Файл: Реферат Математическая модель линейной системы в форме пространства состояний.rtf
Добавлен: 06.05.2024
Просмотров: 15
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Реферат
Математическая модель линейной системы в форме пространства состояний
Достаточно распространенным способом описания линейных устройств является построение модели устройства в пространстве состояний (state space). Эту математическую модель применяют, когда необходимо знать не только, как связаны между собой входной и выходной сигналы линейной системы, но и как изменяются во времени сигналы внутри линейной системы. Кроме того, представление линейной системы в пространстве состояний оказывается полезным в задачах синтеза проектируемого устройства.
Если выбран некоторый вектор состояния
, то реакция линейной системы y(t) на входной сигнал x(t) определяется системой уравнений
(1)В данном случае для описания модели устройства необходимо задать матрицы
и 
.Если
- вектор-столбец размера N×1, а входной x(t) и выходной y(t) сигналы являются скалярными, то размерность параметров в этих формулах будет следующей: 
- матрица N×N, 
- вектор-столбец N×1, 
- вектор-строка 1
×N, D - матрица 1×1 (скаляр). Если входной и (или) выходной сигналы являются векторными, размерность параметров соответствующим образом изменяется.
В качестве координат вектора состояния
можно рассматривать сигналы внутри линейного устройства и (или) их производные. Например, для линейной цепи с сосредоточенными параметрами в качестве координат вектора можно выбрать некоторые из напряжений в узлах схемы и токов в ее ветвях. Распространенной практикой при представлении линейных устройств в пространстве состояний является использование в качестве координат вектора взвешенных значений выходного сигнала и его производных для некоторых условий (например, для входного сигнала определенного вида).Из модели устройства в форме пространства состояний легко перейти к его модели в форме передаточной функции. Если применить преобразование Лапласа к уравнениям состояния (1), а затем выразить из них операторный коэффициент передачи, можно прийти к следующему выражению:
(2)где
- единичная матрица N×N.Обратное преобразование H(s) в параметры пространства состояний не является однозначным - оно зависит от выбора вектора состояния. Действительно, пусть задано описание некоторой устройства в пространстве состояний в форме (1). Рассмотрим новый вектор состояния
, получаемый из исходного вектора линейным преобразованием, то есть путем умножения его на квадратную невырожденную матрицу 
: 
, а 
. Тогда из выражения (1) получим
(3)Если первое из выражений (3) умножить слева на
, то получим уравнения линейного устройства с параметрами 
для переменных состояния, определенных вектором 
:
(4)
. (5)Сопоставив формулы (1) и (5), нетрудно найти выражения, связывающие параметры устройства для векторов состояний
и 
:
(6)Таким образом, при смене вектора состояния параметры
и 
соответствующим образом модифицируются.Пример 1. Пусть линейное устройство описывается дифференциальным уравнением четвертого порядка
где y(t) - реакция устройства (например, выходное напряжение или ток) на входное воздействие
x(t). Начальные условия - положим нулевыми: y(0) = y'(0) = y» (0) = y'"(0) = 0.
Построим математическую модель устройства в форме переменных состояния.
Дифференциальное уравнение имеет четвертый порядок, следовательно, необходимо определить четыре переменных состояния, которые будут использованы четырьмя уравнениями состояния первого порядка.
Выберем в качестве переменных η1(t), η2(t), η3(t) и η4(t) реакцию устройства y(t) и ее производные:
и выразим через них дифференциальное уравнение в виде устройства уравнений 4-го порядка:
Запишем эту систему в матричной форме
или более компактно
Выходной сигнал в соответствии с формулами (1) определяется выражением
Для верификации модели используем какой-либо из известных результатов. Пусть, например устройство описывается линейным дифференциальным уравнением
Если сигнал на входе устройства гармонический:
, а начальные условия нулевые: 
, то решением рассматриваемого дифференциального уравнения является функция
В соответствии с изложенным выше положим
и , следовательно, параметры рассматриваемого устройства в пространстве состояний будут следующими:
линейный аналоговый сигнал
Нелинейные устройства
К нелинейным устройствам обработки аналоговых сигналов относят такие устройства, которые выполняют над сигналами разного рода нелинейные операции, например ограничение сигнала по амплитуде, логарифмирование, выпрямление, нахождение абсолютного значения, возведение в степень и т.д. Общим признаком нелинейных устройств является невыполнение для них принципа суперпозиции сигналов. Следует отличать нелинейные устройства обработки сигналов от нелинейных режимов работы линейных устройств с активными элементами. Если для первых нелинейный режим является штатным, то есть они проектируются для работы именно в таком режиме, то для вторых нелинейный режим является нештатным: они проектируются для работы в линейном режиме, а могут переходить в нелинейный режим при разного рода неисправностях или перегрузках.
Нелинейные устройства можно разделить на две группы, существенно отличающиеся по методам анализа их работы: нелинейные безинерционные и нелинейные инерционные.
У нелинейных безинерционных устройств величина выходного сигнала y(t) зависит только от величины входного сигнала x(t) в текущий момент времени t и вида проходной характеристики
, связывающей y и x. В нелинейных инерционных устройствах выходной сигнал y(t) зависит не только от величины входного сигнала в текущий момент времени и вида проходной характеристики , но и от того, какие значения принимал сигнал ранее.Типичными нелинейными безинерционными устройствами при обработке радиосигналов, являются ограничители сигналов по амплитуде, выпрямители, устройства с квадратичной, логарифмической или экспоненциальной амплитудной характеристикой. Нелинейными инерционными устройствами являются разного рода устройства преобразования спектра сигнала: преобразователи частоты, детекторы.