Файл: Чесноков А.Д. Сборник задач по квантовой механике и статистической физике учебное пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.07.2024

Просмотров: 160

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

1.6.3. Частица находится в состоянии, описываемом вол­ новой функцией

ip„ х

ах'

(х) = const Є %

П .

Найти произведение средних квадратичных флуктуации координаты и импульса.

Указание. Рассмотреть одномерное приближение .

1.6.4. Оценить энергию основного состояния осциллятора, используя соотношение неопределенности.

1.6.5.

Н а й т и соотношение

неопределенности

дл я операто­

ров q и F(p),

если

q и р удовлетворяют перестановочному со­

отношению qp — pq = ІЬ.

 

 

 

 

 

 

1.6.6. П о к а з а т ь ,

что среднее значение импульса

в стацио­

нарном* состоянии дискретного спектра р = 0.

 

 

 

1.6.7.

Н а й т и изменение

волновой

функции,

заданной в мо­

мент

времени

/ = 0

(расплывание волнового

п а к е т а ) :

а)

дл я свободного д в и ж е н и я частицы

 

 

 

б)

дл я движения частицы

в потенциальном

поле

 

 

? ( * . 0 ) - С е . р { - і у - -

 

 

 

(2)

Указание.

П о условиям

задачи

необходимо

определить

волновую функцию

ty(x,

t),

удовлетворяющую

уравнению

Шредингера

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т - Л - ^ т ,

 

 

(3)

которая

при ^ = 0

принимает

з а д а н н ы е значения

(1) и (2) .

Если

Я

не зависит

явно от времени,

уравнение

(3)

имеет ре­

шения:

 

'КО*. О =

 

ІЕ"ііП<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где т$>„ (х) — не зависящие от времени собственные'функции оператора Н,

Щп(х) = Е^п(х).

Н а й д ем коэффициенты

 

разложения

ф(л;, 0)

по

системе

функций

$„(х):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция

2 а А

( • ї ) * " ' ^ ' "

удовлетворяет

 

уравнению

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3),

а при t

= 0 совпадает

с л|>(л:, 0) . Таким образом,

 

 

 

 

 

- И х ,

t)

=

| й „ ' ^

 

Ме-*»"*

 

 

 

 

или

 

 

 

 

=

$

Gt(i,x)

і, (І,0) <Я,

 

 

 

(4)

причем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак,

дл я

решения

поставленной

задачи

достаточно вы­

числить функцию Gt (| , х) (функция

Грина) и воспользовать­

ся уравнением

(4) . Пр и решении

п. б см. задачу

1.5.2.

 

1.6.8. Пусть коммутатор операторов L и М двух

физиче­

ских

величин

L и М есть //( (/С — эрмитовский

 

оператор)':

[ L ,

М ] =

t X

П о к а з а т ь

справедливость

соотношения

неопре­

деленностей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

К

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

A L и

ЛУМ — средние

квадратичные

флуктуации

величин

L я

М,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М

= У

(Z -

Z.)2

, ДУИ =

У

(УИ -

/ И ) 2

;

 

\К\

— абсолютная величина

среднего

значения

К.

 

 

1.6.9. П о к а з а т ь ,

что дл я

частицы

в

состоянии,

в ы р а ж а е ­

мом

волновой

функцией

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* (*) «

const е х р { - * М - . - - £ - } ,

 

 

(1)

а) произведение средних квадратичных флуктуации коор­ динаты и импульса равно

б) это значение произведения флуктуации является наи­ меньшим в о з м о ж н ы м , т. е. д л я вида волновой функции (1) вспомогательный интеграл

 

 

-г ^

d<\>

dx

 

 

 

 

/ ( а ) =

J

а*<|> + dx

 

 

 

 

о б р а щ а е т с я

в ноль.

 

 

 

 

Указание.

Вероятность

различных

значений координаты

равда

 

 

 

 

 

 

W{x) =

|'И*)Р = const.

 

e—*i*,

т. е. различные значения координаты распределены вокруг начала координат по закону Гаусса со средней квадратичной флуктуацией

У (Ах)2

- Уъ\Ча,

где Ах1 =

Xі

~

х\

 

, Распределение

вероятностей

значений

импульса

 

 

| а

const в

^

~

 

'

(2)

имеет, следовательно,

тоже гауссовский вид со средней квад­

ратичной флуктуацией

У(&рх)г

=

1^~Y~

•

^

формуле

(2)

а-(рх)—коэффициент

 

р а з л о ж е н и я

функции

$(х)

в интегра­

ле Фурье

 

 

 

 

 

 

 

 

+00

00

При решении задачи пользоваться значениями ИНТеГралов:

+00

J £

d.* = - ^ — e

( v > 0 ) ;

—oo

 

 

) Л

^ = 27 К Т ( , + - f ) e

( v > ° ) -

—00

§ 7. Прохождение микрочастиц через потенциальные барьеры

 

1.7.1.

Найти

волновую

функцию

частицы,

движущейся

в одномерном

потенциале,

 

графическое

изображение которо­

го

приведено

на рис. 1, дл я случая,

когда энергия

частицы

Е

меньше

высоты

потенциальной

стен­

 

 

 

 

ки

и0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Шх)

 

 

 

 

1.7.2.

Вычислить,

какова

относи­

 

 

 

 

тельная

вероятность

(по условиям 'за­

 

 

 

 

дачи 1.7.1) нахождения электрона на

 

 

 

 

расстояниях

х = \ к,

х = 5 А

и

л: =

 

 

 

 

=

10 А от границы

х = 0

при U-0—E

=

х-о

 

 

X

=

1

эВ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.7.3.

П о к а з а т ь

в

общем

виде,

что

Рис. 1.

Потенциальная

для барьера произвольной формы ступенька

в

одном изме­

автоматически

выполняется

соотноше­

 

рении

 

ние

R + D=\,

 

где

R — коэффициент

 

 

 

 

отражения; D — коэффициент прохождения .

 

 

 

 

1.7.4. Найти коэффициент отражения в потенциальном по­

ле,

 

конфигурация

которого

приведена

на рис. 1, при U0>

Е,

 

1.7.5.

Вычислить

коэффициенты

прохождения

и о т р а ж е ­

ния частицы, падающей на одномерную потенциальную яму, изображенную на рис. 2.

U(x) =

О при Л: <

0, х > а

U0

при

0 < Л: < а.

 

 

Рис.

3. Потенциаль-

Рис. 2. Прямоугольная по-

ный

барьер

треуголь-

тенциальная яма в одном

ной

формы

в одном

измерении

 

измерении

1.7.6. Найти коэффициент прохождения частицы через тре­ угольный барьер, изображенный на рис . 'З . Рассмотреть пре­ дельные случаи больших и малых проницаемостей

Указание.

О б щ и м решением уравнения

Шредингера

в об­

л а с т и — а ^ х ^ а

является

линейная комбинация двух функ­

ций Эйри, формулы которых приведены в

работе [20].

 

 

1.7.7. Определить вероятность различных значений

проек­

ции импульса рх частицы,

находящейся в одномерной потен­

циальной ям е с бесконечно

высокими

стенками.

 

 

 

 

1.7.8.

Найти

в ы р а ж е н и е

д л я

определения

дозволенных

значений

энергии

 

частицы,

д в и ж у щ е й с я

в

потенциальном

поле

профиля

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

при X < О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О при 0 < х <

/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|

U0

при х>

I,

 

 

 

 

 

 

 

где / — ширина ямы .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Убедиться

с

помощью

графического

 

метода

в

дискрет­

ности

энергии.

 

П о к а з а т ь ,

что при

[ 7 - > о о в ы р а ж е н и е

дл я

спектра

энергии

совпадает

с решением

задачи

дл я ям ы с бес­

конечно

высокими

 

стенками.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.7.9. Получить с помощью уравнения Шредингера

выра­

жение

д л я определения дозволенных

значений

энергии

части­

цы,

находящейся

 

в потенциальной

яме,

изображенной

на

рис.

4. Убедиться

(графический

метод),

что полученное

вы­

р а ж е н и е определяет дискретный спектр

энергии.

П о к а з а т ь ,

что при U0^>E

 

энергетические

уровни

имеют такой

ж е

харак ­

тер,

ка к и в случае

потенциальной ям ы с бесконечно

высоки­

ми

стенками.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

щ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

а

 

 

га+1,

 

Рис.

4.

Прямоугольная

потен­

 

 

Рис.

5.

Потенциальное

поле

циальная яма в одном

измере-

 

 

сложной

конфигурации

в од­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ном измерении

 

 

 

1.7.10. Определить приближенно уровни энергии и волно­

вые функции частицы в симметричном потенциальном

поле,

приведенном

на рис. 5, если Я ' С и о

и проницаемость

барьера

мала,

т. е.

° у °

» 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

Смотрите также файлы