Файл: Иваницкий Г.Р. Исследование микроструктуры объектов методами когерентной оптики.pdf

нацией объекта, представляющего интерес для исследо­ вателя, {об(х, у) п некоторого случайного распределения интенсивности, сопутствующего объекту и маскирую­ щего его, которое может рассматриваться как двумерная шумовая функция f^{x, у)

Оператор F определяет характер взаимодействия объ­ екта и шума. Ниже будут высказаны некоторые сообра­ жения по поводу способа комбинирования объекта и шу­ ма в микроскопических изображениях. Будем предпола­ гать пока характер взаимодействия аддитивным, что достаточно близко к действительности.

Из-за наличия шумового фона п вследствие случайно­ го характера самого объекта анализ микроскопических изображений всегда связан с некоторой неопределенно­ стью, приводящей к появлению ошибок.

Использование оптимальных методов для решения за­ дач микроскопического анализа сводит к минимуму ука­ занную неопределенность. В зависимости от специфики решаемых задач критерии оптимальности могут быть различными. Можно указать два таких критерия, чрез­ вычайно эффективных в исследованиях биологических микроизображенпй.

Это критерий минимума среднеквадратичной ошибки и критерий максимума отношения пикового значения сигнала к среднеквадратичному значению шума, причем под сигналом понимается распределение амплитуд (или интенсивностей) в изображении представляющего инте­ рес объекта. Назначение их различно. Если первый кри­ терий предназначен для наилучшего воспроизведения формы объекта из аддитивной смеси объекта и фона, то второй критерий используется не для воспроизведения формы объекта, а для формирования максимально воз­ можного пика сигнала на шумовом фоне.

Распределение интенсивности на выходе микроскопи­ ческой системы может быть представлено как результат свертки распределения интенсивности на объекте и не­ которой функции, характеризующей параметры оптиче­ ской системы, так называемой функции рассеяния пли аппаратной функции:

52

где /об(A'i, уi ) — распределение интенсивности на объек­ те; h(x—хи у— ij\) — аппаратная функция или функция рассеяния.

Многие искажения изображения объекта могут рас­ сматриваться как результат свертки с соответствующей аппаратной функцией. Восстановление истинного изобра­ жения объекта может быть представлено как результат решения интегрального уравнения (76), в котором аппа­ ратная функция полагается известной. На основании тео­ ремы о спектре свертки это решение в общем виде может быть представлено в виде

где 5ос(сол-) СОу) , 5 из (со*, со,,), Я(сох, соу) — двумерные пре­ образования Фурье соответственно от f0e(x, у), fu3(x, у), h(x, у). В тех случаях, когда аппаратная функция равна

5-функцнп, / нп(х, .у) = /о и (-V, у).

Однако для большинства реальных объектов в урав­ нении (76) появляется дополнительное слагаемое, пред­ ставляющее согласно уравнению (75) некоторую шумо­ вую составляющую:

к блокированию пространственного спектра шума и про­ пусканию спектра объекта. Оптимальным фильтром бу­ дет фильтр, выполняющий эту операцию.

Степень взаимного перекрытия двумерных спектров полезного сигнала п шума определяется характером их структуры. Локализация спектральных составляющих сигнала на ограниченном участке плоскости двумерного спектра, как правило, облегчает разделение спектров. Такая формаспектра может наблюдаться, например, у периодических структур, ориентированных определен­ ным образом. Упорядоченность ориентации в биологиче­ ских объектах чаще всего проявляется на электронномикроскопическом уровне исследований ![Л. 62]. Двумер­ ные спектры участков электронно-микроскопических изображений вирусов и бактериофагов, полученных

53

с помощью оптического дифрактометра {Л. 104], имеют четко выраженную периодичность. Двумерная фильтра­ ция в этом случае может быть чрезвычайно эффектив­ ной. Клуг п Розайер [Л. 105] показывают, как «двусто­ роннее» изображение хвостового чехла фага, являющее­ ся результатом наложения изображений от ближней и дальней сторон частицы и затрудняющее исследование структуры, может быть преобразовано в «одностороннее» изображение методами двумерной фильтрации.

В случае, когда спектры сигнала и шума существенно перекрываются и нет достоверных различий в других па­ раметрах, выделение сигнала возможно лишь за счет различия в вероятностных характеристиках шума и сиг­ нала. Понятие оптимального фильтра при этом не одно­ значно. Такой фильтр может быть синтезирован по-раз­ ному в соответствии с приведенными выше критериями оценки. Например, если целью фильтрации является вос­ произведение определенных участков изображения с ма­ ксимально возможным подобием, в качестве критерия может быть выбрано требование минимальности средне­ квадратичной ошибки ![Л. 89].

Если параметры шума неизвестны, уравнение (78) не может быть решено непосредственно. Можно лишь про­ извести некоторую оценку 1'0в{х, у) решения. Если рас­ сматривать распределение интенсивности в изображе­ ниях объекта и шума как пространственные случайные процессы, то лучшая оценка должна максимизировать апостериорную плотность вероятностей /'0п(-v, у), давае­ мую f„3(x, у) согласно правилу Байеса {Л. 51]. Полагая, что распределения, описываемые /0о(М У) и !ф{х, у), представляют собой независимые нормальные случайные процессы с нулевыми средними значениями, апостериор­ ная плотность вероятностей будет наибольшей для оценки

fоб (х, у) = J f К (х — л'„ у — у,) fva(л-, у) dx dy. (79)

—СО

вкоторой 1г'(х—Х|, у—yd) выбрано так, чтобы минимизи­ ровать среднеквадратичную ошибку

54

бых затруднении она распространяется па двумерный случай [Л. 90]. Было показано, что в случае, когда сигнал и шум статистически независимы, фильтр, минимизирую­ щий среднеквадратичную ошибку, должен иметь ча­ стотную характеристику вида

где Gоб(ыл-, соу) и Gф(шл-, о)у) — энергетические спектры объекта и шумового фона, представляющие преобразо­ вания Фурье от корреляционных функций объекта и фона.

Из формулы (81) видно, что когда помеха отсутст­ вует G,[1(co.v, (о(/) = 0 , коэффициент передачи фильтра ма­ ксимален и равен 1. Наоборот, когда интенсивность по­ мех существенно превышает интенсивность сигнала, ко­ эффициент передачи минимален н равен:

Мб М*. Му)

В некоторых случаях цель микроскопического анали­ за может быть сформулирована иначе. Вместо попытки наиболее точно воспроизводить форму исследуемой структуры можно осуществить операцию, которая отве­ чала бы на вопрос, присутствует ли в поле зрения объект известной формы. Детально решение подобной задачи будет обсуждаться ниже. Можно, однако, сказать, что при нормальном законе распределение амплитуд шумо­ вого фона операция, на основании которой принимается решение о наличии или отсутствии объекта в анализи­ руемом поле зрения, может выполняться с помощью ли­ нейных согласованных фильтров.

Решение задачи в этом случае сводится к выбору та­ кой аппаратной функции в уравнении (78), которая бы удовлетворяла критерию получения максимального отно­ шения пикового значения сигнала к среднеквадратично­ му значению шума.

Таким образом, задача согласованной фильтрации со­ стоит не в воспроизведении формы сигнала, а в форми­ ровании максимально возможного пика сигнала на шу­ мовом фоне. Второй существенной особенностью этого класса фильтров является то, что сигнал на выходе со­ гласованного фильтра по форме совпадает с функцией автокорреляции входного полезного сигнала.

55

В общем случае двумерная частотная характеристика такого фильтра, являющаяся преобразованием Фурье от аппаратной функции, определяется выражением [Л. 66]

сопряженная спектру сигнала; G(co.v, (оу) — спектральная плотность шума.

Можно показать, что из всех линейных фильтров фильтр с частотной характеристикой такого вида обес­ печивает максимальное отношение пикового значения сигнала к среднеквадратичному значению шума, равное

К = |S(co„ ау)Г- du>xdui„ (83)

G(со*, (£>у )

=- Я

Вслучае, если спектральная плотность шума посто­ янна («белый» шум), частотная характеристика согла­ сованного фильтра с точностью до постоянного множи­ теля является функцией комплексно сопряженной спектру объекта. Поэтому в случае «белого» шума ампли­ тудно-частотная и фазово-частотная характеристики со­ гласованного фильтра должны определяться соответст­ вующими характеристиками объекта

фоб(сОд:, соу)— фазовая характеристика объекта. Совпадение формы амплитудно-частотных характери­

стик объекта и фильтра обеспечивает наилучшие усло­ вия для выделения наиболее интенсивных спектральных составляющих объекта и ослабления слабых спектраль­ ных составляющих для того, чтобы предотвратить про­ хождение шумов на этих участках. «Обратная» фазовая характеристика фильтра компенсирует взаимные фазо­ вые сдвиги между отдельными спектральными состав­ ляющими. Так как вся фазовая информация сосредото­ чена в деформациях волнового фронта, то после прохож­ дения волновой поверхностью плоскости согласованного фильтра, компенсирующего фазовые изменения, световая

56

волна становится плоской. Плоская волна концентриру­ ется оптической системой в плоскости изображения в точку, определяющую положение исследуемого объ­ екта.

12. ЗАДАЧА ОБНАРУЖЕНИЯ МИКРОСКОПИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ПРИ АВТОМАТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ

Уже отмечалось, что достаточно часто при автомати­ ческом анализе микрообъектов -возникает необходимость, не воспроизводя формы объекта, ответить на вопрос, имеется ли в поле зрения анализирующей системы объект известной формы. Подобная задача может быть сведена к задаче обнаружения двумерных оптических сигналовна сложном шумовом фоне. Решение ее должно базироваться на широко используемых в теории анализа одномерных сообщений методах математической стати­ стики п теории решений [Л. 7, 12, 36, 51].

С такой точки зрения задачу автоматического анали­ за микрообъектов можно интерпретировать следующим образом.

Результатом исследования должно быть принятие

наличие объекта в исследуемом поле зрения, другое со­ бытие В — отсутствие объекта. Гипотезы Нл о том, что произошло событие А, или Нв о том, что произошло со­ бытие В, взаимно исключают друг друга, так как собы­ тия А и В образуют полную систему событий. При авто­ матическом анализе микрообъектов наряду с задачами обнаружения лишь одной разновидности объектов, кото­ рые принципиально могут быть отнесены к двухальтернатнвным, существует большое количество задач, кото­ рые могут рассматриваться как многоальтернативные (например, определения видовой принадлежности лейко­ цитов при построении лейкоцитарной формулы крови). Необходимо заметить, что даже двухальтернативные си­ туации фактически сводятся к многоальтернативным, так как вследствие широкой вариабельности биологических микрообъектов необходимо членение совокупности объек­ тов, принадлежащих одной биологической разновидно­ сти, на более мелкие структурные подразделения,

57