Файл: Чесноков А.Д. Сборник задач по квантовой механике и статистической физике учебное пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.07.2024

Просмотров: 156

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР

ф-

Ле н и н г р а д с к ий ордена Ленина электротехнический институт

имени В. И. Ульянова (Ленина)

А. Д. Ч Е С Н О К О В

С Б О Р Н И К З А Д А Ч ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ И

СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ

Учебное пособие

Под редакцией профессора А. И. Губанова

Ленинград

J973

УДК 536.7(076.1) —539.2(076.1).

В настоящее времія отсутствуют сборники задач по нере­ лятивистской квантовой механике, термодинамике и статисти­

ческой

физике равновесных состояний с задачами, доступны­

ми для

самостоятельной работы студентов, аспирантов и

инженеров, специализирующихся в области физики твердого тела, физической химии и микроэлектроники. Ц е л ь настоя­ щего сборника — подбор з а д а ч по у к а з а н н ы м р а з д е л а м тео­ ретической физики, позволяющий -при сравнительной просто­ те расчетов получить результаты, понимание которых доступ­ но, по крайней мере, качественно, и лучше разобраться в фи­ зической стороне рассматриваемых явлений.

ПР Е Д И С Л О В ИЕ

На с т о я щ ий сборник состоит из задач по нерелятивистской квантовой механике — часть I , термодинамике и статистиче­ ской физике (главным образом, равновесные состояния)

часть

I I , которые в течение

ряда

лет

решались на

практиче­

ских

занятиях

студентами I I I и

IV . курсов

электрофизическо­

го факультета

Ленинградского

ордена

Ленина

электротехни­

ческого института имени В. И. Ульянова

( Л е н и н а ) .

 

 

 

З а д а ч и , различные

по трудности,

подобраны

в

соответ­

ствии с рабочими программами курсов «Квантовая

механи­

ка» и «Статистическая

физика»,

а

т а к ж е

курса

лекций

А. И. Губалова

«Квантовая

механика».

 

 

 

 

 

Результаты,

получаемые

при

вычислениях,

легко

понять,

по крайней мере, качественно, что позволяет

студентам

луч­

ше разобраться в физической стороне

рассматриваемых

явле­

ний. Таким образом, цель сборника —.подбор конкретных фи­ зических задач на основе учебников и пособий [1—20] для не­ посредственного применения и более глубокого усвоения сту­ дентами электрофизического факультета методов и принци­ пов указанных разделов теоретической физики. Автор считает

своим

приятным долгом

выразить искреннюю

благодарность

докт.

физ.-мат. наук,

проф. А. И. Губанову и

сотруднику

ка­

федры

диэлектриков

и

полупроводников Л Э Т И

докт. техн.

наук,

проф. Ю. М.

Волокобиінскоміу за критические замеча­

ния и ценные советы.

 

А.

Д. Чесно

ков

 

 

 

 

Ч А С Т Ь I

 

З А Д А ЧИ

ПО КВАНТОВОЙ

МЕХАНИК Е

 

 

 

 

( Н Е Р Е Л Я Т И В И С Т С К О Й )

 

 

 

 

 

§

1. Тепловое излучение

 

 

 

 

 

 

Основные формулы

 

 

 

1.

З а к о н

распределения энергии

излучения

по

частотам

в ы р а ж а е т с я

формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

rf£,(7-)

= - j r - - — к

 

^

 

 

 

 

 

 

 

е"

-

\ •

 

 

где Т—абсолютная

температура;

h — постоянная

П л а н к а ;

к — постоянная

Б о л ь ц м а н а .

 

 

 

 

2.

Формула

П л а н к а ,

в ы р а ж а ю щ а я

функцию

распределе ­

ния спектральной объемной плотности энергии чермого излу­ чения, им/еет вид

 

 

—

8 л : / г у 3

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ekT

- 1

 

 

 

 

3.

З а к о н С т е ф а н а — Б о л ь ц м а н а :

£(7")

= аТ4,

где

а — по­

стоянная С т е ф а н а — Б о л ь ц м а н а ;

Е(Т) — п о л н а я

энергия

излу­

чения

в полости со стенками, нагретыми

до данной темпера­

туры

Т.

 

 

 

 

— д л и н а волны,

 

4.

З а к о н Вина: XMaK0

Т = Ь, где А,м а к с

отве­

ч а ю щ а я максимуму функции распределения р А

в спектре

чер­

ного

излучения;

b — постоянная

Вина.

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи

 

 

 

 

 

 

1.1.1. Исходя

из формулы П л а н к а ,

найти среднюю

часто­

ту и

соответствующую

дли,ну

волны

в

спектре р„

черного

излучения при температуре Т =

6000К.

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Указание. При расчете воспользоваться численными зна­ чениями интеграла:

1.1.2. Показать, что закон Вина является следствием фор­ мулы П л а н к а для функции распределения р х .

1.1.3. Очевидно, интегральная плотность излучения не должна зависеть от того, какой функцией описывается ха­

рактер

распределения

энергии

в

спектре: pv

или р Л . Это на­

лагает

следующее

 

условие

на

функции

распределения:

o4dx

= pxdk.

Убедиться, что следствием

этого условия

явля­

ется

тот факт,

что положение

 

максимумов

обеих

функций

соответствует различным длинам волн.

Д о к а з а т е л ь с т в о

про­

вести

дл я

функции

распределения,

в ы р а ж а е м о й

формулой

П л а н к а .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.1.4. Вывести

из

формулы П л а н к а

интегральный

закон

С т е ф а н а — Б о л ь ц м а н а

дл я удельной мощности излучения. Вы­

разить постоянную о в формуле закона

С т е ф а н а — Б о л ь ц м а н а

через

универсальные

постоянные

h,

с, k

и найти ее

численное

значение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.1.5. Найти

температуру,

которая

 

соответствует

инте­

гральной

объемной

 

плотности

энергии

£ ,

равной

7,6 X

X

10~3

эрг/см 3

(см. задачу

1.1.4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 2.

Квантовая

природа

света

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Основные формулы

 

 

 

 

 

 

1.

Соотношение

 

между

энергией

Е

и

частотой

v фотона:

Е

= hv,

где h — постоянная

П л а н к а .

 

 

 

 

 

 

2.

Соотношение

между импульсом р и длиной волны

/. фо­

тона:

р = Л/л.

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Формула

Эйнштейна

для

 

внешнего

фотоэффекта:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

+

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где v — скорость фотоэлектрона; т0 — его міасса; А — работа выхода.

4. Комптоновское рассеяние

света:

 

 

 

 

2ft

. 2

 

8

,

 

 

 

М. = — — sin

2

 

 

где А/. — изменение

длины

волны

 

фотонов,

рассеянных под

углом 6

к первоначальному

направлению;

т0 — масса покоя

электрона.

 

Задачи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2.1.

П о к а з а т ь ,

исходя

из

законов

сохранения, что сво­

бодный

электрон (опыт К о м п т о н а ) : а)

не может полностью

поглощать энергию кванта, б) не может излучать энергию.

1.2.2. Определить величину

комптоновского

смещения и

угол, под которьімі

рассеивается фотон,

если известно,

что

первоначальная

длина

волны

фотона ло = 0,ОЗА,

а

скорость

электрона

отдачи

составляет

р — часть

скорости

света

 

(р =

= 0,6).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2.3. Д л и н а

волны

первоначального

кванта

равна

0,5 А.

К а к у ю

энергию приобретает электрон отдачи при рассеянии

кванта

под углом 60, 90 и 180°?

 

 

 

 

 

1.2.4. Вычислить величину импульса электрона отдачи при

рассеянии фотона под прямым углом к направлению

перво­

начального

движения . Д л и н а

волны падающего

фотона

рав­

на 0,05 А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2.5. Пользуясь законом сохранения количества

д в и ж е ­

ния и формулой Комптона, найти зависимость м е ж д у

углом

рассеяния фотона б и углом

а, под которым отлетает

элек­

трон отдачи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2.6.Р а б о т а выхода электрона из серебра равна 4,28 эВ . Определить, до какого потенциала зарядится серебряный ша ­ рик, удаленный от других тел, если его облучить монохроматическимі светом с длиной волны X = 10~~5 см.

1.2.7.Определить частоту красной границы фотоэффекта

серебра, если

работа

выхода электрона из этого металла

равна

"4,28 эВ .

 

 

 

 

§ 3. Волновые свойства микрочастиц

 

 

 

 

Основные формулы

1. Формула

волны де Б р о й л я :

/ —

—

 

О (г,

t) = Ce*

р а д и у с - в е к т о р

произвольной точки пространства;

где г

 

время.

Частота

этой волны <» и ее

волновой

вектор k

связаны

с энергией

и импульсом

частицы

формулами:

 

 

 

 

Е =

//ш,

р = Ш .

 

 

 

2. Формула

длины волны

 

де

Бройля:

 

 

 

 

 

/

2тпЕ

 

 

У

U

 

 

 

 

 

h = - А - =

1,05-10~2 7

э р г - с е к ,

 

где

L/ — у с к о р я ю щ а я частицу

разность

потенциалов,

измерен­

ная

в вольтах;

Е — энергия

частицы;

т 0 — ее масса.

 

3. Формула

В у л ь ф а — Б р е г г о в :

 

 

 

 

 

 

 

2dsin8 = я Х

 

(п = 1,

2,

3

. . .),

 

где

d — расстояние между

о т р а ж а ю щ и м и

плоскостями; 6 —

угол

скольжения лучей.

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи

1.3.1.Вычислить длину волны электрона, движущегося со скоростью v = 7,4 • 108 см/сек.

1.3.2.Какова длина волны де Бройля у протона и элек­ трона, если их энергия .равна средней кинетической энергии теплового движения молекул при комнатной температуре?

1.3.3.Постоянная кристаллической решетки равна d = 3A . Пучок электронов падает на естественную грань монокри­

сталлов. Угол скольжения электронного пучка равен 6 = 30°. Наблюдение отраженных электронов производится под углом, равным углу падения. Пренебрегая преломлением электронных'волн в кристалле, определить энергии электро­ нов, при которых наблюдаются два первых максимума отра­ жения.

1.3.4. В опытах по дифракции электронов на поликристал­ лической фольге найдено, что диаметр дифракционного коль­ ца, соответствующего отражению первого порядка от плос­

костей

с межплоскостным

расстоянием!

d,

равен г — 3 см.

Расстояние от фольги до

экрана равно

/ =

15 см. Найти ве­

личину

d. Энергия электронов равна 200 эВ .

 

Смотрите также файлы