Файл: Статья поступила в редакцию 23. 04. 22.pdf

ISSN 1991-5497. МИР НАУКИ, КУЛЬТУРЫ, ОБРАЗОВАНИЯ. № 3 (94) 2022 19
Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испус- кает ультразвуковой сигнал 749 МГц. Приемник регистрирует частоту сигнала, отраженного от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением
0 0
f f
v c f f

  
, где
1500
с 
м/с – скорость звука в воде,
0
f
– частота испускаемого сиг- нала (в МГц),
f
– частота отраженного сигнала (в МГц). Найдите частоту отра- женного сигнала (в МГц), если батискаф погружается со скоростью 2 м/с.
По формулировке задачи очевидно, что процесс решения может быть осуществлен двумя способами: вычислительным и в два этапа, первый из кото- рых – аналитическое выражение одной из переменных функциональной зависи- мости через другую (условие задачи – формула, связывающая переменные ве- личины в обратном порядке), второй – вычислительный. Отметим, что структура самого задания – это взаимосвязь между переменными величинами, описываю- щими физический закон, т. е. не что иное, как функция. Однако позиционируется задача как преобразование алгебраического выражения и вычисление его значе- ния при данных значениях величин, входящих в это выражение. Возможно, что изменение формулировки именно этого задания позволяло бы в какой-то мере оценивать владение понятиями зависимой и независимой переменных при ра- боте с функцией. Но, как мы отметили выше, согласно классификатору, данное задание не относится к действиям с функциями.
Рассмотрим, согласно введенной нами нумерации под номером 3, задание, предполагающее знание квадратичной функции (см. рис. 3).
Задача № 3
На рисунке 3 изображен график функции вида
 
2
f x
ax
bx c



, где числа a, b и c – целые. Найдите значение
 
12
f 
Рис. 3. Задача о квадратичной функции
Задание предполагает следующие умения: определение по графику функ- ции координат точек, решение линейной системы уравнений с целью определе- ния неизвестных параметров в формуле, задающей квадратичную функцию, определение значения функции с помощью подстановки данного значения в по- лученную формулу. Чисто алгебраическая задача, имеющая к понятию функции и действиями с функциями лишь опосредованное отношение.
Далее рассмотрим задачу под номером 4.
Задача № 4
Найдите наименьшее значение функции


9 9ln
11 7
y
x
x




на отрезке


10,5;0

Или
Найдите точку максимума функции


2 3
8
x
y
x
e




Или
Найдите точку минимума функции
2 256
x
y
x
 

Напомним, что нас интересует формирование понятийного аппарата мате- матического анализа, а задания призваны проверять только умения. Проанали- зируем умения, требующиеся для решения указанных выше задач, и необходи- мый набор понятий, на которых должны быть основаны данные умения. И глав- ный момент – насколько необходимо владение математическими понятиями для выполнения указанных заданий. Каждое из заданий предполагает умение нахо- дить производную заданной функции, но при этом никаких представлений о том, что такое производная, не требуется. Для успешного выполнения задания доста- точно выучить несколько несложных формул, научиться подставлять в эти фор- мулы численные значения, и максимальный балл получен. Понятно, что задание, сформулированное подобным образом, не может показать уровень владения ни понятием производной, ни понятиями приращений функций, ни понятием пре- дела функции. А именно эти понятия служат основой для построения системы математических знаний, находящихся на службе инженера.
Из проведенного анализа заданий вполне очевидно следует, что первая часть ЕГЭ не обеспечивает никакой проверки знаний теории функции одной дей- ствительной переменной. Но есть еще часть 2, задания которой «…проверяют знания на том уровне требований, который традиционно предъявляется вузами с профильным экзаменом по математике» [6]. Из описания демонстрационного варианта ЕГЭ 2022 г. (см. выше) следует, что подобную проверку осуществляют с помощью заданий такого типа: решение уравнения или решение неравенства.
Например, такие:
Пример № 1
а) решите уравнение
2sin cos2 3cos
1 3
x
x
x











; б) укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
3 3 ;
2










Или такое.
Пример № 2
Решите неравенство




2 2
11 11 11
log 8 7
log
1
log
7 5
x
x
x
x
x


 









Разберемся с набором знаний, необходимых для выполнения указанных заданий, которые, согласно классификатору, призваны оценить:
– сформированность понятийного аппарата по основным разделам курса математики; знаний основных теорем, формул и умения их применять; уме- ния доказывать теоремы и находить нестандартные способы решения задач;
– сформированность умений моделировать реальные ситуации, ис- следовать построенные модели, интерпретировать полученный результат;
– сформированность представлений об основных понятиях математи- ческого анализа и их свойствах, владение умением характеризовать поведение функций, использование полученных знаний.
Остановимся на первом варианте задачи – решение тригонометрического уравнения. Тригонометрические формулы, знание которых необходимо для ре- шения уравнения, приведены в справочных материалах самого экзаменацион- ного задания. Следовательно, знания этих формул и уж тем более понимания их смысла и умения выводить эти формулы совершенно не требуется. Более того, знание и понимание свойств тригонометрических функций, их графиков, таких их характеристик, как амплитуда, частота, начальная фаза (которые так необхо- димы будущему инженеру), для решения уравнения не потребуется. Дальней- шие действия – это решение квадратного уравнения. В заключение требуется умение отобрать из множества полученных решений нужные (пункт б). Алго- ритмы решения тригонометрических уравнений довольно просты, и умение их решать легко достигается с помощью соответствующих тренировок. Именно этот процесс и происходит в средней школе: достаточно решить определенное коли- чество однотипных уравнений, и максимальный балл на ЕГЭ обеспечен.
Здесь также отметим еще одно из заданий первой части, имеющее отно- шение к тригонометрии.
Пример № 3
Найдите sin 2

, если cos
0,6


и
2
 

 
Несколько стандартных формул, тренировка на выполнение типичных за- даний и результат – максимальный балл за выполнение задания. Какие именно понятия (именно понятия, а не умения подставлять значения в заученные фор- мулы) теории функции действительной переменной требуются? Ответ очевиден: никакие.
Итак, с формированием понятийного аппарата обнаруживается серьезная проблема: в существующем формате экзамена нет никакой возможности прове- рить уровень сформированности понятийного аппарата, например, начал мате- матического анализа. Что же дает проверка умений? Умения, основанные на за- учиваниях алгоритмов, наборов формул и лишенные логических взаимосвязей с понятийным аппаратом и знаниями о предмете, теряются очень быстро. Бук- вально через несколько недель повторная проверка аналогичных умений у пер- вокурсников в начале учебного года, которые выпускники школ показали на ЕГЭ на достаточно высоком уровне, дает совершенно иные результаты. Так, напри- мер, оценка уровня умений производить простейшие вычисления с тригономет- рическими функциями показала следующие результаты.
В тестировании участвовал 102 студента. Приведем результаты выполне- ния ими трех заданий, связанных с тригонометрией.
Образец теста
1. Вычислить значение выражения:
0 0
0 0
cos 42 cos18
sin 42 sin18

Данные по результатам приведены в табл. 2.
Таблица 2
Результаты тестирования
Номера
заданий
Количество
студентов, верно
выполнивших задание
Количество студен-
тов, выполнивших
задание с ошибками
Количество студен-
тов, не выполнивших
задание
1
42 10 50
2
36 6
60
3
20 2
80
Дополнительно отметим, что верно выполнили все три задания лишь 12 студентов, а два задания – 20. Особую трудность вызвало задание 3, т. к. име- ющиеся у выпускников школ знания предполагают вычисление либо значения тригонометрических функций, либо значения логарифмических, причем только в том виде, в котором они встречаются в формате ЕГЭ. Как только задание было сформулировано указанным выше образом, так число студентов, верно выпол- нивших задание, резко упало. Это еще раз иллюстрирует, что ЕГЭ предполагает проверку «натренированности» выпускников на решение конкретного набора за- дач по математике, а не проверку сформированности математических понятий, как следовало бы.
В качестве одного из примеров, иллюстрирующих существующую ситуа- цию, мы рассматриваем один из разделов математики, изучаемый в школьном курсе, – «Тригонометрия», поскольку именно тригонометрические функции лежат в основе гармонического анализа и представляют особую ценность для инже- нера. Приведем примеры, позволяющие оценить важность понимания свойств тригонометрической функции при решении задач.
Пример первый приведем на уравнения кривой, которую описывает точка окружности, катящейся по прямой без скольжения. Здесь возникает функция, заданная параметрическим образом, все построение которой основано на по- нимании тригонометрии. Именно владение понятиями этого раздела, которые формирует школа, дает возможность студенту вникнуть в суть процесса и анали- тически записать уравнения кривой, называемой циклоидой. Это обеспечивает возможность дальнейшего использования этих знаний, например, при изучении теоретической механики.
Второй пример – возможность описывать с помощью тригонометрии перио- дические процессы, в том числе при передаче сигнала. Здесь особую роль играет именно понимание таких характеристик, как амплитуда и частота, понятия кото- рых закладываются при изучении тригонометрии в школьном курсе.
Как мы отмечали выше, к сожалению, ни одно из заданий ЕГЭ не имеет сво- ей целью оценить владение выпускниками школ ни одним из отмеченных выше понятий. Как показывает практика последних лет, наличие незначительного на- бора умений, набор которых успешно проверяется с помощью ЕГЭ, совершенно недостаточно для формирования базовых математических знаний, необходимых будущему инженеру.
В
заключениеотметим, что поставленные задачи были выполнены, и цель исследования достигнута. В связи с этим можно сделать следующий вывод: у выпускников школ, даже довольно успешно сдавших ЕГЭ по ма- тематике на профильном уровне, отсутствуют устойчивые базовые понятия математического анализа (в части тригонометрии, например). Умения, не подкрепленные теоретической базой, теряются очень быстро и не могут при- меняться даже при незначительном изменении формулировки задачи. При отсутствии или недостаточном уровне сформированности базовых понятий элементарной математики практически невозможно построить и сформиро- вать понятийный аппарат ни одного из разделов высшей математики. Следу- ет отметить, что реальное понимание нехватки нужных знаний обнаружива- ется самими студентами уже на начальном этапе обучения математическим дисциплинам в вузе. Выявляется неспособность владеть рассуждениями-до- казательствами, основываясь на определениях, делать выводы о наличии или отсутствии важных свойств математических объектов. Такая ситуация является следствием того, что традиционная цель обучения математике в школе подменяется подготовкой к решению задач, включенных в ЕГЭ. Такую цель ставят перед собой и учителя, и ученики, и родители. Важно понимать, что достижение этой цели, как показывает практика, не является гарантом успешного обучения в вузе.
Решением проблемы, возможно, могло бы стать изменение формата ЕГЭ, добавление заданий, включающих работу с понятиями, определениями, свой- ствами математических объектов, причем речь идет о ключевых понятиях. Также необходимо включать в задания контрольных работ, выполняемых школьника- ми в процессе обучения математике, элементарные теоретические вопросы, обеспечивающие понимание связи между знаниями и умениями применять эти знания. В процессе обучения решению задач на первом и втором этапах сле- дует делать акценты на математических понятиях, теоремах, используемых при решении конкретных задач.
2. Вычислить cos ,
,
,
tg
ctg



если
3
sin
5
  
и 3 2
2
 

 
3. Вычислить lg log sin .
2 4
6
tg



Данные по результатам приведены в табл. 2.
Библиографический список
1. Гурова Л.Л. Психологический анализ решения задач. Москва: Педагогика, 1976.
2. Пойа Д. Как решать задачу. Москва: Учпедгиз, 1959.
3. Власова Е.А., Меженная Н.М., Попов В.С. Сравнительный анализ результатов ЕГЭ, теста по проверке остаточных знаний и успеваемости первокурсников по
математике. Available at: https://mir-nauki.com/PDF/71PDMN518.pdf
4. Степкина М.А., Байгушева И.А. О готовности первокурсников к изучению математики в вузе. Преподаватель XXI век. 2016; № 4: 211 – 219.
5. Нуриева Л.М., Киселев С.Г. О чем говорит средний балл ЕГЭ? Образование и наука. 2017; Т. 19, № 6: 33 – 51.
6. Федеральный институт педагогических измерений. Available at: http://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory#!/tab/151883967-2
References
1. Gurova L.L. Psihologicheskij analiz resheniya zadach. Moskva: Pedagogika, 1976.
2. Poja D. Kak reshat’ zadachu. Moskva: Uchpedgiz, 1959.
3. Vlasova E.A., Mezhennaya N.M., Popov V.S. Sravnitel’nyj analiz rezul’tatov EG`E, testa po proverke ostatochnyh znanij i uspevaemosti pervokursnikov po matematike. Available at: https://mir-nauki.com/PDF/71PDMN518.pdf