Файл: Викторов Г.Г. Мюонный метод определения плотности горных пород.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 28.07.2024

Просмотров: 92

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Рис. 1.3. Зависимость плотности потока мюонов в вертикальном направлении от глубины наблюдения:

/ —- усредненные экспериментальные данные для «стандарт­

ной» горной породы;

2 — результаты расчета

по формуле

(1.45); значками показаны экспериментальные

данные,

по­

лученные различными

авторами, для конкретных

глубин

[69].

Для удобства дальнейших расчетов графическая зависи­ мость плотности потока от глубины была аппроксимирована аналитической формулой [9]. Оказалось, что функциональная

зависимость

= /(77.,,,,..,.) в данном конкретном случае

наплучшим образом аппроксимируется выражением

 

(1.45)

а, b и с — постоянные коэффициенты, появляющиеся в про­ цессе решения условных уравнений [9].

Анализ формулы (1.45) позволяет сделать следующие вы­ воды:

1. В области низких энергий (до нескольких десятков Гэв) изменение кривой плотность потока — глубина происходит по степенному закону, т. е. преобладает первый член в формуле (1.45). Такой характер изменения отражает спектр я-мезонов, являющихся родителями р-мезонов.

2. В области высоких энергий (выше 100 Гэв) оба члена в формуле (1.45) играют одинаковую роль. При этих энерги­ ях (глубина около 400 мв.э.) наблюдается конкуренция между потерями на ионизацию и возбуждение и неионизационными потерями.

3. В области экстремально высоких энергий преобладаю­ щую роль начинает играть второй член в формуле (1.45) и зависимость плотность потока — глубина приобретает экс­ поненциальный характер. Это объясняется тем, что энергети­ ческие потери становятся прямо пропорциональны энергиям мюонов.

Как видно на рис. 1.3, на глубине от 50 до 6000 мв.э. экспериментальная и расчетная кривые совпадают в пределах погрешности измерений.

Для малых глубин, где преобладают потери на иониза­ цию, аналитическая формула, устанавливающая зависимость между плотностью потока в вертикальном направлении и глубиной, имеет более простой вид:

(1.46)

где коэффициенты а и b определяются в результате решения условных уравнений [9].

Переходя к глобальному потоку мюонов (Ф^-’' 8- ) на

некоторой глубине Н мв.э. , т. е. числу мюонов, проходящих в единицу времени через сферу с единичным сечением [части­ ца/ (см2 • мин)] [25], будем иметь с учетом формулы (1.39):

 

 

 

(1.47)

где

г/(о — элемент телесного

угла,

который можно предста­

вить

в виде dco= sin вс?Ѳ d<p;

угол 6

— зенитный, а угол ср —

азимутальный. Для глобального потока, т. е. без учета вре­ менного фактора, можно записать аналогично выраже­ нию (1.47):

^= 2 -

2

 

«■

=» I

I

фЦ^'т"' cos" Ѳsin Örf0 d'f

(1-48)

 

 

ç=-0 0-0

 

 

 

 

 

1.3.

Поток космических мюонов под землей

 

 

 

 

В формуле

(1.48)

для

глобального потока

космических

мюонов

можно

 

 

г .

Л

—

h

—

произвести замену cos о== — =

 

{р.ис. 1.4).

 

 

 

1

V р2+ Л-

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.4. Модель вертикального разреза для рас­ чета потока мюонов под землей.

Тогда элемент телесного угла

^

иполный поток

Фм о .э . =

rfi',,s, __ ds cos О

Рр

Фн м и. я.

верт

/iprfprft?

(1.49)

(р2 +

Да)'1

 

, л + 1

prfpfifc.

(1.50)

3 +

и

 

(р2 + IP) 2

Для численного решения выражение (1.50) удобно предста­ вить в виде квадратурной суммы, в узлах которой значения h определены экспериментально. Вначале вычисляется интеграл выражения (1.50) по <р, где подынтегральная функция 2я яв­ ляется апериодической функцией. В специальных работах [33, 38, 50] доказывается, что интеграл такого типа с доста­ точной степенью точности решается с помощью простейшей квадратурной формулы с равными коэффициентами:

 

, П ! 1

 

 

П

/.«+1

 

 

 

 

 

Ъ:

 

 

 

 

 

d%

пк

 

3 fi

;і.5і)

 

3 4-

/I

N 2

 

 

 

 

 

 

 

(Р2 +

Л=)

 

 

(P- + /Д

)

2

 

 

 

 

 

К 1

 

 

 

где N — число лучей при интегрировании по ср.

радиусом

р да­

Следует заметить, что области с меньшим

ют основной

вклад

 

в измеряемый

поток

мюонов, поэтому

целесообразно вычислять интеграл

(1.50) для

области

малых

р с большей точностью, т. е. узлы квадратуры

в этой области

должны быть расположены гуще. Для этого необходимо раз­

бить интервал интегрирования по

р(О-г-со) на два

интервала:

{0-г-/?,) и (/?і-г-со).

 

 

 

 

 

Исходя из закона углового распределения плотности пото­

ка мюонов

предельный

радиус интегрирования можно огра­

ничить

3000 м в. э. Таким образом,

будем иметь интервалы

(0—=—/?,)

и (і?,-г- R).

С

учетом этих

замечаний

выражение

(1.51) удобно представить в виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pdp.

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.52)

Рассмотрим

интеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

л,

 

 

 

 

 

 

Ф,

 

Л" + 1

pdp.

(1.53)

 

 

 

 

 

3 -Ь п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ъ )

 

 

 

Проведя

замену

переменной

интегрирования

р= xR|, где

0 < х <

1, получим

 

 

 

 

 

 

 

Ф, -

/?,2

 

 

 

xdx.

(1.54)

 

 

 

 

 

 

 

з + »

 

 

 

 

 

О

[(*/?,)» +

А^

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

Для построения квадратурной формулы наивысшей степе­ ни точности, имеющей вид

1

1

Л!

достаточно, чтобы узлы x t этой квадратурной формулы были

связаны

с корнями

Z

многочлена

Якоби

Pm’0,(Z/)

ра­

венством

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( / = 1 ,

2,

■■■, М),

(1.56)

а коэффициенты A t

определялись по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1 - 2 ,) * [Я<'-0) (Z,-)p

 

(1.57)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гая

Окончательно,

учитывая формулы

(1.55) —( 1.57)

и пола­

пг= 6,

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UH, 1

 

(1.58)

 

 

Фі =

Я,2

 

 

At ------

 

 

3 *f П 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_

 

К*/Я/)а + h-Ki 1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Кл-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ы1

 

 

 

 

 

 

 

где

значения

р,- = x tPi

(і= 1, 2,...,

6)

и коэффициентов

А с

могут быть определены из соотношений:

 

 

 

 

 

 

Xj — 0,0731,

.4, =0,0087;

 

 

 

 

 

х2 =

0,2308,

Аг =

0,0440;

 

 

 

 

 

л-3 =

0,4413,

*43 =

0,098/ ;

 

(1.59):

 

 

x h— 0,6630,

Л4 = 0,1408;

 

 

 

 

 

 

 

 

х й=

0,8519,

АГі =

0,1355;

 

 

 

 

 

х ъ — 0,9707,

.4,. =0,0723.

 

 

 

 

Рассмотрим интеграл Ф2 выражения

(1.52):

 

 

 

 

 

 

 

 

я

Ли-И

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф2 =

 

 

 

öd?.

 

(1.60)

 

 

 

 

3 -f п

 

 

 

 

 

 

 

 

( р*+4)

2

 

 

 

 

 

Для вычисления интегралов такого вида целесообразно ис­ пользовать формулу Гаусса [33]. Положим p ~ R \+ (R —R\)U,

где 0 < U < 1, тогда интеграл

Ф2

можно

аппроксимировать

квадратурной формулой наивысшей точности вида

 

 

1

 

j

M+ L

 

 

(1.61)

 

 

 

1

-

B J - H U J ),

где

 

 

j=M+1

 

 

 

 

 

? -/?,) f^l

 

 

H U j )

 

 

(1.62)

 

 

 

 

3 +

;i

 

 

 

 

 

 

 

 

{Iff. + (Я-Яі)

Uj\- +h*K \

2

 

 

Окончательно для вычисления

интеграла

Ф2 при

L= 6 имеем

 

j = Л1-і-6

 

 

1

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф2 = (/? - /? ,)

 

 

hK j

?j

 

 

(1.63)

J

 

 

3 + я

>

 

jS=M +\

[pf+hjc.У 1

2

 

 

где значения

pj=Ri + (R—R])Uj

и коэффициентов B j мо­

гут быть получены из соотношений:

 

 

 

 

 

 

Ui =

л;7 = 0,0337,

5, = В, = 0857;

 

 

7Â = JCS =0,1694,

B, = B-, =

1804;

 

 

U3 = JC,, =0,3807,

ß :t -

=

2340;

 

(1.64)

t/4 — JCIO = 0,6193,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U5 = x u =0,8306,

О, = je,, = 0,9562.

Итак, с учетом формул (1.58) и (1.63) общий поток

 

X {V FiihK.) + V

Fj(hKj)} ,

(1.65)

 

г

/=І

] =7

 

 

 

 

 

 

/,н + 1

 

 

 

где

ff (Л) =

А і

-------- —

——

<£//j' «•v-

(1-66)

 

/V

L

 

3 -г n

оерт

 

 

 

 

№ f 4 ,

l- 7 "

 

 

Смотрите также файлы