ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 14.10.2024
Просмотров: 102
Скачиваний: 1
Математическая формулировка задачи Стефана следующая [3]. Процессы распространения тепла в мерзлой и талой зонах описываются
дифференциальным уравнением Фурье
*м (z- т) |
д2(и (*• т) |
0< а< Е (т); |
||
д Г ~ |
" : |
dz2 |
||
|
||||
dtT (z,t) |
|
d% (z, т) |
|
|
~~дт— |
= |
ят “ <Э-г---- . ё (т) < z < со |
||
с краевыми условиями |
|
|
|
|
гм(°-
гт (z, 0) = гт ( со, т) t0.
(IV .5)
(IV. 6)
(IV. 7)
(IV. 8)
На подвижной границе промерзания должно соблюдаться условие баланса тепла (условие Стефана):
dtr |
т> ; |
dtu & т) _ |
0 |
dl (т) |
"т dz |
м |
dz |
'Ф |
йт |
и условие неразрывности температур:
t м(£> т) = гт (5. т) = г3 = 0°.
(IV.9)
(IV .10)
В выражениях (IV.5)—(IV. 10) приняты следующие обозначения: г— тем пература; а — коэффициент температуропроводности (индекс «м» относится
я мерзлой зоне, а «т»— к талой), <?ф — расход тепла на фазовые превращения воды в 1 м3 породы.
Решением дифференциальных уравнений (IV.5) и (IV.6) являются функ
ции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tN (z,T) = A i + |
B |
i e v i i ^ = . y |
|
(IV. 11) |
|||
|
|
*т (*. г) = М, + В2 erf ( — |
), |
|
(IV.12) |
||||
2 |
г |
|
|
|
|
12 I |
V ) |
|
|
|
|
|
|
ошибок, |
табулированные |
значения |
|||
где erf z= —— |
j"e~s *dS— интеграл |
||||||||
У л |
о |
|
|
|
справочниках. |
|
|
||
которого даются в математических |
|
|
|||||||
Постоянные А и В находим путем согласования краевых условий (IV. 7) |
|||||||||
и (IV.8) с уравнениями |
(IV. 11) |
и |
(IV.12): |
|
|
|
|||
Из условия (IV.10) |
следует, что |
А± = |
tn ; Аг = t0 — Вч. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
г„ + |
В л erf — т = |
= |
to — В., erf с ----- = . |
= *э- |
|
|||
|
п |
1 |
2 /я р е |
|
|
2 |
2 у агх |
|
|
Так как В\ и В%— постоянные при любом значении т, то величина
должпа быть также постоянной, т. е.
6 = Р / т , |
(IV. 13) |
где р — коэффициент, характеризующий скорость промерзания. Таким об разом,
Вi = |
3 |
(о |
1з |
П2 = |
3 |
||
erf |
2 V ал |
erf с 2 ут2 |
|
62
Следовательно, распределение температур в мерзлой п талой зонах опре деляется следующими функциями:
|
|
|
erf |
х |
|
|
|
|
|
2а„т |
|
||
гн(х' т) |
(‘з~'п) |
1 |
м |
(IV. 14) |
||
erf - |
3 |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
2i |
аи |
|
|
tT(X, т) = |
t0 — |
го гз |
erf с |
X |
|
|
3 |
2 ) а.л |
(IV-15) |
||||
|
erf |
с2 ) а„ |
|
|
|
|
Подставляя из (IV.13), (IV.14) и (IV.15) в условие Стефана (IV.9), по лучим трансцендентное уравнение для определения параметра [1:
М гз - гп) |
JV |
К (10 1з) |
З2 |
Qл У Л3. |
-----------в----ехР |
4«,, |
|
eXP |- 4 Z |
|
V аыerf 2V%
(IV. 16)
При гп= ^ з= 0 уравнение (IV. 16) обращается в решение, полученное Лиме и Клайпероном.
Решение Стефана в виде трансцендентного уравнения (IV. 16) слишком сложно для практики, поэтому неоднократно предпри нимались попытки упростить задачу о промерзании и протаивании.
М. М. Крылов [4] усовершенствовал формулу (IV.4), введя в нее поправку на теплоприход из талых пород. Чтобы избежать учета внешнего теплообмена, глубину промерзания он отсчнтыгал не от поверхности (как в формуле Стефана), а от некоторой фикси рованной глубины, равной 5—10 см. Однако такой подход не яв ляется решением вопроса, так как возникает необходимость опре деления температуры на этой фиксированной глубине, что не ме нее сложно, чем расчет самой глубины промерзания. Поэтому в дальнейшем расчеты по формуле Крылова проводились но темпе ратуре поверхности. С учетом этого замечания формула Крылова имеет вид
2^мгпт _<ГГ_ |
(IV.17). |
||
<?ф |
<?ф |
||
|
|||
Первый член правой части представляет формулу Стефана. Второй член характеризует поправку на уменьшение глубины промерзания вследствие теплопритока из талых пород. В нем q выражает осредненный за весь период промерзания т теплоприход снизу.
Недостаток этой формулы заключается в том, что в ней раз дельно рассматривается единый процесс промерзания и охлажде ния пород. По формуле (IV. 17) можно рассчитывать глубины промерзания только за сравнительно короткие интервалы вре мени. В дальнейшем, в 1939 г., М. М. Крылов вывел формулу,
63
пригодную для любого интервала времени. Эта формула разре шена относительно времени промерзания т, а не глубины промер зания
(IV.18)
Процесс протаивания пород при отсутствии массообмена идентичен процессу промерзания. Поэтому приведенные выше формулы Стефана и Крылова, не учитывающие массообмена, полностью применимы и для расчетов глубин протаивания, если заменить индексы «м» на «т».
Кнастоящему времени получено более сотни решений задачи
опромерзании и протаивашш влажных пород. Все существующие формулы расчета глубин промерзания и протаивания целесооб разно разграничить па четыре основные группы:
1)эмпирические решения (А. В. Стоценко, Г. И. Лапкин и др.);
2)точные математические решения задачи Стефана (Сте фан, Л. И. Рубинштейн, В. Г. Меламед, С. Л. Каменомостская); 3) приближенные решения задачи Стефана, основанные на ряде предпосылок математического и физического характера (Стефан, М. М. Крылов, X. Р. Хакимов, В. С. Лукьянов,
Л. С. Лейбензон, В. Т. Балобаев, А. В. Павлов, Бергрен и др.);
4)формулы, полученные из рассмотрения годовых теплооборотов (В. А. Кудрявцев, Г. В. Порхаев).
В формулах первой группы используются коррелятивные связи между глубиной промерзания (протаивания) и некоторыми (нередко каким-либо одним) определяющими факторами (снеж ный покров, сумма градусо-часов температуры воздуха, тепловой поток в породу и пр.). Основной недостаток таких формул заклю чается в том, что они пригодны только для тех условий, в которых получены данные для их построения.
Точные решения задачи о промерзании-протаивании влажной породы характеризуются корректностью постановки и решения и вместе с тем значительной сложностью; их практическое приме нение становится возможным только при использовании быстро действующих электронно-вычислительных машин. Большие ус пехи в их применении достигнуты в Московском государственном университете (В. А. Кудрявцев, В. Г. Меламед, Б. М. Будак и др.).
Все вычисления выполняются с заданной точностью. Но по скольку эти решения не получены в замкнутом виде (т. е. в виде формул), они не позволяют вскрыть общие закономерности фор мирования глубин сезонного промерзания и протаивашш. Не достаток этих методов заключается также и в том, что они не учи тывают поверхностного покрова.
Приближенные решения задачи Стефана представляют наи больший интерес для мерзлотоведов. Они основаны на ряде пред посылок математического и физического характера. Одно из важ нейших допущений, наиболее часто вводимых в расчет, заклю-
64
Т а б л и ц а 7
Относительные погрешности приближенных формул расчета глубины протаивания грунта, %
Автор |
|
|
|
to , “С |
|
|
Расход времени |
|
-1 ,2 |
-2 ,5 |
— 5,0 |
-7 ,4 |
-9 ,9 |
-12,4 |
|||
|
па расчет |
|||||||
Бергрен |
6,8 |
4,1 |
2,3 |
з д |
3,4 |
4Д |
0,22 |
|
Хакимов |
- 1 , 2 |
- 2 ,6 |
0,5 |
2,3 |
3,4 |
7,6 |
0,44 |
|
Докучаев |
1,5 |
0,3 |
3,8 |
5,4 |
7,8 |
11,0 |
0,67 |
|
Павлов |
1,4 |
0,5 |
0,8 |
0,8 |
1,2 |
4,1 |
0,30 |
|
Балобаев |
1,5 |
- 1 ,3 |
- 0 ,6 |
- 2 ,1 |
—3,3 |
- 5 ,0 |
0,36 |
П р и м е ч а н и е . Время, необходимое для вычисления глубины протаивания грунта из решения Стефана, принято за 1.
чается в применении принципа квазнстационарпостп, согласно которому изменение нестационарного температурного поля в про мерзающем (протаивающем) слое рассматривается как непре рывный медленный переход от одного стационарного состояния к другому. Это упрощение находится в соответствии с экспери ментальными данными, согласно которым граница раздела талого н мерзлого грунтов изменяется намного медленнее, чем темпера турное поле. Достоинство приближенных решений заключается
втом, что они получены в замкнутом виде.
Н. И. Вотякова провела оценку точности широко употребля емых приближенных формул по сравнению с классическим реше нием Стефана, которое считается точным при постоянных краевых условиях. Для сравнения были выбраны следующие формулы: Бергрена [5], X. Р. Хакимова [0], В. В. Докучаева [7J, А. В. Пав лова [8] п В. Т. Балобаева [9J. Расчеты выполнялись по схеме протаивания. Средняя годовая температура грунтов была при нята изменяющейся от —1,2 до —12,4°. В качестве верхнего гра
ничного условия задана температура поверхности, постоянная во времени. Таким образом, проводилась сравнительная оценка точности учета теплооттока в мерзлую толщу при протаивании грунта н приближенной аппроксимации температурного поля
взоне протаивания. Результаты частично приведены в табл. 7. Расчеты проводились при следующих исходных данных:
порода супесчаная, объемный вес скелета 1500 кг/м3, весовая влажность пород Б/ =20%, период протаивания т=3696 ч, сред няя летняя температура поверхности fn =12,4°, объемная тепло емкость талой породы ст =580 и мерзлой см =440 ккал/м3-град, коэффициент теплопроводности талой породы =1,34 и мерзлой Ям=1,52 ккал/м-град-ч.
Выбранные формулы дают неодинаковое приближение к ре шению Стефана (точность решения графическим путем трансцен дентного уравнения (IV. 16) оценена равной 0,2%). Наименьшую
5 Заказ Л! 101н |
65 |
погрешность дают формулы Павлова и Балобаева. Погрешность формулы Бергрена является систематической, ноне превышает 7%. Несколько большую погрешность дают формулы Хакимова и До кучаева.
В действительности погрешности в расчете глубин промерза ния и протаивания могут значительно превышать значения, приведенные в табл. 7. Это объясняется в основном следующими
причинами. |
харак |
|
1. Исходные расчетные параметры (теплофизические |
||
теристики, влажность и пр.) назначаются, как правило, |
со зна- |
|
чительной погрешностью, нередко превышающей 10%. |
грунтов |
|
2. Учет теплообмена промерзающих (протаивающих) |
||
с атмосферой проводится значительно менее совершенно, |
чем |
|
с глубжележащим талым (мерзлым) слоем (особенно при |
наличии |
|
поверхностного покрова). Некоторые формулы (например, |
Берг |
|
рена) вообще не позволяют учесть этотеважный фактор. |
|
|
3. Процесс теплопередачи при нром орзашш-протанвашш рас сматривается в расчетных схемах как вабратимый термодинами ческий процесс. Этим самым не учитытепются некоторые физи ческие процессы, связанные с переносом тепла (миграция, инфильт
рация, замерзание и испарение влаги в объеме и пр.) |
и перемеще |
нием дневной поверхности (пучение, осдка), при |
промерзании |
и протаивании п ород. |
|
Формулы, применяемые в повседневной практике для расчета глубины промерзания и протаивания, должны сочетать простоту расчета и назначения исходных данных с надежностью резуль татов.
В качестве примера приведем формулу Бергрена (применима только для расчета протаивания) и формулу А. В. Павлова (при менима также и для расчета промерзания).
Формула Бергрена является основной в зарубежной практике для расчетов глубины протаивания %. По этой формуле величина | определяется зависимостью
(IV.19)
где Хт — коэффициент теплопроводности пород в талом состоянии! tb — температура воздуха.
Эта формула отличается от формулы Стефана (IV.4) попра вочным множителем б, который учитывает замедление скорости протаивания вследствие оттока тепла в мерзлую породу. Он за висит от критерия фазовых переходов
(IV.20)
и критерия температурного отношения
(IV.21)
66