Файл: Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка.pdf

£ ( - l ) | a | D a M a 8 W D p « } = 0 ,

x^QczR",

(1.2)

lal.lPKm

называется

функция

u(x)£W^(£l)

такая,

что при всех

cp£C"(Q)

выполнено

равенство

£

J Л «з W D^uD^dx

= 0.

(1.3)

|a|,|3|<m Q

Для уравнения (1.2) в случае т = 1 де Джорджи [56] показал,

что всякое обобщенное решение, принадлежащее W2C&), непрерыв­

ности. Покажем, что при т >

1 аналогичное утверждение нельзя до­

казать.

Пусть

п > 2, % — произвольное

число,

удовлетворяющее не­

равенству

2 > Л > 2 — y > и

Q—произвольная

ограниченная об­

ласть в Rn,

содержащая начало

координат. Тогда функция и(х) =

= | х | х является

обобщенным

решением в

Q

уравнения

Эйлера

функционала

' • < « > - f I s

( f t + '

+ ° > £

*

<> 4>

П 1

£ ./=1

£./=1

где б( — символ Кронекера,

_

[(п +

к - 2 ) о 1 +

к-1][п

+

Х - з +

о1

(1-2)]

°2

—

(2 — Х)(п-\-Х—

2)

•

k,t=i а I

г,/=1

+

ст^_1^_^

= 0.

(1.6)

Непосредственный подсчет

дает

2 (т^+ 0 ^)1$^=

М ( л + х - 2 ) с т ' + х - 1

1 | я г |

£ »/= 1

чала координат.

Если же ф — произвольная

функция из

Cjj° (О),

то, записывая 1г

(и, ф) как

предел интегралов

по Q\BE (0),

инте­

грируя по частям и переходя к пределу при s

0, проверяем спра­

ведливость

(1.6), здесь Ве (0) — шар радиуса е с центром в

начале

координат.

Из (1,5)

видно, что ст, можно выбрать таким

образом,

чтобы

о 2 было положительным. Тем самым,

выбирая

X < 0, получаем

пример уравнения вида (1.2)

при т = 2,

п > 4 , удовлетворяющего

при x£Q,

r\qRN

условию

|а|=1В|=ш

[а[=т

и имеющего

неограниченное

обобщенное

решение. Здесь С — по­

ложительная

постоянная, л = {т)а . | а | =

т) £ Цы,

N—число

раз­

личных мультииндексов длины

т.

Укажем теперь примеры нерегулярных решений для квазилиней­

ных

уравнений

дивергентного

вида

£

(-

l)MDaAa

(*, и , . . . ,

Dmu) = 0,

(1.7)

|a|<m

удовлетворяющих

при

определенном

р >

1 условию

равномерной

эллиптичности

в виде

Е

4 *

<*. © t i e >

с, (1

+ S

IЕ, I Г *

I

<

(L 8 >

|a|=|BI=m

\

|Vl=m

/

|o|=m

при

всех

Е =

U a : |a|

< m}

tj =

{i\a

: | a | =

m)

£RN,

x£Q.

Здесь

С, >

0,

ное число,

удовлетворяющее неравенству 1 >

К > 2 — у ,

р—на­

ибольшее расстояние от точек границы области Q до начала ко­

ординат; Q

такая

же область,

как и выше, п > 2.

Проверим, что

и (х) == I х Iя " — обобщенное

решение в Q

уравне­

ния Эйлера

функционала

ди

ди

дх.

' дх.

'•./'=i

+с* £ (таг)

(1.9)

£./=1

если ст2 определяется по формуле (1.5).

Нужно

проверить, что при

всех cp£C"(Q)

ax.

' дх,

,

7

+ 2

7! ( l

dx +

V"l)

*

/" ( I V« I)

dx.dxj

1

(./=1

ди

ди

ди

Лр

+

2

дх. '

дх^

d \

d \

дх.

' дх,

д

i

/2

(I V" I)

dxJxj

dxhdxi

г (I v«I:

i./=i

k.i=\

би

быои

г-1

d« бф

дх.

Р=1

dx =

0.

(1.101

/

<

IV" |)

I V"

I

Из

выбора

/ следует,

что

при

x£Q:

1

бы

ди

/ 2 d V " l )

dxk

' dxi

1*1' '

Таким

образом,

равенство

нулю

первого

интеграла

в (1.10)

ряемого

соотношения

при / =

1,

. . . ,

п,

х Ф

0:

S

du

.

,2

cfu

Y<

ди

ди

д

и

ди

= 0.

л "

IV» I

dxhdX[

^

дхк

дхр

дхкдхр

dxt