Файл: Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка.pdf

И . В . С К Р Ы П Н И К

НЕ Л И Н Е Й Н ЫЕ

ЭЛ Л И П Т И Ч Е С Н И Е УРАВНЕНИЯ

В Ы С Ш Е Г О П О Р Я Д Н А

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКОВА ДУМКА» КИЕВ — 1.973

Естественными при изучении уравнений вида (1) принято счи­ тать условие эллиптичности в виде

Дивергентная форма уравнения (1) позволяет определить обоб­

Регулярность обобщенных решений

Проблема регулярности решений квазилинейных эллиптических уравнений идет от Гильберта (девятнадцатая проблема), которым ставился вопрос, должны ли быть все решения регулярной вариа­ ционной задачи необходимо аналитическими функциями. В даль­ нейшем, по мере перехода от уравнений с аналитическими функция­ ми к уравнениям с дифференцируемыми функциями, постановка проблемы регулярности расширялась: «Дифференциальные свой­ ства решений эллиптического уравнения внутри области их суще­ ствования определяются дифференциальными свойствами функций, образующих эти уравнения, и не зависят ни от гладкости гранич­ ных значений, ни от того функционального пространства, в кото­ ром эти решения первоначально найдены» [84].

Первой работой, посвященной девятнадцатой проблеме Гиль­ берта, была работа С. Н. Бернштейна [8], в которой доказывалась аналитичность всех трижды непрерывно дифференцируемых реше­ ний нелинейных эллиптических уравнений второго порядка, зада-

4

ваемых аналитическими функциями, с двумя независимыми пере­ менными. Позже требование существования третьей производной решения ослаблялось различными авторами (Л. Лихтенштейн,

Э.Хопф, Ч. Морри).

И.Г. Петровский выделил [123] класс систем дифференциаль­ ных уравнений, которые теперь принято называть системами, эллип­ тическими по И. Г. Петровскому, все достаточно гладкие решения которых аналитичиы. Требование на минимальную априорную глад­ кость решения было ослаблено С. Агмоном, А. Дуглисом, Л. Ниренбергом [1]. Например, для уравнения вида (1) из работы [1] сле­ дует, что всякое принадлежащее Ст (Q) решение является анали­

тическим в Q, если Аа, / а аналитичны.

Все эти результаты сводят девятнадцатую проблему к доказа­ тельству определенной гладкости решения задачи. Но вместе с тем не дают ее полного решения, так как нет способа построения реше­ ния с требуемой априорной гладкостью.

Полное решение для многомерной задачи в случае уравнений второго порядка получили для специального функционала де Джор­ джи [56] и Нэш и в общем случае О. А. Ладыженская и Н. Н. Уральцева (см. монографию [84], где дается обзор работ по уравнениям второго порядка).

Проблеме регулярности для квазилинейных уравнений высшего порядка посвящено небольшое число работ.

Для уравнений высшего порядка Морри доказал [105], что для

В работах [57, 59, 97] приводятся контрпримеры, показывающие, что уравнения высшего порядка существенно отличаются по свой­ ствам решений от уравнений второго порядка, и при п > 3, т > 2 можно построить примеры уравнений вида (1) с аналитическими Аа, но имеющими не принадлежащие С" (Q) обобщенные решения.

Гладкость обобщенного решения в случае двух аргументов изу­ чал И. Нечас [109] при ряде существенных дополнительных огра­ ничений (предполагалось, что уравнение можно включить в пара­ метрическое семейство уравнений специального вида, единствен­ ность решения задачи Дирихле и т. д.).

вая и вторая главы, в которых излагаются результаты, получен­ ные автором в работах [133—138].

В § 1 главы I строятся примеры эллиптических вариационных квазилинейных уравнений вида (1), которые имеют нерегулярные

5

обобщенные решения, не принадлежащие к определенным классам функций. Все эти примеры показывают, что приводимые ниже ре­ зультаты неулучшаемы.

В связи с контрпримерами, построенными В. Г. Мазья, де Джор­ джи, Джусти, Миранда, автором, основным в проблеме регуляр­ ности стал вопрос: установить минимальную гладкость решения, обеспечивающую его регулярность.

Этот вопрос решается в первой главе, где доказывается, что при естественных предположениях всякое обобщенное решение и (х) уравнения (1) принадлежит Cm(Q), если для произвольной функции <p€Co°(Q) выполняется условие

что условие (5) нельзя ослабить. Дальнейшее повышение гладкости и (х) непосредственно следует из работы [1].

Доказательство ограниченности производных m-го порядка ре­ шения уравнения (1) основано на получении равномерных оценок норм этих производных в L r при г ->• оо. Доказательство непрерыв­ ности этих производных основано на том же методе, только приме­ няющемся к вспомогательной функции, при выборе которой исполь­ зовалась идея Ю. Мозера [108].

Контрпримеры, о которых говорилось выше, относятся к случаю трех и более независимых переменных. В § 2 второй главы пол­ ностью исследован плоский случай и показано, что при выполнении естественных предположений всякое обобщенное решение явля­ ется регулярным.

Отсюда, в частности, следует, что девятнадцатая проблема Гиль­ берта имеет положительное решение в случае плоской области: всякое решение регулярной вариационной задачи необходимо аналитично, если функции, образующие уравнение, аналитичны.

В § 3 главы I I I доказывается при слабых предположениях, что при п = тр всякое обобщенное решение уравнения (1) непрерывно. Следующее отсюда утверждение о непрерывности обобщенного ре­ шения линейного уравнения с измеримыми ограниченными коэф­ фициентами обобщает на уравнения высшего порядка известную

всякое обобщенное решение уравнения (1) является классическим. Примеры показывают, что условие п = 2 (т — k) неулучшаемо.

6