Файл: Ливенцев В.В. Кибернетика горных предприятий (основные положения) учеб. пособие.pdf

Т а б л и ц а I I

Если к сказуемому какого-либо высказывания присоеди­ нить частицу «не» или ко всему высказыванию слово «невер­ но», то образуется новое высказывание, которое называется отрицанием данного и обозначается той же буквой, что и дан­ ное, но с чертой над буквой. Приведем примеры: А — конвейер работает; А — конвейер не работает; В — содержание метана в горной выработке меньше допустимого; В — неверно, что со­ держание метана в горной выработке меньше допустимого.

Если данное высказывание истинно, то отрицание его лож­ но, и наоборот, например: «дважды два равно пяти» — Л = 0, «неверно, что дважды два равно пяти» — А = \.

Все это отражено в таблице истинности операции отрица­ ния (табл. 12).

Т а б л и ц а 12

АА

Каждая из рассмотренных нами логических операиий ал­ гебры высказываний обладает определенными свойствами.

Перечислим эти свойства.

1. От перемены порядка высказываний истинность их логи­ ческого произведения или суммы не меняется (переместительное свойство) :

2. Групповые объединения высказываний при составлении логического произведения или суммы не меняют их истинности (сочетательное свойство) :

85

3. Истинность суммы не меняется, если высказывание пов­ торить несколько раз:

5. Истинность произведения не меняется, если высказыва­ ние повторить несколько раз:

А.А.А...А=А. (111.31)

6. Свойства, вытекающие из таблицы истинности логиче­ ского произведения (см. табл. 10):

истинности. Такие высказывания будем называть эквивалент­ ными.

В справедливости этих формул легко убедиться, составив соответствующие таблицы истинности (табл. 14, 15).

86

Сравнивая 4 и 7-ю колонки, убеждаемся в том, что высказывания А + В и А • В эквивалентны.

вать как своеобразные многочлены алгебры высказываний, и, как в обычной алгебре, с этими многочленами можно прово­ дить все действия.

Умение упрощать формулы сложных высказываний яв­ ляется важным свойством.

Под упрощением понимается такое преобразование дан­ ной формулы, в результате которого формула будет содер­ жать как можно меньше букв и не содержать отрицаний слож­ ных высказываний.

87

Рассмотрим несколько примеров.

Дано сложное высказывание Х—А + АВ.

Упрощать будем следующим образом. Вынесем за скобку А

Б. Структурные элементы автоматов

Алгебру высказываний можно рассматривать и как алгеб­ ру сигналов, ведь о каждом высказывании нужно знать толь-

88

Равенство функции 1 означает, что сигнал поступил в неко­ торую систему, равенство функции 0 означает отсутствие сиг­ нала. В булевой алгебре складываются, умножаются и отри­ цаются сигналы об истинности высказываний.

Устройства, которые производят операции умножения, сло­ жения и отрицания сигналов, называются логическими элемен­ тами. Они составляют структуру автоматов, т. е. устройств для преобразования информации.

Самый простой из логических элементов — элемент для со­ вершения операции отрицания. Этот элемент называется эле­ ментом «не», или инвертором. Данный элемент в дальнейшем на схемах условимся обозначать так, как показано на рис. 22.

б)

Рис. 22. Схема инвертора:

а ) — б е з расшифровки операции; б)—с расшифровкой операци

Здесь А— это вход элемента, х— выход элемента. Если на входе элемента имеется сигнал, т. е. Л = 1, то это означает, что элементу предлагается совершить отрицание истинного выска­

89