Файл: Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.08.2024
Просмотров: 60
Скачиваний: 0
В. Н. МАЛОЗЕМОВ
СОВМЕСТНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРОИЗВОДНЫХ
ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
1973
ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени А. А. ЖДАНОВА
В. Н. МАЛОЗЕМОВ
СОВМЕСТНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРОИЗВОДНЫХ
ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
1973
Совместное |
приближение |
функции и ее |
производных. |
М а л о з е м о в |
В. Н. 1973. Л., |
Изд-во Леинигр. |
ун-та, 1— 112. |
В монографии рассматривается задача совместного при ближения функции и ее производных алгебраическими и три гонометрическими полиномами. Показывается возможность совместного приближения с любой наперед заданной точ ностью, строятся полиномы, доставляющие достаточно хоро шее совместное приближение, изучается вопрос о наилучшем совместном приближении периодической функции и ее произ водных тригонометрическими полиномами.
Книга рассчитана на студентов математических факуль тетов университетов и педагогических вузов. Она будет по лезна всем, интересующимся конструктивной теорией функций. Ил. — 3, библногр. — 50 назв.
Малоземов Василий Николаевич
Совместное приближение функции и ее производных
|
|
|
Редактор А. А. Гранаткина |
|
|
|
|
|
|
|||
Техн. редактор Е. Г. Учаева |
Корректоры Е. К. Терентьева, |
Т. В. Пухлова |
||||||||||
іМ-05689 |
Сдано |
в набор |
15/П 1973 г. |
|
Подписано к |
печати |
3/ІХ |
1973 |
г. |
|||
Формат |
бум. 60X90*/ і е. Бумага |
тип. № 3. |
Уч.-изд. |
л. 6,02. |
Печ. |
л. |
7. |
Бум. |
л. |
3,5 |
||
|
|
' Тираж 1000 экз. |
Цена |
66 коп. |
|
Заказ 374 |
|
|
|
|
||
|
|
|
Издательство ЛГУ имени А. А. Жданова |
|
|
|
|
|
||||
|
Ленинградская типография |
№ 12 нм. М. И. Лохаикова |
«Союзполиграфпрома» |
|
||||||||
■ при |
Государственном |
комитете Совета Министров |
СССР |
по делам |
издательств, |
|
||||||
|
|
|
полиграфии и книжной торговли, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
г. Ленинград, 196126, ул. Правды, 15 |
|
|
|
|
|
||||
м |
0223-047 |
© Издательство Ленинградского университета 1973 г. |
||||||||||
|
076(02)-73 108‘73 |
|||||||||||
О бозначения........................................................ |
|
|
■,.................................................... |
4 |
|||
В в е д ен и е...................................................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
5 |
Г л а в а |
I. Возможность совместного приближения |
|
|||||
§ 1. Обобщение первой теоремы Вейерштрасса.............................................. |
|
8 |
|||||
§ 2. Обобщение второй теоремы Вейерштрасса.............................................. |
|
11 |
|||||
§ 3. Дробное дифференцирование периодических ф ун к ц и й .................... |
13 |
||||||
|
Г л а в а |
II. Оценки совместного приближения |
|
|
|||
§ 1. Вспомогательные |
предлож ения.................................... |
■ .......................... |
|
25 |
|||
§ 2. Периодический |
с л у ч а й .................................................................................. |
|
|
|
34 |
||
§ 3. Оценки для производныхалгебраического полинома......................... |
|
37 |
|||||
§ 4. Обобщение теоремы А. Ф. Тимана............................................................. |
|
. |
44 |
||||
§ 5. Теорема И. Е. Топенгауза.................................................................. |
|
53 |
|||||
Г л а в а |
III. Наилучшее совместное приближение |
|
|||||
|
периодической функции и ее производных |
|
|
||||
§ I. Суммы |
В алле-П уссена....................................................................... |
наилучшего |
совместного |
... . |
58 |
||
§ 2. Существование |
полинома |
приближения |
63 |
||||
§ 3. Оценка |
величины |
gnr(f). |
Некоторые |
сл едств и я ......................... |
-. |
67 |
|
§ 4. Асимптотическая |
формула |
для g п т ........................................................ |
|
|
71 |
||
|
|
|
Дополнения |
|
|
|
|
A. Полиномы Бернулли............................................................................................ |
- , .............................................. |
|
77 |
||||
Б. Полиномы Чебышева . . . |
|
88. |
|||||
B. Кратное |
интерполирование |
............................................................................ |
|
|
97 |
||
Г. Модули |
непрерывности...................................................................................... |
|
|
|
99 |
||
Д. Некоторые неравенства...................................................................................... |
|
|
|
104 |
|||
Указатель литературы ............................................................................................ |
|
|
|
ПО |
|||
А і — абсолютные константы; [а] — делая часть числа а;
Са-— число сочетаний из п по k\
0 (а п) — величина, не превосходящая по модулю Аап; |
|
|
||||||||
о(ап) — величина, для которой |
EJEÜL —>.О; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
аП л-к» |
|
|
||
[О : г] — совокупность целых |
чисел |
от 0 до г включительно; |
||||||||
Нп — множество алгебраических полиномов Рп (х) |
степени |
|||||||||
|
не выше п: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рп М |
= 2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
к =0 |
|
|
|
|
|
Нп — множество тригонометрических полиномов Тп (х) |
по |
|||||||||
|
рядка не выше п\ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
Та (х )= А -\- |
"У (ak coskx + b/{siakx); |
|
|
||||||
|
Ï |
к |
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Dn [x) |
= — -j- |
7 coskx |
— ядро Дирихле; |
|
|
|||||
S n (f\ х) |
к=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— п-я частная сумма |
ряда |
Фурье 2л-периодической |
||||||||
tn(x) |
функции f (X) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= cos (п arccosх) •— полиномы Чебышева; |
|
|
||||||||
со ([; ô) — модуль непрерывности функции f(x); |
|
|
||||||||
С — пространство непрерывных |
|
2л-периодических функ |
||||||||
|
ций f (л:) с нормой |
()/|| = |
|
max |/ ( JC) | ; |
|
|
||||
En{f) — inî |
|
|
|
|
—со<Д‘<CO |
|
|
|||
У /— Tn\\ — наилучшее |
приближение функции; |
|||||||||
|
f е Ç |
тригонометрическими |
полиномами |
порядка |
||||||
|
не выше п; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СМ — класс |
2я-периодических |
|
функций, имеющих |
на |
||||||
|
(—оо, |
оо) непрерывную r-ю производную; |
|
|
||||||
Е — тождественный оператор.
ПАМЯТИ ИСИДОРА ПАВЛОВИЧА НАТАНСОНА
ПОСВЯЩАЕТ АВТОР ЭТУ КНИГУ
ВВЕДЕНИЕ
Основополагающее значение для конструктивной теории функций имеют следующие классические результаты.
Первая теорема Вейерштрасса. Для того чтобы функция f(x) была непрерывна на конечном отрезке [а, Ь], необходимо и достаточно, чтобы нашлась последовательность алгебраиче ских полиномов {Рп(х)}, іг—1,2, . . такая, что РП(х) ■—>/(л")
равномерно по х е [а, 6].
Вторая теорема Вейерштрасса. Для того чтобы 2л:-периоди ческая функция f(x) была непрерывна на всей вещественной оси (—со, оо), необходимо и достаточно, чтобы нашлась после
довательность |
тригонометрических полиномов |
{Тп {х)}, |
п= 1, |
|||
2 , . . такая, |
|
с |
с |
ç означает, что |
||
что ТП-1>/ при я-*-оо (условие <?„ —> |
||||||
I I |
? ? л |
0 I I |
) . |
Если 2л-периодическая |
функция |
f(x) |
|
Теорема |
Джексона. |
||||
г раз непрерывно дифференцируема на (—сю, оо),до при любом натуральном п можно построить тригонометрический полином Тп (х) порядка не выше п, для которого
/Т
Теорема А. Ф. Тимана. Если функция f(x) имеет на конеч ном отрезке [a, b] непрерывную r-ю производную, то при лю бом натуральном п ^ г можно построить алгебраический поли ном Рп(х) степени не выше п такой, что для всех х е [й, b]
\ / { х ) - Р п { х ) \ < А Г У{Ь — х) (л. — а) . b— а \г
Данная книга посвящена обобщению этих результатов на случай совместного приближения функции и ее производных.
В § 1 и 2 главы I доказывается следующее утверждение, являющееся обобщением теорем Вейерштрасса: для того чтобы функция f(x), заданная на отрезке [a, b] (соответственно 2япериодическая функция f(x), заданная на (—оо, с»)), имела там непрерывную г-ю производную, равную ф(х), необходимо и до статочно, чтобы нашлась последовательность алгебраических полиномов {Рп {х)} (соответственно последовательность триго нометрических полиномов {Тп (х)}) такая, что ііри п-^оо
р п(•*) -*-/(■*), Рп '’ (л) -> ср {х) |
(1) |
равномерно на [а, Ь] (соответственно
ТаЯ / , 7’Г - х р . |
(2) |
Определение производных через совместное замыкание по следовательности полиномов и последовательности производных от полиномов типа (1) и (2) носит весьма общий характер. Ил люстрацией этому является § 3. Здесь формально вводится дробная производная для тригонометрических полиномов, а за тем на основе совместного замыкания дается общее определе ние непрерывной дробной производной для 2я-периодических функций. Изучаются простейшие свойства операции дробного дифференцирования. Устанавливается связь введенного опреде ления дробных производных для периодических функций с из вестными определениями Вейля.
В главе II приводятся обобщения теорем Джексона и А. Ф. Тимана.
Справедливо следующее утверждение, обобщающее теорему
Джексона: если f е CW, то при любом натуральном п можно построить тригонометрический полином Тп порядка не выше п, для которого при всех s e [0: г] будет 1
А/* / г);
І і / ю - т г і к
Для непериодических функций получено такое обобщение теоремы А. Ф. Тимана: если функция f(x) имеет на [a, b] не прерывную г-ю.производную, то при любом натуральном /г^ г
можно построить алгебраический полином Рп(х) степени не выше п такой, что для всех s e [0 : г] и х е [а, Ь]
| / |
м (X)- |
(Л-) I« |
Л , ( У |
'Ц |
- х |
Н * -b«=)fj.+- ' х |
||
|
|
х Ш |
|
|
|
+ |
. |
|
На |
самом |
деле |
справедливо |
более |
сильное |
утверждение, |
||
установленное |
И. |
Е. |
Гопенгаузом: |
при |
любом |
натуральном |
||
6
