в процессе. Поэтому для нахождения непрерывной составляющей спектра на входе фильтра нижних частот рассмотрим сначала спектр процесса
Л (0 = Uс (0 Ur (t)~ M [ U c(t) Ur (0].
Энергетический спектр (ю) будем вычислять путем усреднения по времени текущего спектра случайного процесса ц (t) [72].
L |
EL |
|
2 |
2 |
|
S„(<o)= Нш |
](t2)e4aii^ )dt1dt2. |
(9.133) |
Т -+ С О l 0 |
0 |
|
Интервал времени Т разобьем на отрезки, равные периоду фазирова ния генератора опорного колебания, т. е. положим Т = 2&тф, и интег рал от нуля до 772 представим как сумму интегралов, взятых по ин тервалу времени тф. Тогда выражение (9.133) будет представлять со бой сумму сомножителей, из которых только к сомножителей не равны нулю
, |
ТФТФ |
(9.134) |
Sr, («)-= — |
! |
J Л (h) т] (/2) e~im(<‘- « dh dt2. |
2тф |
о |
о |
|
После подстановки в (9.134) значений т] (/), включающих величины Uc (i), Ur (t), М [Uc (t), Ur (t)], и выполнения весьма громоздких, но несложных преобразований, получим
S a (®) = ^ |
^ ’п ^ стПг2тфД1А2|ог2 (sin 0 г/2) |
|
— 2 cos (Yi — У2) + а2 [cos^-] |
Л, |
, Д, |
1Г1 |
(Vi— Тг)1 |
(9.135) |
2 |
\ |
2 / |
LA2 |
Дг |
|
2 J |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
?1==(<0+т ) тФ; |
y2= ( « — f ) v - |
|
д |
_ |
sin Y1/2 . |
A |
sin у2/2 |
|
|
|
Vi/2 |
’ |
2 |
|
Va/2 ‘ |
|
Входящие в (9.135) значения дисперсий случайных функций предста вим так [401:
a2 (sin ^ ) = |
|
|
|
1 j |
It |
(9.136) |
П - М (cos 0 (.)] = - |
|
|
|
|
|
2 . |
~ b [ . |
|
а2 ! cos — ^ |
[ 1 + |
ЛТ (cos 0 г)] - |
M ( COS —] |
|
|
|
|
|
V |
2 ) |
|
|
|
Г 2 |
00 |
r + l |
Й2 |
(9.137) |
= — (1 + nbi) ■ |
- 1 ) |
|
-тт+ |
2 |
1/4 |
|
|
|
|
г=1 |
|
|
где
|
2Г (1 + r/2 ) d « |
р |
г+1, |
|
(9.138) |
|
n r ! Y ~ ¥ |
1 |
Ч |
|
|
2 |
|
|
Г ( ) — гамма-функция. |
энергетический |
спектр |
составляющей |
Определим |
теперь |
Un (t) Ur (t) для |
случая, |
когда |
помеха на |
входе коррелятора имеет |
вид ограниченного на полосе частот ^соп + |
шума с равномерной |
спектральной плотностью S n. Напряжения помехи Un (f) и опорного колебания UT (t) можно считать некоррелированными между собой, тогда энергетический спектр S mг (со) составляющей Un (t) Ur (t) определится как
2
Sn.r (со) = \l2KlU rSn2 = nK2 U l - ^ . |
(9.139) |
Дсопр |
|
Просуммировав (9.135) и (9.139), получим спектральную плотность
помехи 5 П(со) на входе фильтра нижних частот. Дисперсия |
помехи |
на выходе фильтра нижних частот с передаточной функцией |
7 ф (/со) |
равна |
|
00 |
|
о 2 (Иф. п) = I I Гф (/“ ) IяS„ (со) da. |
(9.140) |
Если полоса пропускания фильтра нижних частот А/ф много меньше ширины спектра SH(со), то можно считать, что в пределах полосы частот от 0 до А/ф, 5 Н(со) сохраняет постоянное значение, равное, 5 Н(0), тогда (9.140) упростится
|
|
а2(«ф.п) = |
Л/Ф5 н(0). |
|
|
(9.141) |
Положив в (9.135) |
со = 0 и учитывая |
равномерность спектральной |
плотности составляющей 5 П. г (со) в области |
нулевых частот, получим |
|
|
|
|
/ |
. Qta |
|
2 |
|
|
|
|
/ |
sin ---— |
|
|
|
o’2 (ыф. п) |
К2пи сти2 |
гтфА ^ { |
____2 |
I |
х |
|
ЙТф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IV ~ 2 ~ |
|
|
X sin2 |
о2 ^sin |
j + cos2 у |
а2 ^ cos |
|
4 п |
|
(9.142) |
|
|
|
|
|
|
|
|
ДшПра2тф |
Выражения |
(9.137) и |
(9.142) позволяют |
вычислить |
|
отношение сиг- |
нал/помеха на выходе корреляционной избирательной системы при различных расстройках полезного и опорного сигналов в функции отношения эффективного значения сигнала к среднеквадратичному значению шума на входе системы.
При сравнении фильтрующих свойств различных избирательных систем удобнее пользоваться отношением мощности сигнала не к об щей мощности шума на входе, а к мощности шума, отнесенной к по
лосе пропускания системы, т. е. отношением сигнал/помеха в полосе пропускания избирательной системы
n |
= JhnM n_ |
(9Л43) |
У |
V 2 a n A f y |
! |
где Afy — полоса пропускания узкополосной избирательной системы; Afn; а п — соответственно ширина спектра и среднеквадратичное зна чение помехи на входе узкополосной избирательной системы.
Величины а и av связаны очевидным соотношением а = ауД/у
Д/п
В частности, для исследуемой избирательной системы корреляцион ного типа с учетом (9.114) можно записать
0,45 а у
(9.144)
ТфД/п
Подстановка (9.144) в формулы от (9.136) до (9.140) позволяет выра зить отношение сигнал/помеха на выходе избирательной системы пвых через величину ау, определяемую (9.143).
9.4.4.Сравнительная оценка корреляционного метода фильтрации
Структурная схема LCR-избирательной системы. Сравним корре ляционную избирательную систему с LCR-избирательной системой, структурная схема которой изображена на рис. 9.19. На вход этой системы поступает аддитивная смесь флуктуационной гауссовой по
|
|
|
|
|
|
мехи и гармонического полезного |
сигнала |
вида |
U c (t) = |
= Ucm cos (coc t + cpc). |
Флуктуационная |
помеха |
имеет |
равномер |
ный непрерывный спектр, |
ширина спектра Afn, дисперсия помехи а |. |
Полезный сигнал и с |
( t ) |
и часть непрерывного спектра помехи про |
ходят через полосовой фильтр и воздействуют на квадратичный де тектор. Претектированная смесь сигнала с помехой затем усредняется в фильтре нижних частот и поступает на выход. Отношение постоян ной составляющей, обусловленной действием полезного сигнала, к флуктуационной составляющей помехи на выходе фильтра нижних частот явых является характеристикой помехоустойчивости избира
тельной системы [40]. |
момент второго |
порядка |
Момент второго порядка. Определим |
М 2 (М 2) рассматриваемого процесса на выходе детектора, |
содержа |
щего составляющие как полезного сигнала, |
так и помехи. |
|
М 2(fi*0 = К\М {[«с(*0 + «п. у (*i)]2 [ис (*0 + «п. у (*2)]2}= М2 (т),
где и п у(/) — помеха на выходе узкополосного полосового фильтра. Учитывая, что процессы на выходе полосового фильтра не могут со держать постоянной составляющей, запишем [42]
М2(т) = Кд \ м [ып. у (* l) «П .у(*2)] + |
2U2cm М [ и п . у (*х) « п. у (* ,)] COS СОсТ + |
+ % |
COS 2 ®ст + — Uin + UlnM [ип. у (*)]}. |
(9.145) |
8 |
4 |
J |
|
Первое слагаемое в (9.145) представляет собой автокорреляцион ную функцию шума на выходе полосового фильтра, второе слагаемое есть момент второго порядка квадрата шума. Учитывая нормальный закон распределения мп- у (t), запишем
М |
[Wn у (^ i) Un у (^2)] — ОГп. у R n . у С^) > |
М [и2п. у (t)] = а2. у; |
(9.146) |
Й4 |
\ип, у (ti) U n , у (f2)] = |
Оп. у [l + % R n . у (т)] • |
Подставив (9.146) в (9.145), получим
М2 (т) = КУп [2Уп. у (т) + 4Rn. у (т) ay cos сост +
+ |
а\ cos 2(o<i + (йу+ 1 )2 . |
(9.147) |
Рис. 9.19. Структурная схема избирательной системы с квадратичным детектором
Величина момента второго порядка напряжения на выходе детектора М 2 (т ), как известно, определяется характеристикой самого детектора /Сд и составляющимипроцессов на входе детектора.
Поскольку на детектор поступает напряжение с выхода узкопо лосного фильтра высокой добротности, то нормированная автокорре ляционная функция шума на входе детектора может быть представ лена как
R n . у (т ) = R o y (т) COS <0ПТ.
В этом случае выражение (9.147) примет вид
|
|
|
|
|
М2 (т) = К У п . у I [Roy (т) + Roy (т) cos 2 сопт] + |
У R 0y (т) [cos (соп — |
— сос) т + cos(соп+ |
сос)т +-^-Цуcos2сост + |
(ау + l)2] | . |
(9.148) |
Будем считать, что фильтр представляет LCR-контур высокой |
добротности, настроенный на частоту сигнала; при этом |
|
(оп = сос; |
R 0(т) = е ЛоУ ; |
Ао)у== RI2L. |
|
Соответственно, выражение (9.148) упростится |
|
М 2 (т) = К У . у [e-2AoV |
(1 + cos 2 соп т) + |
2 а У ш ух (1 + cos 2 |
<йпт ) + |
+ — ау cos 2 юпт + [йу - |
|
(9.149) |
В выражениях (9.147) — (9.149) первое слагаемое обусловлено взаимодействием (произведением) шума с шумом, второе слагаемое — шума с сигналом, третье слагаемое — сигнала с сигналом, последнее слагаемое представляет собой постоянную составляющую выходного процесса. Постоянная составляющая также обусловлена взаимодейст вием сигнала с сигналом, сигнала с шумом и шума с шумом, т. е. даже при отсутствии полезного сигнала на входе системы (ау = 0) на вы ходе детектора будет присутствовать постоянная составляющая, ве личина которой зависит от характеристики детектора /Сд и мощности шума сг2 на входе детектора.
Применив теорему Винера—Хинчина и выполнив интегрирование
формулы (9.149), получим выражение энергетического спектра S A (со) процесса на выходе детектора
SA(со) = 2 КдОп. у (fly l)2 б (ю-- 0) Т“ Ау/СдОл. у б (ю—2соп) +
I |
|
2*Х. У |
! 2*Х.у |
|
1 |
|
1 |
|
г |
|
[i | ( m Y ] |
Дсоу |
j [ |
/ft*+ 2соп\2 |
j | |
/ ш—2соп\2 |
До)у |
|
|
(2Дшу) |
4а?/С2о^ |
|
\ 2Да>у J |
|
\ 2Дозу |
/ _ |
|
4аХ °п.У |
|
1 |
|
|
|
+ - |
j_ у чд п. у |
|
|
|
|
|
(О у |
соД,, |
|
0) -(“ 2шп^2 |
|
(0 — 2соп\2 |
Доц |
Дсоу/ . |
|
|
Acov |
1 + |
A<ov |
|
где б ( |
) — дельта-функция Дирака. |
сигнала представляет |
интерес |
Для |
последетекторной фильтрации |
только низкочастотная составляющая спектра i/д (со). Опуская члены, содержащие 2соп, получим
5fl(ft)) = 2iC X .y [(fly+ 1)2б(со-0) +
1 |
|
2а?, |
|
|
(9.150) |
Дсоу ( 1Т- |
4Дш: |
Док, 1 Дсо/ |
|
|
У/ J |
Первое слагаемое в выражении (9.150) представляет собой постоян ную составляющую напряжения на выходе детектора. Очевидно, что даже при отсутствии полезного сигнала на входе системы (при а = 0) на выходе детектора, а следовательно, и на выходе системы будет при сутствовать постоянная составляющая напряжения.
Отношение сигнал/помеха на выходе амплитудной избирательной системы и системы корреляционного типа. Определим отношение сигнал/помеха на выходе анализируемой избирательной системы. Пусть на входе системы присутствует только шум. Тогда на выходе фильтра нижних частот будут постоянная составляющая, обуслов ленная детектированием шума, и флуктуационная составляющая, определяемая частью непрерывного спектра на выходе детектора, проходящей через фильтр нижних частот. При появлении в полосе пропускания избирательного фильтра полезного сигнала, постоянная
