Файл: Аполлов, Б. А. Курс гидрологических прогнозов учебник.pdf

Поскольку как продолжительность t расчетного интервала вре­ мени, так II параметр т принимаем постоянными, то (1—e~l T) = k , где /г = const. Тогда наше расчетное уравнение упростится п примет вид

Qr~~7Qo_H(Qb—Qo) fc- (бо.Ш)

Решение (65.Ill) весьма просто. Принимаем за исходный расход воды Qo-—расход в нижнем створе в начале первого расчетного ин­ тервала. Так как расход воды в верхнем створе Qn задай, то рассчи­ тываем по формуле (65.III) расход воды в нижнем створе Q(. Этот расход воды в свою очередь принимаем в качестве исходного (на­ чального) для следующего интервала времени п т. д. Проведя рас­ четы для одного участка, принимаем для второго участка Qt в ка­ честве входного QBи т. д. Когда характерных участков немного, то такие расчеты не особенно трудоемки. Однако при наличии боль­ шого количества участков расчетные операции становятся довольно громоздкими и поэтому целесообразно найти решение, охватываю­ щее сразу ряд участков.

Рассмотрим движение объема воды lP0 = Qo h t по реке, состоя­ щей из п характерных участков. Пусть на первый, самый верхний характерный участок этот объем поступил за столь короткий интер­

Q.= ^L .Q oe- " \

Так будет выглядеть расходование воды в конце первого уча­ стка. Для второго участка, поскольку Qi будет притоком воды во второй участок, будем иметь

Ql d t = Q 2 d t - \ - d W 2.

Заменяя ІР2 на т dQo, получим

77

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет следующее решение:

I

Q2= - ^ - e ~ l>x J‘ Q xenx dt.

U

A t

Подставляя значение Q і= ---- Q o ^ ,T, получим

X

Q2=4- 6~<іх j Qo—p ellze~‘lz dt.

U

Сократив выражение подынтегральной функции и приняв во випма-

Аналогично для расхода воды с третьего участка

а для п -го участка

Величина, стоящая после множителя Qо, представляет собой трансформационную функцию. Пользуясь ею, можно легко вычис­ лить ординаты кривой добегания стока (их сумма равна единице), на которые надо умножать расходы воды, поступившие на верхний участок, чтобы получить расходы воды в нижнем створе. Для об­ легчения расчетов используются таблицы ординат кривых для раз­ личных значений т и п. Отметим, что для дробных значений числа участков (п ) переходим к выражению кривой добегания через Г-функцию, которая является обобщением функции, известной под названием факториала /г!, на любые, в том числе дробные, значе­ ния п. Для облегчения рассмотренных расчетов расходов воды на практике широкое применение получили методы электронного мо­ делирования (§ 10 этой главы).

§8. УЧЕТ РАСПЛАСТЫВАНИЯ ПАВОДКА ПО СПОСОБУ МАСКИНГАМ

Вслужбе гидрологических прогнозов США применяется так на­ зываемый способ Маскиигам. Впервые он был получен Мак-Картн применительно к расчету распластывания паводков на р. Маскингам.

78

Если известна кривая объемов воды для участка W = f ( Q B, Qu), то, используя дополнительно уравнение водного баланса

<?в. нам Qn. ко ■ДП Qи . н ам + Qn. КОН ДА w KOn- w m4, (6 8 .111)

можно по гидрографу по верхнему створу и кривым объемов рассчитать гидрограф по нижнему створу. Этот расчет может про­ изводиться способом последовательных приближений. Однако та­ кой способ громоздок, и в США применяется более простое реше­ ние. Упрощение заключается в том, что объем воды на участке рас­ сматривается как функция средневзвешенной величины расходов, а именно

Принимающийся постоянным коэффициент k выражает относи­ тельное влияние расходов воды в верхнем и нижнем створах на из­ менение русловых объемов воды. Значение k определяется эмпири-

Рис. 30. Графики зависимостей объема воды на участке реки от средневзвешенных расходов воды в верхнем и кижмем створах при различных значениях k (кривые /,•

II и III).

1 — фаза подъема паводка, 2 — фаза спада.

чески на основе гидрографов по верхнему и нижнему створам. Раз­ ность объемов стока в верхнем и нижнем створах, определяемых от начала подъема паводка до произвольной даты, представляет собой объем воды, накопленный на рассматриваемом участке русла за указанный период времени. Если эти объемы воды сопоставить соV V среднимиМ , W l l i ' l l l расходами воды, то получим график зависимости W =

Qn + Qn , в виде ШИрОКой петли (рис. 30, кривая/); в этом

случае, очевидно, £ = 0,5. Затем подбираем другое значение k, при котором петля становится уже (кривая II), а путем дальнейших проб находим к, при котором зависимость становится однозначной (рис. 30, кривая Последнее значение k принимается за рас­ четное.

Чаще зависимость между русловым объемом воды и рассмотрен­ ной средневзвешенной величиной расхода воды близка к линейной. Когда же она бывает нелинейной, то ее график можно разделить на несколько участков, для каждого из которых зависимость может быть принята линейной. В таком случае исходное уравнение связи (69.III) запишется в виде

79

Теоретически возможные значения параметра /г лежат, очевидно, в пределах 0—1. Когда объем воды на участке зависит от расхода воды соответственно только в нижнем створе и только в верхнем, параметр т по своему значению близок ко времени добеганпя рас­ ходов воды от верхнего до нижнего створа. Это вполне понятно, так как параметр т = Д№7AQcp. юв отличается от т в формуле (23.111) только тем, что он подсчитывается по величинам средневзвешенного расхода воды.

Подставляя из (70.III) 1Кк0н = т [/cQB.ко„+ (1 — k ) Q n. и W Iia4=

= T[£Qn.Ha4+ (1 — Ä)Qh. пач] в уравнение (68.Ill), а затем решая от­ носительно Qu. пая, получим

Сумма коэффициентов co+ ci + c2= 1. Расчетная величина At/2 должна быть выбрана так, чтобы быть меньше т/е, иначе параметр Со станет отрицательным.

Отметим, что если параметр k принять равным 0,5, то совмест­ ное решение уравнений кривой объемов (взятой в произвольной форме) и уравнения баланса воды приведет практически к таким же результатам, как и метод соответственных расходов воды. Это объясняется тем, что исходные предпосылки этого метода будут аналогичны допущениям об однозначности кривой расходов воды и призматичности русла, лежащим в основе рассмотренной выше приближенной теории движения паводочной волны. Чем меньше бу­ дет параметр k по отношению к 0,5, тем больше будет распластан рассчитанный по этому методу паводок. Наибольшее распластыва­ ние паводка будет при величине параметра к = 0. В этом случае ре­ гулирующая емкость русла будет практически оцениваться для многих участков той или иной длины так же, как н равная ей ем­ кость водохранилища.

Введение понятия о характерном участке русла (см. § 8 этой главы) позволяет теоретически обосновать метод Маскингам. Дей­ ствительно, метод основывается на определении русловых запасов по эмпирической формуле W —-x[kQs — (1— £)QH], в которой пара­ метр k находится путем подбора. Этот параметр можно определить из следующих теоретических соображений.

При наличии призматического русла и линейном изменении уровня воды по длине реки объем воды W на участке длиной h на­

80