Файл: Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка.pdf

Топологические признаки существования решения

Впервые исследование разрешимости задачи Дирихле для уравне­ ний вида (1) (и систем) было проведено в ряде работ М. И. Вишика [32—35], выделившего класс сильно эллиптических квазилиней­ ных уравнений. Для таких уравнений доказана теорема об одно­ значной разрешимости. Также доказана разрешимость для некото­ рых классов уравнений, являющихся сильно эллиптическими лишь по отношению к вариации старших производных и содержащих под­ чиненные члены.

Ф. Браудер в ряде работ (см., например, [17]) изучал разреши­ мость определенных операторных уравнений в банаховых простран­ ствах, к которым оказалось удобным сводить граничные задачи для

Возникающий при этом оператор А обладает свойством монотон­ ности, либо более общим свойством полуограниченности вариации.

Изложение этих результатов содержится в монографии Ф. Браудера [17], обзорных статьях Ю. А. Дубинского [47], Р. И. Качуровского [73], Дж. Иллса [66], где и приведена основная литература по этому вопросу.

Разрешимость некоторых классов уравнений с нечетными опера­ торами, не удовлетворяющими условию коэрцитивности, доказана С. И. Похожаевым [128] (см. также [21, 121]). Им же введено поня­ тие нормальной разрешимости и доказана нормальная разреши­ мость определенных операторных уравнений с дифференцируемым оператором [127, 62, 25].

Разрешимость операторных уравнений с монотонными либо сходными с ними по свойствам операторами в упомянутых выше

7

работах получена в случае коэрцитивных или нечетных операторов. В последнее время для изучения подобных уравнений были приме­ нены топологические методы.

Топологические методы исследования нелинейных уравнений вида и + Ти = 0, где Т—вполне непрерывный оператор, были развиты в работах М. А. Красносельского и его учеников (см. [81]). Они основываются на введенном Лере—Шаудером [91] понятии степени отображения и эквивалентном ему понятии вращения впол­ не непрерывного векторного поля, введенного М. А. Красносель­ ским. Теория вращения вполне непрерывного векторного поля обобщена на поля и + Fu, где F — слабо непрерывный [13] либо уплотняющий оператор [16, 311. Введены топологические инвариан­ ты для фредгольмовых гладких векторных полей [153, 67, 14, 15].

Распространение топологических методов на операторы, не являю­ щиеся возмущениями единичного, проведено в работах [23, 24, 133,

Р.Л. Фрум-Кетковым [1611.

Вработах [133, 139—143] векторное поле аппроксимировалось

конечномерными полями, устанавливалась стабилизация враще­ ний конечномерных векторных полей и предельное значение этих вращений называлось вращением исходного поля. Изучены свой­ ства вращения (например, доказано, что вращение — единственный гомотопический инвариант, получена формула индекса критиче­ ской точки и др.) и даны различные применения этого понятия. Эти результаты излагаются в главе I I I .

Пусть X — действительное сепарабельное рефлексивное банахо­ во пространство, X* — его сопряженное. В § 2 вводится понятие вращения на границе S ограниченной области D cz X векторного поля Аи, где А : S -> Х*\{0}—ограниченный, деминепрерывный (переводящий сильно сходящиеся последовательности в слабо схо­

димость ип к и0.

Класс таких операторов достаточно широк. Всем этим условиям удовлетворяет определяемый равенством (6) оператор. Этим же условиям удовлетворяет оператор С + В + Т, где С — сильно монотонный, В — ортогональный, слабо непрерывный, Т — вполне непрерывный операторы [50; 72], операторы, порождающие норму [47], и др.

В § 2 вводится вращение и при более слабых предположениях

8

на X, А, а также для некоторых классов отображений из X в X. В § 3 изучаются основные свойства вращения. Здесь доказы­ вается классификационная теорема, утверждающая, что вращение является единственным гомотопическим инвариантом. Если опе­ ратор А определен на D и имеет в D только изолированные критиче­ ские точки (в которых Аи — 0), то вращение поля Аи на S равно сумме индексов всех критических точек. Отсюда, в частности, сле­ дует принцип ненулевого вращения: для того чтобы уравнение Лы=

Общий принцип ненулевого вращения применяется в § 5 для получения признаков существования критических точек. Отсюда в качестве следствий получаются известные результаты о разреши­ мости уравнения (6) при условии (8). Обобщаются результаты С. И. Похожаева по разрешимости уравнений с нечетными опера­ торами. Изучается разрешимость асимптотически однородных опе­ раторов. Некоторые признаки получены для операторов А, дей­ ствующих в X. Отметим, что в качестве следствия дано обобщение принципа М. А. Красносельского существования неподвижной точки отображения К + F, где К — строго сжимающий, a F — впол­

В § 6 даются приложения развитых топологических методов к изучению граничных задач для нелинейных эллиптических урав­ нений. В частности, доказана при естественных условиях разреши­ мость нелинейной задачи Неймана для уравнений второго порядка (отметим, что обычный метод Лере — Шаудера к этой задаче не­ применим [84, гл. X]).

Разрешимость и обоснование метода Галеркина для ряда нели­ нейных задач механики дается в § 7.

Задача о собственных функциях

Топологические методы, развитые в третьей главе, позволили в

Здесь А — ограниченный деминепрерывный оператор, удовлетво­ ряющий условию а, Т, F — вполне непрерывные операторы.

Существование собственных функций уравнения вида (8) в слу­ чае потенциальных операторов А, Т (являющихся градиентами не-

9