Файл: Финансовые вычисления.pdf

60

Лекция 3. Особенности постоянных аннуитетов
61
2) n
= 4, r = 12%, m = 12, p = 2;
F V
a
pst
= 20 ⋅
F M 4
(1%, 48)
F M 3
(1%, 6)
= 20 ⋅
37,9740 6,1520
= 123,453.
Приведенная стоимость договора составит 123,453 млн руб.
3.3 Отсроченный аннуитет
Рассмотрим обобщение аннуитета, когда первый из потока платежей начинает поступать через h периодов. Такой аннуитет называется отсроченным.
Пусть, например, платежи поступают в течение n периодов и сложные про- центы по ставке r начисляются один раз в конце базового периода, совпадающего с периодом аннуитета (рис. 3.1).
Рис. 3.1 – Отсроченный аннуитет постнумерандо
Стоимость этого аннуитета на начало периода, когда поступает первый платеж,
находим по формуле (3.1) и затем, осуществляя учет полученной величины за h
периодов, определяем приведенную стоимость отсроченного аннуитета на началь- ный момент времени:
P V
pst
= A ⋅ F M2(r, h) ⋅ F M4(r, n).
(3.11)
В этой формуле h не обязательно должно быть целым числом.
Если h — целое число, то:
P V
pst
= A ⋅ F M4(r, n + h) − A ⋅ F M4(r, h),
(3.12)
т. е. приведенная стоимость отсроченного аннуитета представляет собой разность приведенных стоимостей аннуитетов.
Пример 3.3
Банк предлагает ренту постнумерандо на 10 лет с ежеквартальной выпла-
той 100 долл. Годовая процентная ставка в течение всего периода остается по-
стоянной. По какой цене можно приобрести такую ренту, если выплаты начнут

62
РАЗДЕЛ I. Общая часть
осуществляться: а) немедленно; б) через 2 года; в) через 3,5 года, а процентная
ставка равна 2, 4, 12% годовых?
Решение:
Определим приведенную стоимость ренты во всех случаях. Считаем, что число периодов n
= 10 ⋅ 4 = 40. Тогда ставка за период будет соответственно 0,5, 1, 3%.
В случае а) пользуемся формулой (3.2), определяя F M 4
(r, n) либо по таблице,
либо непосредственно по формуле. В случаях б) и в) полагаем h
= 2 ⋅ 4 = 8 и
A
= 3,5 ⋅ 4 = 14 и пользуемся (3.7) или (3.8). Например, по (3.7):
F M 4
(1%, 40)
1,01 8
= 30,3223.
Если же воспользоваться формулой (3.8), то:
F M 4
(1%, 40)
1,01 8
= F M4(1%, 48) − F M4(1%, 8) = 37,9740 − 7,6517 = 30,3223.
Результаты расчетов для наглядности представим в виде таблицы:
Таблица 3.1
h
r
0,5%
1%
3%
0 36,1722 32,8347 23,1148 8
34,7573 30,3223 18,2470 14 33,7326 28,5650 15,2815
Из таблицы 3.1 видно, что с ростом процентной ставки и срока, после кото- рого начнутся выплаты, приведенная стоимость уменьшается. В частности, если выплаты начнутся через 3,5 года и процентная ставка составит 12% годовых, то ренту можно приобрести за 1528,15 долл. (или, конечно, дешевле).
3.4 Определение параметров аннуитета
Для нахождения будущей стоимости F V
pst
аннуитета самого общего вида необ- ходимо знание значений пяти параметров: A, r, n, m, p. Однако при заключении некоторого контракта его конечная стоимость может быть уже задана, а надо опре- делить, например, величину A разовых денежных поступлений. В этом случае из
(3.5) при заданных значениях остальных параметров легко получить:
A
= F V
a
pst
F M 3
(
r
m
,
m
p
)
F M 3
(
r
m
, mn
)
.
(3.13)

Лекция 3. Особенности постоянных аннуитетов
63
Если же известна приведенная стоимость контракта, тогда
A
= P V
pst
F M 3
(
r
m
,
m
p
)
F M 3
(
r
m
, mn
)
.
(3.14)
Если известны будущая стоимость F V
pst
аннуитета, величина A разового го- дового платежа и процентная ставка r, формула для расчета срока аннуитета:
n
=
ln
(
F V
pst
A
r
+ 1)
ln
(1 + r)
.
(3.15)
Аналогичным образом можно получить формулы для определения сроков по- стоянных аннуитетов других видов. Расчет процентной ставки при известных ос- тальных параметрах аннуитета требует применения интерполяционных формул.
Пример 3.4
Некоторое предприятие хочет создать фонд в размере 200 млн руб. С этой
целью в конце каждого года предприятие предполагает вносить по 50 млн руб.
в банк под 18% годовых. Найти срок, необходимый для создания фонда.
Решение:
Используем формулу (3.5) при F V
= 200; r = 0,18; A = 50
n
=
ln
(
200 50
⋅ 0,18 + 1)
ln
(1 + 0,18)
=
ln 1,72
ln
(1,18)
= 3,2766.
Для создания фонда потребуется 4 года (ответ округляем до ближайшего цело- го числа).
Пример 3.5
Работник заключает с фирмой контракт, согласно которому в случае его
постоянной работы на фирме до выхода на пенсию (в 60 лет) фирма обязуется в
начале каждого года на счет работника в банке перечислять одинаковые суммы,
которые обеспечат работнику после выхода на пенсию в конце каждого года
дополнительные выплаты в размере 3000 руб. в течение 10 лет. Какую сумму
ежегодно должна перечислять фирма, если работнику 40 лет и предполагается,
что банк гарантирует годовую процентную ставку 10%?

64
РАЗДЕЛ I. Общая часть
Решение:
Выплаты работнику после выхода на пенсию представляют собой аннуитет постнумерандо с A
= 3000 руб. и длительностью n = 10 лет. Полагая r = 10%, по формуле (2.13) найдем приведенную стоимость этого аннуитета:
P V
= 3000 ⋅ F M4(10%, 10) = 3000 ⋅ 6,145 = 18435 руб.
Таким образом, имея на счете 18435 руб., можно ежегодно снимать с него 3000
и через 10 лет исчерпать счет полностью.
Теперь необходимо выяснить, какую сумму фирма должна в начале года пе- речислять на счет работника, чтобы за 20 лет
(60 − 40 = 20) накопить 18435 руб.
Размер вклада можно найти из формулы (2.12), полагая F V
= 18435:
A
= 18435/[F M3(10%, 20) ⋅ (1 + r)] = 18435/[57,274 ⋅ 1,1] = 292,61 руб.
Таким образом, фирме достаточно перечислять на счет работника 292 руб. 16 коп.
3.5 Конверсия и замена аннуитетов
На практике часто сталкиваются со случаями, когда на этапе разработки усло- вий контракта или в ходе его выполнения необходимо изменить условия выплаты ренты. Простейшими случаями конверсии являются: замена ренты разовым пла- тежом (выкуп ренты) или, наоборот, замена разового платежа рентой (рассрочка
платежей). К более сложному случаю относится объединение нескольких рент в одну — консолидация рент.
3.5.1 Выкуп ренты
Этот вид конверсии сводится к замене ренты единовременным платежом, по- этому для вычисления размера разового платежа выбирается формула для нахож- дения приведенной стоимости аннуитета постнумерандо или пренумерандо
P V
pst
= A
n
∑
k
=1 1
(1 + r)
k
= A ⋅ F M4(r, n),
(3.16)
P V
pre
= (1 + r)P V
pst
= A ⋅ F M4(r, n).
(3.17)
3.5.2 Рассрочка платежей
Рассрочка платежей — обратная задача к задаче выкупа ренты.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Лекция 3. Особенности постоянных аннуитетов
65
Обязательство по уплате некоторой суммы заменяется равными платежами в рассрочку. Для решения задачи приравнивают современную стоимость ренты,
с помощью которой проводится рассрочка, к сумме долга. Задача может заключать- ся в определении параметров этой ренты — члена ренты или ее срока, при условии,
что остальные параметры заданы. Подобные задачи рассматриваются в лаборатор- ной работе №12.
3.5.3 Замена немедленной ренты на отсроченную
Пусть имеется немедленная рента с параметрами A, n, r. Необходимо отсро- чить выплаты на t лет. В этом случае из принципа финансовой эквивалентности равенство приведенных стоимостей запишется следующим образом:
P V
1
= (1 + r)
−t
P V
2
= F M2(r, n) ⋅ P V
2
,
(3.18)
где P V
1
— современная стоимость немедленной ренты; P V
2
— современная стои- мость отложенной ренты.
Пример 3.6
Банк предлагает ренту постнумерандо на 15 лет с полугодовой выплатой
100 тыс. руб. Годовая процентная ставка в течение всего периода остается по-
стоянной, сложные проценты начисляются по полугодиям. По какой цене можно
приобрести эту ренту, если сложная процентная ставка равна 4% годовых?
Решение:
1) используем формулы (3.11) и (3.18), считая полугодие базовым периодом,
при t
= 6
P V
= 100 ⋅ F M2(2%, 6) ⋅ F M4(2%, 30) = 100 ⋅ 0,888 ⋅ 22,3965 = 1988,809.
Ренту можно приобрести за 1988809 руб.;
2) используем формулу (3.18), считая полугодие базовым периодом при t
= 0
P V
= 100 ⋅ F M4(2%, 30) = 100 ⋅ 22,3965 = 2239,65.
Ренту можно приобрести за 2239650 руб.
Пусть срок отложенной ренты не изменяется, тогда неизвестный платеж отло- женной ренты находится из уравнения:
A
2
= A
1
⋅ (1 + r)
t
,
(3.19)
где A
1
— платеж исходной ренты; A
2
— неизвестный платеж отложенной ренты;
t — время отложения ренты.

66
РАЗДЕЛ I. Общая часть
Пример 3.7
Пусть немедленная рента постнумерандо с условиями A
= 2 млн руб. и сроком
8 лет откладывается на 2 года без изменения срока ренты. Сложная процентная
ставка составляет 20% годовых. Необходимо найти платеж отложенной ренты.
Решение:
По формуле (3.19) при A
1
= 2; t = 2; r = 0,2,
A
2
= 2 ⋅ (1 + 0,2)
2
,
A
2
= 2,88.
Отказ от немедленной выплаты ренты приводит к увеличению платежа до
2,88 млн руб.
Пусть платеж отсроченной ренты не изменяется, тогда новый срок отложенной ренты находится из уравнения:
n
2
=
ln
{1 − [1 − (1 + r)
−n1
](1 + r)
t
}
ln
(1 + r)
,
(3.20)
где n
2
— неизвестный срок отложенной ренты; n
1
— срок исходной ренты; t — время отложения ренты.
В общем случае, когда n
1
≠ n
2
, из равенства P V
1
= P V
2
следует:
A
2
= A
1
⋅
F M 4
(n
1
, r
)
F M 4
(n
2
, r
)
(1 + r)
t
.
(3.21)
Пример 3.8
Рента с ежегодными платежами в 2 млн руб. и сроком 5 лет откладывается
на три года без изменения сумм выплат. Найти новый срок ренты при условии,
что на поступающие платежи ежегодно начисляются сложные проценты по
ставке 8% годовых.
Решение:
В соответствии с (3.20) при n
1
= 5; t = 3; r = 0,08; A = 2
n
2
=
ln
{1 − (1 − 1,08
−5
)1,08 3
}
ln 1,08
= 6,689.
Отказ от немедленной выплаты ренты увеличивает ее срок до 6,689 года, т. е.
на 1,689 года.

Лекция 3. Особенности постоянных аннуитетов
67
Пусть продолжительность новой ренты в целых годах равна 6, тогда приведен- ная стоимость новой ренты составит
P V
2
= 2 ⋅ F M4(8%, 6) ⋅ F M2(8%, 3) = 2 ⋅ 4,6288 ⋅ 0,7938 = 7,3396.
Современная стоимость исходной ренты составит
P V
1
= 2 ⋅ F M4(8%, 5) = 2 ⋅ 3,9927 = 7,9854.
Разность в сумме 0,6458 млн руб. необходимо уплатить в начале действия кон- тракта.
Пример 3.9
Пусть немедленная рента постнумерандо с условиями A
= 2 млн руб. и сроком
8 лет откладывается на 2 года с изменением срока ренты до 11 лет. Сложная
процентная ставка составляет 20% годовых. Необходимо найти платеж отло-
женной ренты.
Решение:
По формуле (3.19) при A
1
= 2; t = 2; r = 0,2; n
1
= 8; n
2
= 11
A
2
= 2 ⋅
F M 4
(20%, 8)
F M 4
(20%, 11)
⋅ 1,2 2
= 2 ⋅
3,8372 4,3271
⋅ 1,2 2
= 2,5539.
Платеж отложенной ренты равен 2,5539 млн руб.
3.5.4 Объединение (консолидация) рент
Объединение рент заключается в замене нескольких рент с заданными пара- метрами новой рентой, параметры которой необходимо определить. В этом случае из принципа финансовой эквивалентности следует равенство современных стои- мостей заменяющих и заменяемых (консолидированных) рент, что соответствует равенству:
P V
=
n
∑
i
=1
P V
i
,
(3.22)
где P V — современная стоимость заменяющей ренты; P V
i
— современная стои- мость i-той заменяемой ренты.