Файл: Девятых Г.Г. Глубокая очистка веществ учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.07.2024

Просмотров: 149

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

(Ш-24) в основном тексте] можно записать в следующем виде:

 

 

 

дх

№х

 

гДе D =

^

— приведенный

коэффициент

диффузии. Соответ­

ственно

запишем граничные

условия [соотношения (Ш-25) и (III-26)

в основном тексте]:

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

J х (и, 0) da = xQ;

(3)

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

дх )

= 0 .

(4)

Поскольку рассматривается процесс очистки основного вещества

от примеси, то при заданной

схеме процесса кристаллы внизу колон­

ны будут содержать меньше примеси, чем кристаллы вверху колон­ ны и, следовательно, имеет место случай, когда а < 1 . В дальнейшем

для удобства

будем оперировать величиной а'=1/а.

Таким

образом,

с введением

безразмерных

координат

(1)

уравнение

рабочей линии

[уравнение (III-28)

в основном тексте] запишется как

 

 

1

 

.

 

 

1

 

 

 

< p ) r f u = a ' ( l - p ) j : ( l ,

<f)+p

\)du.

(5)

и

 

 

 

 

о

 

 

Безотборный

режим.

Применительно

к безотборному

режиму

(Р = 0) из уравнения (5) следует, что

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

JJC(«, <p)rf« = a'jc(l,

«р).

 

(6)

 

 

о

 

 

 

 

 

Решение уравнения

(2) будем Искать в виде*

 

 

 

х (и, <?) =

е _ т ? (Л cos $и +

В sin £и),

"

(7)

где Л, В, р, Y — постоянные.

Подставим (7) в (2); после дифференцирования будем иметь

— f e - T ' (Л cos $и + В sin Щ = — D$4~v* (Л cos pu + В sin р«)

Ч = £ ? 2 -

(8)

Из граничного условия (4) следует, что в выражении

(7) В = 0.

С учетом последнего и соотношения (8) выражение (7) принимает более простой вид:

х[и,

tf^e-W^Acospu.

(9)

* Б а т у н е р Л. М., П о з ни

М. Е. Математические

методы

в химической технике. М., Госхимиздат, 1960, стр. 321.

150

Подстановка (9) в (6) дает

 

 

sin

— a cos

(10)

 

 

 

Трансцендентное уравнение (10) имеет бесконечное множество кор­ ней 6ft. Следовательно, решение (9) в общем случае будет иметь вид

х(и,

<?) = 2^ А"е

c o s

Р*и '

(П)

 

fc=o

 

 

 

в котором значения (5;,, в соответствии

с соотношением (10),

будут

определяться характеристическим уравнением

 

 

 

tgPA = o'Pft

 

(12)

и могут быть легко найдены, например, графическим путем.

гра­

Для определения

значений коэффициентов А*, используем

ничное условие (3); при этом из выражения

(11) следует, что

 

2 аь C O S РАЦ = 1 >

где ak = Aklxu.

 

 

 

 

 

 

Далее, исходя

из

(13) и из требовании

минимума* величины

 

 

 

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

^

ак cos

pf t M ) — 1 da,

получим

 

 

 

 

 

 

 

dl_

 

 

 

 

cos pftu J — 1 cos fifadu = 0

дак

-• ^

I ^

ak

пли

0

 

L \ 7 = 0

 

/

 

 

oo

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

j "

- _

a * c o s

c o s

P/"*" =

\

c o s

0

j=0

 

 

 

 

о

 

Из соотношения (15), поскольку

(13)

(14)

(15)

cos pf t u cos р;.и = - у [ cos (Pft — р;.) ц + cos (Pft + Р;.) а ] ,

можно получить систему линейных уравнении для определения зна-

* Б р о н ш т е й н И. Н., С е м е н д я е в К. А. Справочник по математике. М., Физматгиз, 1959, стр. 572.

чений ал (а следовательно, и An):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin р

 

 

 

 

 

 

akak. = 2 —-J-;

 

 

(16)

 

 

 

}=0

 

г1

 

 

 

 

( s i n ( P u - p )

s i n ( p / ; + p )

 

 

 

 

Pft - P ;

+

д ,

о

 

" Р " У * *

 

ак •'-

 

 

Р*+Р; -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + —

 

 

 

при J = к

 

На основании вышеизложенного выражение для фактора разде­

ления запишется в виде

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1 со

_ д р 2

 

 

 

_

[ х{и,

l)tfu

[2

Лй е

* cos p/.uda

 

b

 

_

о ft=o

 

 

 

_

 

F q

 

*0

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а^е

я —

.

 

(17)

Формула (17)

позволяет производить

расчет

фактора

разделения

кристаллизационной

колонны

при

заданных • значениях

величин а

и D. Однако такие

расчеты,

включающие

в

себя предварительное

определение значений

an из системы уравнений (16), без использо­

вания вычислительной

машины крайне

трудоемки. Поэтому весьма

интересным представляется отыскание на основе соотношения (17) хотя бы и более приближенной, но зато более удобной для вычис­ лений аналогичной зависимости. С этой целью на цифровой вычис­ лительной машине ЭЦВМ М-20 были проведены численные расчеты по уравнениям (12) и (16) для сравнительно большого интервала значений а' (1,01—100). Эти расчеты показали, что ряд, стоящий в правой части соотношения (17), быстро сходится, причем опреде­ ляющей величиной по существу является первый член ряда. Напри­ мер:

1) а' = 1,05

 

F 0

= 0,991e-0 '1 4 2 £ , -b 0,0047e-2 0 '3 O -b0,0016e-5 9 '8 D +

(18)

2)

а' = 4

 

/=-0

= 0,857e-1 '9 4 o + 0,070e-2 1 '7 o + 0,0025e-G I '2 D + •••

(19)

Таким образом, как следует из численных примеров (18) и (19), для оценки величины фактора разделения в выражении (17) можно ограничиться одним первым членом ряда, т. е.

-Df-

sin Ро

 

F0 ~ а0е 0

—

(20)

 

РО

 

152

или в более удобной для расчетов форме

 

 

F0^(aem°)

\

•

(21)

где

к

 

 

 

 

 

а =

—-.

 

 

Рассчитанные с помощью ЭЦВМ М-20 по уравнениям (12.) и (16) значения ро, а0 и а в зависимости от а' представлены в табл. 1. От­ сюда необходимые для вычислении в каждом конкретном случае величины а и pV нетрудно найти, например, графическим путем. С другой стороны, на основании данных таблицы значения коэффи­ циентов а п Ро2 в выражении (21) в зависимости от а' хорошо аппроксимируются формулами:

 

а =

1

я2 (29 -1-е')

1

(22)

 

240

 

 

 

 

 

 

Р5

=

_ 4

 

(23)

 

 

 

которых Е ' = а

1/а' .

 

 

 

Вычисления по соотношению (21) с учетом (22) и (23) для раз­ личных значений а' и D показали вполне удовлетворительное согла­ сие с соответствующими расчетами по уравнению (17), проведенны­ ми па ЭЦВМ. Таким образом, заменяя теперь а' на 1/а в выраже­ ниях (22) и (23), из соотношения (21) получим расчетную формулу для интересующего случая а < 1 [уравнение (Ш-30) в основном тексте1.

На основе изложенного можно определить распределение при­ меси в твердой фазе по высоте кристаллизационной колонны. Для этой цели в уравнении (11) ограничимся одним первым членом ряда так же, как это было сделано при выводе соотношения (21). Исполь­ зуя при этом теорему о среднем значении, будем иметь

 

•(<Р)~

Л 0 е

cos Ро udu

(24)

или,.после интегрирования, поскольку

А0=а0х0,

 

 

 

х{4)^

 

х0 (ае°^)

\

 

(25)

где а п Ро2

соответственно

характеризуются

выражениями

(22)

и (23).

 

 

 

 

 

 

Отборный режим. Применительно к отборному режиму решение

дифференциального уравнения

(2), используя граничное условие (4),

будем искать в виде

 

 

 

 

 

 

оо

 

о

 

 

 

Л

-a—/,V Ake — ОРь?cos Р ^ +

const.

(26)

Л'=0

153

Т а б л и ц а 1 Значения коэффициентов

 

Ро.

Оо, а

 

а'

 

«0

я

1,01

0,1722

1,003

1,002

1,03

0,2947

1,009

1,006

1,05

0,3762

1,015

1,009

1,07

0,4401

1,020

1,013

1,10

0,5175

1,028

1,018

1,15

0,6175

1,040

1,026

1,20

0,6954

1,050

1,033

1,40

0,8999

1,085

1,058

1,60

1,022

1,111

1,078

2,0

1,166

1,146

1,107

3

1,324

1,191

1,146

4

1,393

1,212

1,168

6

1,457

1,233

1,189

8

1,487

1,243

1,200

10

1,504

1,250

1,207

20

1,538

1,261

1,220

100

1,564

1,271

1,231

Подставляя соотношение (26) в уравнение рабочей линии (5), после некоторых преобразовании получим следующее выражение:

х («, i) = 2t

*cos?f t u-a'0'2/f t e

cos^u, (27)

 

k=0

 

 

в котором

Q'=p/a'—1,

а значения (5;, определяются из характери­

стического

уравнения

 

 

 

 

tgP* = <*'(!—/>) fa.

(28)

При p=0 соотношения (27) и (28) переходят в соответствующие выражения (11) и (12) для безотборного режима.

Коэффициенты Ak в выражении (27) могут быть найдены тем же способом, что и в выражении (11), т. е. с учетом граничного усло­ вия (3), исходя из требования минимума величины

Г /

0 0

Ak -D?l

\

,

 

 

 

COS Pft« • • а'В'

 

da. (29)

 

— e

cos pa

—

i

0 L \

*=0

XQ

J

 

 

 

 

 

 

 

 

При этом получается система алгебраических уравнений, решение которых может быть получено с помощью вычислительной машины.

Из соотношений (27) и (28) можно получить выражение для

154

Смотрите также файлы