Файл: Смольский Б.М. Нестационарный теплообмен.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.07.2024

Просмотров: 143

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

х е хр | - ^ т )

- 2 Л

6 V

Wn

H l ) - aiil_ Kstf X

 

'

n=I

 

xsin

X

exp

(2.31)

1-1,1

 

 

 

62

Для полых шаров, которые так же, как и вырезки из пластины, нагревались в жидкости постоянной темпера­ туры, уравнение теплопроводности имеет вид

dt

дЧ

, 2

dt

(2.32)

---- — d

------дг 2

-|- —

------дг

дх

г

 

В качестве краевых условий в этом случае были исполь­ зованы выражения:

при г = гх

 

 

 

t (rv

х) =

А1 [1— ехр ‘(— а д ] ,

 

при г = г2

 

 

 

t (га>

т) =

А 2 [1— ехр (— К2Х)]

(2.33)

и начальное условие: при X — О

t(r, 0) = 0.

Используя подстановку Т = tr, задачу для шара можно свести к задаче о нахождении температурного поля пла­ стины:

дТ (г, т) _

д2Т (г; т)

дх

дг2

Начальная температура Т (0, г) = 0. Граничными условиями являются выражения

т К т) = ГЛ [Г— ех Р (— Я » ] ,

 

Т (га, т) = г2А 2 [1— ехр (— /Сат)] .

(2.34)

Такая задача рассмотрена выше. Ее решением явля­ ется выражение (2.31). Чтобы получить решение для полого шара, необходимо использовать указанную вы­ ше подстановку T = tr, а также следующие соотношения:x

x = r — rv 8*=rt — rv

53

Решение для температуры полого шара в любой момент времени и в любом сечении имеет вид

t (г, т) = А, Гі (г2— г)

Н- А„ гЛГ~ гі)

X

'' (X —гі)

г(Го — гд

 

in[ l

 

 

 

 

exp (— Kjx) — A2

 

X

X

 

 

 

 

 

 

sin

[ l

/ 4

(»•— rl)

 

 

 

 

 

X

 

exp (— K2t) + 2 A1

X

sin

l /

:

 

('2 -

rl)

 

 

 

 

 

 

x

j

(

-

1)"

sm

пл

 

 

X

(2.35)

 

 

n=l

 

 

ПЛ

rn— r1

J

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an-n

 

 

 

 

 

 

 

Xexp

 

 

“"T T “*

 

+ 2j43

У

д - ѵ

- і -

X

 

( r , - r d 2

 

 

 

n=l

 

П Л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xsm

пл

r — r1 '

exp

(r2 — ri)2

— 2AX

X

 

 

r2— r!

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

апл

sm

П Л

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

n= I

 

 

ап2л2— /Ci (r2— г1)“

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 „ 2

•

 

00

 

 

 

xexp

 

 

an‘n

- 2 A2

V

(—l)n X

 

(Г.-Гх)8

 

 

 

 

 

л=і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

апл

sm mt

r — r,

X

 

X an2n2— К.г (r2— r,)

 

r 2 —

Г1

J

 

 

 

 

 

Xexp

( 'W

, ) 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

54

т , сск

5

10

15

5

10

15

5

10

15

Т а б л и ц а 2

 

-

 

 

 

 

сумм

 

 

со

\

 

 

 

8H I

всех

-0{

 

=п

 

 

 

 

 

2

 

 

 

Вклад

рас■

 

 

 

а

а

 

а .

UP

 

 

 

 

 

" 1-

 

 

в4-

 

 

 

/1 =

1

 

 

 

 

— 0,8100

— 1,7800

+ 0,8500

+ 1,8500 0,0900

11,5

0,9550

— 0,0550

— 0,1180

+ 0,0600

+ 0,1340 0,0210

22,5

0,0935

— 0,0033

— 0,0071

+ 0,0036

+ 0,0080 0,0012

31,2

0,0038

 

 

 

/і =

2

 

 

 

 

+ 0,0470

— 0,0960

— 0,0460

+ 0,0980

0,0030

11,5

0,0260

+ 0,0003

— 0,0007

— 0,0003

+ 0,0007

0,0015

22,5

0,0068

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

31,2

0,000

 

 

 

/і =

3

 

 

 

 

— 0,0024

— 0,0037

+ 0,0024

+ 0,0037

0,000

11,5

0,000

 

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

22,5

0,000

 

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

31,2

0,000

В уравнениях (2.31). и (2.35) были сделаны оценки вклада отдельных членов в значение температуры при различных значениях х для пластины и шара.

В табл. 2 приведены в качестве примера результаты расчета вклада сумм в значение температуры для по­ лого шара из латуни с толщиной стенки 25 мм.

При обработке экспериментальных результатов вклад сумм в уравнениях (2.31) и (2.35) оценивался для всех образцов. Было установлено, что он не превышал 1 % от значения температуры.

После дифференцирования уравнений (2.31) и (2.35) и подстановки их в закон Фурье были получены уравне­ ния для теплового потока:

на поверхности цилиндрической вырезки из плоско­

параллельной пластины

 

q — — X

Ар____ ^6

exp (—/С0т)+

б

б

 

sin

 

 

 

55

+ л»V

 

 

c,g

 

К,

 

ехр (— К 6т) -Ь

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ап2я 2

 

2АЬ X

 

 

 

 

" exp

X —

 

 

л==1

 

 

б2

 

б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exp

an2n2

 

 

 

 

 

 

s

б2

-

- у

1

У (—1)"Х

(2.36)

 

 

 

 

л=1

2я 2

 

а/і“Я

 

Л = І

 

 

 

 

 

 

2ААа

 

X

 

 

 

exp

^

2 тг2

х

+

 

X

 

 

 

б2

 

 

 

!- / С 0б2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2—2“ТТ “•

 

 

 

 

 

 

X У 1

 

п-л

 

exp

I —

 

 

шг2я 2 — /Слб2

 

 

 

п = \

 

 

 

б2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

н а вн еш н ей п о вер х н о сти п олого ш а р а

 

 

 

q ~ — k

Ѵ і

 

Ѵ і

 

 

 

 

 

 

ГЛГ2 ~ Гі)

Г2ІГ2 ~ Гі)

 

 

 

 

 

л

*1

 

 

ехр (— а д

+

 

 

г2 Sin

(^ — гі)

 

 

 

 

 

J ^ j/'

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А,а

 

 

ехр (— /Сат) X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X cos

 

 

 

ft

 

 

тс

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

'

к ,

Оя — ri)

-

 

У ( - i ) nx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rz(r-2— ri)

 

 

 

 

 

 

 

2„2

 

2Aa

 

 

 

 

X exp

 

aii-n

 

 

X

(2.37)

 

 

 

 

 

 

 

56

X ^

an2я 2

2Л1л1ая2

 

exp

T

 

 

n=l

(r2- r t f

r2 (r2~ ф)

 

X

 

exp

(O — ri f

+

оп2я2— K x (r2— fj)2

 

2Л2ая2

’v S

пг

 

 

(О — ^i)

й/г2я 2

/(,, (r2— г,)2

 

 

 

ЯЯ2Я2

 

 

X exp

l ) 2 T.

 

 

 

( 'W

 

Оценка вклада

отдельных

членов, аналогичная

оценке в случае формул (2.31) и (2.35), была сделана и для формул теплового потока (2.36) и (2.37). В резуль­ тате выполненных оценок (табл. 3) было установлено, что добавка в тепловой поток за счет слагаемых форму­ лы (2.37), в которые входят бесконечные суммы, в са­ мом худшем случае не превышала 4% и в дальнейших расчетах не учитывалась. Это позволило упростить вы­ ражения для теплового потока на поверхности теплооб­

мена.

Окончательные

расчетные

формулы имеют вид:

для пластины

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ехр (— Л » +

+

Л ‘ Ѵ

4 - Ч - / 4 - * exp (— /С6т)Ь (2.38)

для полого шара

 

 

 

 

 

Яя = — х

 

 

^2ГХ

 

 

Г2(О — О)

Г2(Г2 — Гі)

 

 

 

 

 

 

 

Г ~ к

1__

 

'

.__ Г-

 

А ггг

V

 

ехр (— K jt) 4- А .2 л /

X

(Г2 ~ >\) '

57 ,

Смотрите также файлы