та же самая денежная единица, но ожидаемая к получению в некотором будущем. Эффективность любой финансовой операции,
предполагающей наращение исходной суммы P до ожидаемой в будущем к полу- чению суммы F
(F > P ), может быть охарактеризована ставкой.
Простая ссудная ставка рассчитывается отношением наращения F
−P ) к исход- ной (базовой) величине P . Учетная ставка рассчитывается отношением наращения
(F − P ) к ожидаемой в будущем к получению, или наращенной, величине F .
Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой проис- ходит начисление.
В финансовых вычислениях базовым периодом является год, поэтому обыч- но говорят о годовой ставке. Вместе с тем достаточно широко распространены краткосрочные операции продолжительностью до года. В этом случае за осно- ву берется дневная ставка, причем в зависимости от алгоритмов расчета дневной ставки и продолжительности финансовой операции результаты наращения будут различными. Используются три варианта расчета:
а) точный процент и точное число дней финансовой операции — обозначение
365/365;
б) обыкновенный процент и точное число дней финансовой операции — обо- значение 365/360;
в) обыкновенный процент и приблизительное число дней финансовой опера- ции — обозначение 360/360.
Математическое дисконтирование является процессом, обратным к наращению первоначального капитала. При математическом дисконтировании решается задача нахождения такой величины капитала (так называемой «приведенной стоимости»),