Файл: Торгашев В.А. Система остаточных классов и надежность ЦВМ.pdf

ставленным число {Л4 — | А |]ЛІ,, отнюдь не равное { — | Л |}Л[„ так как I М \м , ф 0. Поэтому результат расширения следует скоррек­

тировать, вычитая из него основание М.

В общем случае в процессе расширения системы оснований могут принимать участие не все модули, входящие в исходную СОК. В частности, если в системе остаточных классов представ­

лена правильная дробь {/1}^, то в расширении участвуют лишь

модули, соответствующие знаменателю N. Поэтому вновь получен­ ные при расширении остатки соответствуют величине {ЛГ —

Следует отметить, что знак числа А однозначно определяется его позиционной характеристикой. В частности, если А является

числителем правильной дроби {Л}^, то

что М' > 2N 2. Причем знак произведения можно определять по формуле (1.32) лишь в том случае, если Я' > N.

Нетрудно убедиться в том, что количество модульных операций, необходимых для расширения системы оснований при использовании чисел с произвольным знаком, увеличивается на единицу по сравне­ нию с вариантом, рассмотренным в § 1.4.

IПоэтому для получения округленного произведения двух дробей

спроизвольными знаками требуется выполнить:

в результате чего по меньшей мере вдвое увеличиваются аппаратур­ ные затраты иа создание арифметического устройства.

Поэтому рассмотрим другой способ умножения, не требующий введения добавочных оснований. Так же как и в предыдущем слу­

27

чае, сначала предположим, что оба сомножителя положительны. Представим каждый из сомножителей в виде пары чисел:

представление этих произведений в заданной СОК.

Для вычисления произведения положительных дробей в соответ­

ются позиционные характеристики в сокращенных СОК с основания­ ми M/Ni н MlNs соответственно, а далее эти системы расширяются до исходной. Число модульных операций, используемых в каждом

и{Л2Д,}лі в соответствии с формулой (1.34) определяются позицион­

го произведения почти на три единицы младшего разряда из-за оши­ бок, возникающих при округлении. Однако, если М > 3 ЛГ, то вели­ чину ошибки Д можно определить из выражения {Д}лі =*

= {лдг (АВ — CW)}AT•

Произведения {АВ}М и {СЫ}щ вычисляются формально, так как нас интересуют не сами эти величины, а их разность, которая может быть однозначно представлена в заданной СОК.

Для получения симметричной погрешности округления к произ­ ведению АВ следует прибавить величину [N/2].

Если положить Рп+і^4, то для вычисления ошибки требуется п-\-2 модульных операции, а в целом умножение двух положитель­

28

ройства, либо Зл+7 операциям, если использовать два преобразова­ теля из СОК в ОПС.

Если перемножаемые дроби имеют произвольные знаки, то при расширении системы оснований можно воспользоваться формулами, аналогичными (1.31) и (1.32). Правда, вторая формула может ис­ пользоваться для определения знака лишь у чисел, меньших чем N. В то же время произведение ЛіВ2 может превышать знаменатель дроби. Однако нетрудно убедиться в том, что Д2 и Во всегда поло­ жительны, и поэтому знак А (или А і) совпадает со знаком произве­ дения А\Вг. Что касается ошибки Д, то она так же всегда положи­ тельная независимо от знаков сомножителей А и В, ибо округление при вычислении позиционных характеристик осуществляется в мень­ шую сторону.

Число модульных операций, использующихся при вычислении произведения двух дробей с произвольными знаками, не превышает 5(п+3) либо 3(л+3) при наличии двух преобразователей из СОК

вОПС.

Втех случаях, когда умножение выполняется с удвоенной точ­ ностью, т. е. требуется знать число, соответствующее младшим раз­

Добавив модуль Ръ— Ъ и р = П , получим новую СОК с основанием Л4'=4620, причем R '= 5 5 > N .

Представим числители дробей в этой СОК, используя формулы

{ * N (AB)}N = { 1,6}21;

{лдг (AB)}jtf, — {1, 6, 0, 2, 3).4бао.

Переходя снова к исходной СОК путем исключения цифр, соот-

29

ветствующнх двум последним основаниям, получим окончательным результат:

Приближенное произведение получим как результат суммиро­ вания Д,Д, и позиционных характеристик: {С}^ = {0, 5, 3}|{.

Далее вычисляем ошибку {ДД— C N }M = {2, 1, 1}а4; {Д}ж =-

- {1, 1. Н е ­ окончательный результат умножения двух дробей равен:

{С + Д}ж = {^}ж-{б}щ = {1 . 6, 0}82',

т. е. совпадает с результатом предыдущего примера.

1.6. ДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ЧИСЕЛ В СОК

Операция деления является наиболее сложной из всех ариф­ метических операций. Правда, для большинства задач относитель­ ная доля деления не превышает нескольких процентов от общего числа арифметических операций. Во многих управляющих машинах деление не включается в состав команд и осуществляется про­ граммными способами. Поэтому можно считать, что время выпол­ нения операции деления относительно слабо сказывается на общей производительности ЦВМ. В связи с этим мы не будем подробно анализировать различные способы выполнения этой операции, а рассмотрим лишь один способ деления дробей, который отличается

30