Файл: Чесноков А.Д. Сборник задач по квантовой механике и статистической физике учебное пособие.pdf

чим

через N0

число

частиц в

нижнем

одночастичном

состоя -

->•

N' — число

ний

(импульс

,0 =

0), а через

частиц

в

более вы-

-+

соких состояниях

(р Ф 0) . П о к а з а т ь ,

что

при

температурах,

л е ж а щ и х

ниже некоторого критического

значения

Тс, вели­

чина

N0

сравнима

с N

я что химический

потенциал

\\ в этой

области

равен

нулю.

2.5.17. Энергетический спектр

фотонов

имеет

вид E(q) =

- >

->

— hcq, где q =

\q\

(q — волновой

вектор фотона) .

Вычислить

свободную энергию

Гельмгольца,

энтропию

и

внутреннюю

энергию

фотонного

газа.

2.5.18. Определить

удельную

теплоемкость

c v

невырож­

денного

свободного

электронного

газа. Рассмотреть,

ка к ве­

дет

себя

эта величина

при переходе

к классическому

пределу

высоких

температур .

2.5.19. П о к а з а т ь , что внутренняя

энергий идеального бозе-

газа

при слабом вырождении

имеет вид

2

\

Л»

/

£ f

/ "

колебательных мюд, т. е. нормальных

колебаний

g(ro)da),

угловые

частоты

которых

л е ж а т в интервале от ю до oj + ufw,

равно

V

І 1

2

\

,

9N ,

.

—

4-

— з — т -

ПОИ (и < ш

2*

\с?

'

с?

J

-»

Н

0

0

при <» > (в0 ,

где

с і и с(—

скорости

продольных

и поперечных волн. Часто­

та

Д е б а я

0) о

определяется

из

условия

З*

f g

=

3N,

35

о

р а в н ая ее классическому значению

(закон Дюлонга и П т и ) .

П о к а з а т ь , что величина заштрихованной площади

на д кривой

теплоемкости соответствует энергии нулевых колебаний.

2.6.6. Определить теплоемкость

одномерного

и двумерно­

делении.

___

превышает утроенного значения дисперсии.

2.7.6. П о к а з а т ь ,

что флуктуация

энергии

в

каноническом

распределении

определяется

формулой

(Е—

E)2 —

kT2cv,

где Т — абсолютная

температура;

cv—теплоемкость

при

постоянном

объеме.

Тем

ж е

способом

доказать

следующее

соотношение:

П о к а з а т ь ,

в частности,

что дл я идеального

газа,

состояще­

го из N одноатомных

молекул

(без учета

их

внутренней

структуры),

эти соотношения

можно свести

к

следующими

(Е — ЕУ

2

(Е -

Е)Ь _

8

3N

2.7.7. Пусть дана подсистема с некоторой массой и опре­

деленным числом

молекул,

п р и н а д л е ж а щ а я

большой

одно­

родной системе,

где а — флуктуации термодинамических

пе­

ременных, описывающих состояния подсистемы.

1. П о к а з а т ь ,

что .вероятность

отклонения

величины

а

от

ее равновесного значения а* может

быть

в ы р а ж е н а

Р(а')

= С е х р

2*7"*

где Т* — температура

в равновесном

состоянии.

Пр и этом

предполагается, что

отклонение не

слишкомі

велико

и что

распределение вероятностей можно считать гауссовым.

Указание.

Воспользоваться соотношением,

определяющим

минимальную

работу

WMli„

= AU—

T*AS

+ p*AV,

и

приме­

нить

его к процессу, в котором изменения AU,

AS,

AV

зада ­

ны, а

7"* и р*

представляют

собой равновесные

температуры

и давление . З а т е м

р а з л о ж и т ь

AU до членов второго

порядка

по AS

и AV.

2.

П о л а г а я

параметр а р а в н ы м Т

и V,

найти

AV2,

AV, AT

AT2.

3.

Найти

Ар2.

2.7.8. П о к а з а т ь ,

что если в выражении

вероятности

откло­

нения

параметров

а от их наиболее вероятных

значений

/ 5 ( а ' ) = С'ехр { 4 - [5(Я , N,

V, а* +

а') — S {Е, N,

V, а*)

новесного состояния а* в состояние а* + а '

при учете

взаимо ­

действия с остальной частью системи;

Г* — значение

темпе­

ратуры подсистемы в состоянии равновесия

(см. указание к

задаче 2.7.7).

2.7.9. Распределение вероятностей энергии Е и объема V

подсистемы, рассмотренной в предыдущей

задаче,

можно

отождествить с Т—р-распределением,

если

остальную

часть

полной системы считать термостатом

с постоянной

темпера­

распределение

вероятностей, рассмотренное в предыдущей

задаче, и найти

АЕ2, AV2, AEAV.