Файл: Левшин А.Л. Поверхностные и каналовые сейсмические волны [монография].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.06.2024
Просмотров: 95
Скачиваний: 2
I . ТЕОРИЯ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПОВЕРХНОСТНЫХ И К А Н А Л О В Ы Х ВОЛН
Гл а в а 1
ТЕОРИЯ
§1. Поле смещений
ввертикально-неоднородном полупространстве
Постановка задачи. Рассмотрим упругое полупространство о координатами г, г, ф (О г < ; оо, 0 < Г г < 1 о о , 0 ^ <р < 2л), Уравнения движения имеют вид [57]:
drz . 1 5фг |
. dzz . |
rz |
д 2 " г |
~дг~ + " г ~ " а ф " |
~Т~~ЬТ + |
~г~ ~~ Р ~ Э Р |
|
£ + |
± |
$ |
+ |
|
4 |
|
C |
D |
дгф |
1 |
Зф<р |
3<pz |
2гф _ |
^2"tp |
с- |
|
|
~дТ + |
Т " 1 ф " + |
~д~Г^ |
F |
P~âfi |
** |
|
||
Здесь t — время; |
uz, |
иг, |
иѵ — компоненты |
вектора |
смещений |
|||
u (t, z, г, (р) по ортам а2 , аг , аф соответственно; rz, rr, гф, q>z, фф, zz —
компоненты напряжений, |
связанные |
со смещениями формулами; |
|
/ |
ди„ |
ди \ |
|
rz |
|
|
|
ГГ = АЛ + 2Ц.-^, |
|
||
/ |
I ди |
ди |
\ |
фф
zz = ХА + 2ц - ^ - ,
где А — дилатация:
ди_ 4 du„ ди
Коэффициенты Ламе X и ц. и плотность р — кусочно-непрерыв
ные |
положительные функции |
одной координаты z; при |
z^> Z |
||
К, ц, |
р постоянны, |
а скорость поперечных |
волн Ъ = У ц / р |
и ско |
|
рость продольных |
[волн а = У(% + 2(х)/р |
максимальны: |
|
||
|
Ь (Z + 0) = max b\(z), |
a(Z + 0) = maxa(z). |
|
||
Компоненты смещений и напряжений непрерывны и ограничены на всем отрезке 0 ^ z < оо, поверхность z = 0 свободна от нап ряжений, т. е.
Tz = cpz = |
zz — 0 |
при z = 0. |
(1.4) |
|||
Начальные условия: отсутствие |
смещений до момента t — 0, т. е |
|||||
u = ! j - |
= |
0 |
при |
* < 0 . |
(1.5) |
|
Векторное поле сил F |
(t, |
z, г, |
ф ) |
с компонентами Fz, |
Fr, Fv, |
|
действующих на единицу объема вещества, описывает локализо
ванный по времени и пространству |
сейсмический |
источник. На F |
|||||||||
наложены следующие физически несущественные ограничения: |
|||||||||||
1) F (t, |
z, г, ф ) = |
0 |
при t |
< |
0; |
|
|
|
|
||
2) F (t, |
z, г, |
ф ) абсолютно |
интегрируема и подчиняется усло |
||||||||
виям Дирихле относительно всех аргументов. |
|
||||||||||
Необходимо найти главную часть поля смещений на больших |
|||||||||||
расстояниях от оси г = |
0 при z |
|
г. |
|
|
|
|||||
Формулы для источника. В силу ограничений, |
наложенных на |
||||||||||
источник, |
оказывается допустимым следующее представление: |
||||||||||
|
|
|
|
4*°° |
оо |
|
оо |
3 |
|
|
|
F(t, |
z, г, |
ф ) = |
-^- J |
|
J |
[ S |
S |
(1. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
m=—оо i= |
|
|
||
где |
|
A ( 1 ) - |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
A™ — Й |
Эг |
E, |
-4- Ясс |
Эф |
£г ' |
|
|||
|
|
|
|
|
~ |
ф |
|
||||
|
|
A ( 3 ) _ |
a r |
5 » L _ L _ a |
Ü 2 l J _ |
m y . |
|||||
|
|
A m |
- |
d ( f |
^ |
|
a, |
a r |
£ , |
|
|
|
|
Fm |
= ei m VT O ar). |
|
|
|
|
||||
Здесь J m — функция Бесселя первого рода целого значка т. Си стема векторных функций А $ является полной и попарно орто гональной. Коэффициенты (z, | , ш) находятся из соотношений ортогональности:
(А&> for), А ^ (Т г)) гй Ф dr = 2 я 6 « о т 1 |
, |
(1.8) |
о о
9
(öij — символ Кронекера, ô (у — %) — функция Дирака 1 ) и равны
|
|
|
-f-oo |
сю %п |
|
|
|
|
-oo |
0 0 |
|
Конкретно |
для |
i = |
1, 2, 3 имеем: |
|
|
|
-}-oo |
oo 2n |
|
|
|
|
—oo |
0 |
0 |
|
|
/ » = - L |
5 e ^-$ |
$ [ * r ^ + / V |
^ 4 - ] f Л р Л - Л , (1.10) |
||
|
—oo |
0 |
0 |
|
|
—oo |
0 |
0 |
|
|
|
где |
|
|
_ |
|
|
|
|
|
Ym = |
e-™«Jm |
(g, r). |
Для компонент сил F z , F r , F v получим из (1.6), (1.7): |
|||||
|
-}-oo |
oo |
oo |
|
|
|
—oo |
0 |
m = — 3 0 |
|
|
|
+ ° ° |
oo |
oo |
|
|
|
— oo |
0 |
m = — 0 0 |
|
|
-oo Q
Формулы для смещений. Решение исходной нестационарной задачи теории упругости имеет вид
u(t, z, |
г, |
ф) = |
|
^ e""'U(co, z, г, (p)dw, |
(1.12) |
где |
|
оо |
оо |
3 |
|
|
|
|
|||
U («О, Z, Г, ф ) |
= |
У . $ [ |
S |
S ^ m ( 2 . Ê . « ) A £ V , |
ф ) ] ^ |
|
|
0 m=—oo г=1 |
|
||
еш.\] (со, z, г, ф) есть решение аналогичной стационарной задачи теории упругости, которое строится единственным образом при условии, что Vm (z) интегрируемы с квадратом на интервале
2 6 ( 0 , ОО).
1 А р — комплексно-сопряженное с А ^ .
1«
Как будет показано ниже, функции Ѵт (I) имеют особенности при вещественных значениях переменной интегрирования |
оо
и параметра ш. Поэтому здесь и далее п о д у # ^ ( )d£ мы пони-
о
маем значение соответствующего контурного интеграла на плоско сти комплексного переменного %. Контур интегрирования идет по действительной полуоси с обходом полюсов подынтегральной функции по малым полуокружностям в верхней полуплоскости. Отсюда для проекций U на орты az , аг , аѵ получим:
О m=—оо |
J |
|
2 ( v f f ^ + J ? . ^ ] * |
( и з , |
|
Подставляя (1.11) — (1.13) в уравнения (1.1) и граничные условия (1.4) и считая допустимым двойное дифференцирование под знаком интеграла, получаем следующие уравнения:
1. |
Д Л Я |
V$, |
Ѵт- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h (Уй>; |
V%) |
^ |
± . [(*, + |
|
2и) _ J 1 _ |
- |
ІХѴЩ |
- |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
- |
&і - |
^ |
- |
+ |
У« |
(со*р - |
ЕѴ) - - |
С |
(1.14) |
|||
с граничными |
условиями; |
|
|
|
+ |
|
(q»»p — |
— |
= — /S? |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
dVw |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
я = |
(Я, + |
2 ц ) - 5 |
^ - ^ 7 Й > |
= 0, |
|
|
(1.15) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tr z = |
f |
i |
^ |
- |
|
+ |
^ |
) |
= |
0 |
при |
z = |
0. |
|
|
Функции |
|
|
o*zz и x r z |
|
непрерывны и ограничены при |
всех |
|||||||||||
z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Для Ѵ<« |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
*3 |
(VS?) - |
^ |
(іі - |
^ |
) |
+ vff (cov - |
6V) = - |
/8? |
(Lié) |
|||||||
11
