Файл: Решение квадратного уравнения Используется для нахождения корней многочлена второй степени вида f.docx

Скачать файл (0,08Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 19

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Решение уравнений

Решение квадратного уравнения

Используется для нахождения корней многочлена второй степени вида:

f( x)ax² bxc

Порядок выполнения:

Вводятся коэффициенты уравнения.
Вводится матрица, состоящая из данных коэффициентов, записанных в обратном порядке. Производится еѐ транспонирование.
Для нахождения решения используется функция polyroots

Пример:

Решить квадратное уравнение:

x² 2x 8  0

Ввод коэффициентов уравнения.

a 1 b 2 c 8

Вводится матрица, состоящая из коэффициентов, записанных в об- ратном порядке. Производится еѐ транспонирование.

v ( c b a ) ^T

Для нахождения решения используется функция polyroots.

r polyroots(v) r =

4

Символьное решение уравнений

Порядок выполнения:

Ввести уравнение.
Синим уголком курсора выделить переменную, относительно которой нужно решить уравнение.
В главном меню выбрать команду Symbolics→Variable→Solve

(Символьныевычисления→Переменная→Решить).

Пример:

Символьно найти

решение уравнения относительно переменной h:

2h3  h b 0

Ввод уравнения. В качестве знака равно использовать знак Булева ра- венства (вводится сочетанием клавиш [Ctrl]+[=]).

2h² h  b 0

Выделение переменной, относительно которой проводится решение.

Решение уравнения при помощи команды Symbolics → Variable →

Solve (Символьные вычисления → Переменная → Решить).

_ ⁸^^b^¹_¹_





__

4

8b  1

4

4 _

₁

 ₄__

Недостаток использования меню Symbolics заключается в том, что най- денное решение не пересчитывается автоматически при изменении выражения или входящих в него величин и не участвует в последующих расчетах.

Достоинством использования меню Symbolics является то, что ранее принятые численные значения величин не учитываются в символьных расчетах.

Если выделенное выражение не имеет символьного решения (а большин- ство уравнений не имеет символьного решения), то Mathcad сообщает об ошибке:

«No solution was found» («Решение не найдено»).

Численное решение уравнений

Функция root решает уравнения итерационным методом секущих и по- этому требует задания перед собой начальных значений. Кроме того, функция root, выполняя вычисления методом спуска, находит и выводит только один ко- рень, ближайший к начальному приближению. Для поиска остальных корней уравнения необходимо задание других начальных значений.

Пример:

Найти корни уравнения в диапазоне от -4 до 3:
x3  6x 2  0

Ввод диапазона, где определяется корень.

x 4.. 3

Ввод уравнения.

f( x)

x³ 6^.x 2

Поиск интервалов, где происходит смена знака функции.

-4
-3
-2
-1
0
1
2
3

-38
-7
6
7
2
-3
-2
11

x  f (x) 
Данных интервалов 3 (-3…-2, 0…1, 2..3), следовательно уравнение на заданном интервале имеет 3 корня.

Задание точности вычисления корня.

TOL 10 ⁵

Задание начального положения для поиска. Задается как среднее зна- чение между значениями переменной, где происходит смена знака функции.

_x_3  2

2

x  2.5

Вычисление корня

X1  root (f (x)  x)
X1  2.602

Проверка решения. Значение функции должно быть близко к 0.

f (X1)  3.553

 15

10

Вычисление второго корня.

_x_0  1

2

X2  root (f (x)  x)
f (X2)  6.095

 11
x  0.5
X2  0.34

Вычисление третьего корня

_x_2  3

2

X3  root (f (x)  x)

10
f (X3)  3.052

 10
x  2.5
X3  2.262

Поиск экстремума функции

С помощью функции root можно найти и экстремум функции, приравняв производную к нулю. Функции должно предшествовать начальное приближение.

Для нахождения экстремума функции следует:

Задать начальное приближение, наиболее близко расположенное к экстремуму. Для его поиска необходимо определить, на каких интервалах проис- ходит смена знака производной функции.
Записать выражение с функцией root, включив в качестве функции, которая должна быть равна нулю, производную по заданной переменной;
Вычислить значение заданной функции от найденного корня.

Пример:

Найти экстремумы уравнения в диапазоне от -4 до 3:
x3  6x 2  0

Ввод диапазона.

x 4.. 3

Ввод уравнения.

f( x)

x³ 6^.x 2

Поиск интервалов, где происходит смена знака производной функции

^df (x) 

-4
-3
-2
-1
0
1
2
3

42
21
6
-3
-6
-3
6
21

x  _dx
Данных интервалов 2 (-2…-1, 1…2), следовательно уравнение на заданном диапазоне имеет 2 экстремума.

Задание точности вычисления экстремума.

TOL 10 ⁵

Задание начального положения для поиска экстремума. Задается как среднее значение между значениями переменной, где происходит смена знака градиента функции.