Файл: Чесноков А.Д. Сборник задач по квантовой механике и статистической физике учебное пособие.pdf

круговой

процесс (т. е. после

процесса

возвращается

в исход­

ное состояние), состоящий из двух изохорных и двух

изобар­

ных процессов: газ переходит

из состояния с давлением Pi

и

объемом

У] в состояние с Pi ,

V2, д а л е е в

состояние

с Р 2 ,

V2,

затемі с Р 2 , V i и, наконец, опять

с Р\,

V\.

2.4.12.

То ж е для кругового

процесса,

состоящеґо

из двух

ные состояния

газа

имеют

объем и температуру: 1)

Vu

Т\\

2) V,, 7 2 ;

3) V2,

Т2;

4)

У 2 , Т , ; 5) Vu

7,.

2.4.13.

То ж е дл я

цикла

из двух

изотермических

и

двух

имеют энтропию, температуру

и давление: 1) S b Ти Ри-

2) Su

Тг, 3) S2,

Т2, Р 2 ;

4) 5 2 , Ту, 5)

S,, Ти

Р , .

2.4.14.

То ж е

дл я цикла из двух

изобарных и двух

изотер­

Т\\ 2)

Р , , Т2; 3)

Р 2 , Т2;

4) Р 2 , Г,; 5) Р , , 7",.

2.4.15.

То ж е д л я цикла из двух

изобарных

и двух

адиа­

батических

процессов.

Последовательные

состояния

газа:

1)

Р , , S „

7",; 2)

Р ь

5 2 ;

3)

Р 2 , 5 2 ,

Г 2 ; 4)

Р 2 , S,; 5) Р, , S,,

7",.

2.4.16. То ж е д л я цикла из двух

изохорных

и двух

адиа­

батических

процессов.

Последовательные

состояния

газа:

1)

Vu

Su

Ти

2)

Vu S2;

3) V2, S2,

T2-

4) V2, S,;

5) V b S b

T\-

2.4.17.

Определить

максимальную

работу,

получаемую

при соединении сосудов с двумя одинаковыми

идеальными

газами, имеющими

одинаковые

температуру

Т0

и число

ча­

стиц 'N, но р а з н ы е

объемы

Vi и V2.

2.4.18.

То ж е , что в

предыдущей

задаче,

если

до

соедине­

ния сосудов газы имели одинаковое

давление

Ро и

разные

температуры

7"i и

Т2.

2.4.19.

Определить

минимальную

работу,

производимую

над

идеальным газом

дл я того, чтобы

с ж а т ь

его от давления

Рі

до давления

Р 2

при постоянной температуре,

равной

тем­

пературе

среды

Т = 7"о.

2.4.20. Определить

максимальную

работу,

получаемую

при охлаждении идеального газа от температуры

Т до темпе­

ратуры

среды Т0

.при постоянном

объеме?

2.4.21. То ж е

д л я

газа,

охлажденного от

температуры

Т

до

температуры

среды

Т0

и в

то

ж е

время

р а с ш и р я ю щ е г о с я

так, что его давление

меняется

от Р

до давления

среды

Р 0 .

30

П о к а з а т ь , что

энергия

Ферми для

электронов

имеет вид

Еп

3

, _

т„

Энергия отсчитывается от дна валентной зоны и предпо­

лагается, что выполняется условие EG^>

kT. Вычислить

зна­

чение п

(или р)

для

случая,

когда Еа

=

0,7 эВ,

Т =

ЗООК,

mn~

тр

= т.

2.5.4. Имеется полупроводник n-типа,

в котором

примес­

ные

уровни л е ж а т на

расстоянии E D

от дна зоны

проводи­

мости. Обозначим

через ND,

nD

и п соответственно

число до­

норов, число донорных уровней и число

электронов

проводи­

мости в единице

объема .

Получить соотношение

nD

~

2 ™ с Є

где

Nc = 2l—р—)

; т* — эффективная

масса

электронов

проводимости. Выяснить его физический

смысл.

Предполага ­

ется,

что примесный

уровень

не может

быть

занят

двумя

І Ц

D (є) = const при е > 0,

D ( e ) =

0

при s

< 0 :

а) вычислить энергию Ферми д.

при 0К;

ч _

б) вывести

условие

отсутствия-

о

z

вырождения

системы;

Рис. 8.

Распределение

в ) показать,

что в

случае силь-

Ферми

ного вырождения удельная тепло­

2.5.6.

емкость пропорциональна

Т.

Пр и конечных

температурах

функцию

распределе ­

2.5.8. Оценить

удельную

электронную

теплоемкость

для

Li

и Na, предполагая, что валентные

электроны в обоих

слу­

чаях

можно

рассматривать

как свободные.

Плотности

L i и

Na р а в н ы

соответственно

0,534 и 0,97

г/см3 .

2.5.9. Показать, что уравнение состояния

идеального фер -

ми-газа может быть записано в виде

pV = 3 / 2 с / . Вывести

фор­

мулу

сжимаемости

в

случае

сильного

вырождения .

Оценить

с ж и м а е м о с т ь кристаллического

натрия.

Считать,

что

в

кри­

сталлическом натрии приходится по одному свободному

элек­

трону

на

атом.

Атомный

вес

натрия

равен

23,

плотность

0,97

г/см3 .

2.5.10.

Имеется

образец

металла,

с о д е р ж а щ и й

N

атомов.

Пусть

химический

потенциал

системы

электронов

равен ц,

а

энергетическая

зона,

с о д е р ж а щ а я

2N,

электронных

уров­

ней

є0 , занята 2N — N' электронами.

П о к а з а т ь , что эти

элек­

троны

дают

такой

ж е вклад

в термодинамические

характери ­

стики,

ка к

и электронный

газ

с энергетическими

уровнями

— є,- и химическим

потенциалом — |л .

2.5.11. Д л я системы,

рассмотренной

в

задаче

2.5.4,

вычи­

слить

плотность

электронов

проводимости

и их энергию

Фер­

мій в предельных случаях низких и высоких

температур.

Указание.

Использовать

условие

электронейтральности

n = ND

— nD.

2.5.12.

Имеется

полупроводник, с о д е р ж а щ и й

N

акцепто­

ров на 1 см 3 . Пусть акцепторные уровни

л е ж а т

на

расстоя­

нии

ЕА

от края

валентной

зоны. П р е д п о л а г а я , что плотность

акцепторов

достаточно

мала,

чтобы

систему

дырок

можно

было

рассматривать

как

невырожденную,

и

считая,

что на

к а ж д о м акцепторном

уровне

может

находиться только

один

электрон,

получить температурную

зависимость

плотности

дырок, возникающих

в заполненной зоне.

3

Зак. 364

33

2.5.13.

Имеется

германиевый'полупроводник,

с о д е р ж а щ и й

No = Ю 1 5

с м ~ 3

доноров

и N А =

Ю 1 4 смг~3 акцепторов. Донор -

ные

уровни л е ж а т

на

расстоянии

ED =

0,04 эВ

ниже

дна зо­

ны проводимости. На рис. 9 приведена кривая

зависимости'

энергии

Ферми

ц от температуры

Т данного

полупроводника.

За начало отсчета принята сере­

дина запрещенной зоны. Объяс ­

нить

характер

зависимости

ц

от

Т.

Д л я

простоты

можно

счи­

тать,

что

эффективная

масса

электрона в зоне

проводимости

пг*

=

0,4

пг.

2.5.14. Пр и рассмотрении фер -

мионов со спиномі 1/2, обладаю ­

щих высокой энергией, необходи­

500 500

мо

учитывать релятивистские

эф ­

Рис.

9.

Кривая зависи­

фекты.

В

этом

случае

энергия

частицы

имеет вид

мости

энергии

Ферми

от

температуры

для

данно­

s

=с

I р-

+(1ЩСУ-,

го

полупроводника

гре

р—импульс;

пг0—масса

по­

коя;

с — скорость

света

в вакууме.

П о к а з а т ь ,

что

среднее

значение полного числа частиц N, полной энергии Е и давле­

ния

Р в ы р а ж а е т с я

следующими

формулами:

sh» ft ch 6rf8

/і'

f

sh2 в chs Ш

Л3

8it щ* с 5

где

p =

l/ £ 7 \ (x — химический потенциал, вычисленный

с

уче­

том

энергии покоя

пг0с2; переменная

6

определяется

соотно-

шением

| р | = m 0 csh6 .

Оценить значения приведенных

вели­

чин

при ОК.

2.5.15.

П о к а з а т ь , что химический

потенциал

газа

фотонов

равен нулю.

2.5.16.

Рассмотрим

идеальный

бозе-газ,

представляющий