Файл: Левшин А.Л. Поверхностные и каналовые сейсмические волны [монография].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.06.2024
Просмотров: 92
Скачиваний: 2
с граничным |
условием |
|
|
|
|
|
(1.17) |
Функции |
и т ф 2 непрерывны и ограничены для |
всех z. |
|
Левые части уравнений (1.14) и граничные условия (1.15) |
|||
определяют |
самосопряженный оператор L в пространстве интег- |
||
рируемых с квадратом вектор-функций |
. Левая часть урав |
||
нения (1.16) |
и граничные условия (1.17) определяют самосопря |
||
женный оператор L 3 в пространстве интегрируемых с |
квадратом |
||
функций Ѵт • Если вектор-функции |
и функции |
fm также |
|
1 m
интегрируемы с квадратом на интервале z ЕЕ (0, оо) (что следует из ограничений, наложенных на функцию F (t, z, г, ф)), то для функ ций Ѵт, Ѵт, Ѵт справедливы следующие разложения по соб ственным функциям выше упомянутых операторов [4, 41, 46, 61, 85].
Разложение смещений |
по |
собственным функциям. |
|
= 1,2) можно представить следующим образом: |
|||
кна) |
|
|
|
2 |
|
|
\ ^ ( ß ) ^ ( ß , z ) d ß . |
Здесь для коэффициентов |
cfm , |
Cm имеем: |
|
R |
_ |
|
D km |
|
|
JkR (С) - <D» 1 |
|
t - m |
• |
Dl |
|
|
|
||
Ѵт (і —
(1.18)
(1.19)
|
0 |
(4.20) |
|
|
|
|
0 |
|
|
hn = $ Р [ ( П 1 ) ) 2 + (П2))2]^, |
|
|
0 |
(1.21) |
|
co02 = ^ ( Z + 0 ) > |
|
|
|
|
и |
и FW — собственные функции оператора, |
обра |
зованного |
левыми частями (1.14) и граничными условиями |
(1.15). |
12
Первая пара функций соответствует дискретному спектру соб
ственных значений |
(o2 R (к = 1, 2,..., KR (£)); l2vR < co2R < Ио » |
|
где vR — минимальная скорость рэлеевской |
волны в однородном |
|
полупространстве с |
константами, равными |
a (z), b (z), р (z) на |
некоторой глубине z [4, 40]. Вторая пара соответствует непрерыв
ному спектру |
собственных |
значений |
ß ( j ) o ^ ß < сю). Волновое |
число I играет здесь роль свободного параметра. Формулы (1.19) |
|||
получены из соотношений |
ортогональности: |
||
S Р [ ? W > + f W |
l dz = 0.; |
при і ф j |
|
о |
|
|
(1.22) |
ce |
|
|
|
|
|
|
|
j P [ |
(ß) (M2) + |
?< 8 ) (ß) F ( 2 ) |
((О2)] dz = ô (ГО2 - ß), |
где V(i) комплексно сопряжено с Ѵ<У>. Аналогично Ѵт можно представить так:
Ѵ™= 2 cLkmVf |
+ \ <4(ß)?< 8 ) (*, ß)dß, |
(1.23) |
*=1 |
.,2 й 0 |
|
где |
|
|
CX> |
oc |
|
= S /Й5П3> |
dz, DLm = $ $F<8 > dz, |
(1.25) |
о |
о |
|
/*L = Jp(n3))2dz; |
(1.26) |
|
|
о |
|
t^ 3 ) и Ѵ&і — собственные функции оператора, образованного левой
частью (1.16) и граничным условием |
(1.17). |
соответствует |
диск |
|||||||
ретному |
спектру |
собственных значений «иг,, |
к = 1, 2,..., |
KL(%); |
||||||
(£min fc(z))2 < |
(O2L ^ |
<и2; |
^ ( 3 ) |
|
соответствует |
непрерывному |
||||
спектру |
собственных |
значений |
ß (ш0 •< ß < оо). |
ортогональности: |
||||||
При |
выводе |
используются |
соотношения |
|||||||
|
|
|
<х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J p F f P f |
dz = 0 |
при i=hj, |
|
|
|||
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
(1-27) |
|
|
|
|
Çpf( 3 ) (л)2) F ( 3 ) |
(ß) dz = Ô(со2 - |
ß). |
|
||||
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
найденные выражения для Ѵт в |
(1.13), получаем |
||||||||
13
окончательные точные формулы для смещений:
ОО |
ОС |
|
2 |
«£.П" + |
|
|
|
||
U |
|
2 |
|
|
|
||||
|
О т = — с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Jc£(ß)F(1)dß) FmJ^]dcû, |
||||
2л1 и " Н [ |
2 ((S |
^ n 2 ) + ^ « ( ß ) ^ d ß ) ^ |
+ |
||||||
-зо |
0 |
m=—оо |
Jc=l |
|
|
„2 |
|
|
|
|
S |
^ П |
|
+ Ц ( ^ |
|
^ дф |
da>, |
(1.28) |
|
+ |
|
|
3 ) |
|
|
( 3 ) |
m dl |
||
fc=l |
|
|
|
,*2 |
|
|
|
|
|
« • - • s - S |
$[ 2 (4-( s ^ + $ ( ß ) ? < » d P ) ^ - |
||||||||
—зо |
0 |
m=—00 |
|
|
ft=l |
|
,,2 |
|
|
|
|
2 ^n3 ) +(^(ß)^>dß)^L)" |
dco. |
||||||
|
|
fc=i |
|
% |
/ |
/ J |
|
||
Можно показать, что полученное решение нестационарной задачи удовлетворяет нулевым начальным условиям (1.5). Действительно,
при фиксированном | функциями и в |
(1.26), помимо е ш , |
являют |
|||||||
ся только |
коэффициенты |
с^т; |
с^т |
— регулярные |
функции |
со |
|||
всюду кроме конечного числа точек, в которых Im ta |
0, убываю |
||||||||
щие при со —*- оо не медленнее, чем 0 ^ Ші+ІЕІ ) " М е |
н я я |
порядок |
|||||||
интегрирования |
по со и £, |
смещая контур интегрирования |
по со |
||||||
в нижнюю |
полуплоскость, |
мы |
получаем нулевые |
значения |
u |
(t) |
|||
и da/dt при |
t < |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
Итак, при помощи разложения по собственным |
функциям |
мы |
|||||||
нашли точное решение, удовлетворяющее уравнениям (1.1), гра ничным и начальным условиям.
Асимптотика на больших расстояниях г. В дальнейшем нас будет интересовать главная часть возмущений u (t, z, г, ср) на боль ших горизонтальных расстояниях г, несоизмеримых с рассмат
риваемыми длинами волн и линейными размерами |
источника. |
|||
Введем также ограничение на рассматриваемый диапазон |
глубин |
|||
0 <С z <С Н; г^§>Н. |
Как известно, |
именно эта часть |
возмущений |
|
переносится поверхностными волнами [40, 68]. |
|
|
||
Вклад поверхностных волн целиком определяется дискретным |
||||
спектром собственных |
значений (Ù\Q', |
его можно оценить |
методом |
|
контурных интегралов как сумму вычетов по полюсам |
слагаемых |
|||
14
*я(0 в подынтегральных функциях, стоящих под знаками сумм V
А '
2 в (1.28).
Сохраняя в решении стационарной задачи только члены, убы вающие не быстрее г_ 1 / », можно получить следующие асимптоти ческие формулы для компонент смещений uq (где q — z, ф, г) на больших расстояниях г [40, 68, 69, 73, 93, 141]:
h = 2 u m ( * .z ' r - ф). |
|
oo |
(1.29) |
|
^ W = V^-î"e ' * ( " " « А ^ Г |
" P |
( |
* |
У ( e X V |
(to, z)) WkQ («, ф). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.30) |
Значения индексов Q, |
i q , |
a также множителя eq |
при заданном g |
|||||
приведены в табл. 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
1 |
|
|
|
||
|
я |
Q |
|
|
*« |
|
|
|
|
2 |
R |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
Г |
H |
|
|
2 |
|
— i |
|
|
Ф |
L |
|
|
3 |
|
+ |
i |
wfcQ — минимальная |
частота, |
при |
которой |
еще выполняется |
||||
условие |
lHQ (to) r^>\m\ + |
1; l k Q |
— корень уравнения CO*Q (£) — |
|||||
со = |
о, |
|
|
|
|
|
|
(1.31) |
|
VkQ = |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.32) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.33) |
15
При |
выводе формул |
(1.30) — (1.33) |
использованы |
асимптоти |
|
ческие |
соотношения: |
|
|
|
|
ос |
|
|
|
|
|
|
|
2r |
X |
|
|
|
|
X exp |
Ifcqr — m — |
(1.34) |
|
|
|
2r |
coC |
X |
|
|
|
|
X exp |
£f e Q r — [m |
|
справедливые при £ftQ r |
|m| + 1 . |
|
|
||
§2. Поле смещений
врациально-неоднородном шаре
Постановка задачи. Рассмотрим упругий шар с координатами R, Ѳ, ф (0 < R < Л 0 , 0 < Ѳ < я , 0 < ф < 2л). Уравнения движения в этих координатах имеют вид [57]:
1 |
ЭѲД |
|
|
ЭфД |
ЭДД |
|
|
|
|
|
|
|
R |
эѳ |
|
R sin Ѳ |
Эф |
ЭД |
|
|
|
|
|
Э*ИЕ |
|
|
|
|
|
|
|
- |
фф + |
|
|
|
- FR, |
|
|
|
|
|
|
|
m Ctg Ѳ) = р - ^ - |
||||||
1 эѳе |
|
1 |
ЭѲф _j_ эѳд |
[ЗѲІ? + |
(60 — ФФ) ctg |
Ѳ] = |
|
|||||
R |
ЭѲ |
1 |
Я в і п Ѳ |
Эф |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= Р ^ |
- |
4 |
(1.35) |
ЭѲф |
+ |
• |
Эфф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
эѳ |
' |
я sine |
Эф |
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь ид, щ, иф —компоненты вектора смещений u (t, |
R, Ѳ, ф) по |
|||||||||||
ортам ад, аѳ , аф соответственно; |
QR, бй, |
Ѳф, фі?, |
фф, RR — ком |
|||||||||
поненты |
напряжений, |
связанные |
со смещениями формулами: |
|||||||||
|
|
|
|
ЭМо |
|
1 |
З ц д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
ЭѲ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ѳф |
|
|
|
|
|
Эиа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
Ѳ |
Эф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
<pR |
^ \ dR |
R |
Д в і п Ѳ Эф / ' |
|
|
(1.36) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
ФФ XA + 2 ^ ( u H + W e C t g 0 + |
1 |
^ ^ ) , |
|
|
|||||
Эи ^
RR= \A + 2u эд
16
