РАЗДЕЛ № 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Задача 1

Определить собственные значения и собственные векторы матрицы третьего порядка.



Решение:

Найдем собственные числа из характеристического уравнения:





Для найдем его собственный вектор:





Тогда имеем однородную систему линейных уравнений.



Решим ее методом Гаусса:



Тогда:



Собственный вектор:


Задача 2

Доказать совместность системы и решить её тремя способами: по формулам Крамера, методом Гаусса и средствами матричного исчисления.



Решение:

Дана неоднородная система из трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными. Для того чтобы исследовать систему, вычислим ранги основной и расширенной матриц данной системы уравнений, для чего приведём расширенную (а вместе с тем и основную) матрицу системы к ступенчатому виду:





По теореме Кронекеля-Капелли ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и меньше количества переменных, значит система является совместной и неопределенной, т.е. имеет бесконечное множество решений.

Т.к. система является совместной и неопределенной, то методами Крамера и обратной матрицы ее решить невозможно.

Решим систему методом Гаусса:

Базисный минор

---

Базисные неизвестные . Свободные неизвестные .

Запишем укороченную систему:



Полагаем, что .

Тогда:





Общее решение системы:


Задача 3

Исследовать и найти общее решение системы линейных однородных уравнений.



Решение:

Дана однородная система из трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными. Для того чтобы исследовать систему, вычислим ранг матрицы данной системы уравнений, для чего приведём системы к ступенчатому виду:







По теореме Кронекеля-Капелли ранг основной матрицы меньше количества переменных, значит система является совместной и неопределенной, т.е. имеет бесконечное множество решений.

Базисный минор

Базисные неизвестные . Свободные неизвестные .

Запишем укороченную систему:



Полагаем, что .

Тогда:





Общее решение системы:



РАЗДЕЛ № 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Задача 1

Составить уравнение плоскости , проходящей через точку

---

перпендикулярно вектору . Написать ее общее уравнение, а также нормальное уравнение плоскости и уравнение плоскости в отрезках. Составить уравнение плоскости , проходящей через точки . Найти угол между плоскостями и . Найти расстояние от точки до плоскости .



Решение:

1) Составить уравнение плоскости , проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Найдём координаты вектора :



Запишем уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору :



Подставляем координаты точки и координаты вектора в уравнение .

Получаем:








2) Написать ее общее уравнение, а также нормальное уравнение плоскости и уравнение плоскости в отрезках.

Общее уравнение плоскости :

---

Нормальное уравнение плоскости :



Уравнение плоскости в отрезках:


3) Составить уравнение плоскости , проходящей через точки .

Запишем уравнение плоскости , проходящей через три заданные точки :

Получаем:



Вычислим определитель, разлагая его по первой строке:









Следовательно, уравнение плоскости имеет вид:


4) Найти угол между плоскостями и .

Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами и вычисляется по формуле:












5) Найти расстояние от точки до плоскости .

Расстояние от точки до плоскости

---

, найдем по формуле:





Тогда:


Задача 2

Прямая задана в пространстве общими уравнениями. Написать её каноническое и параметрическое уравнения. Составить уравнение прямой , проходящей через точку параллельно прямой , и вычислить расстояние между ними. Найти проекцию точки на прямую и точку пересечения прямой и плоскости .



Решение:

1) Написать ее каноническое и параметрическое уравнения.

Чтобы записать канонические или параметрические уравнения прямой , необходимо знать координаты точки на прямой и координаты направляющего вектора этой прямой.

По условию задачи прямая задана как линия пересечения двух плоскостей и .

По общим уравнениям этих плоскостей можно записать их векторы нормалей:





Векторы нормалей и перпендикулярны искомой прямой, образованной пересечением плоскостей. Следовательно, её направляющий вектор может быть найден как векторное произведение векторов и :

---

Смотрите также файлы

• Прохождения учебной практики тип практика по получению.doc

• destruktivnye_zabolevania.docx

• 1 Верно Баллов 1,00 из 1,00 Отметить вопрос Текст вопроса Контакт масок это Выберите один ответ a формальное общение b деловое общение c неформальное общение d светское общение Вопрос 2.docx

• Задание Определение расхода воздуха через канал с конфузорнодиффузорной вставкой Описание задачи.docx

• Автономная некоммерческая профессиональная образовательная организация "Национальный социальнопедагогический колледж"Автономная некоммерческая профессиональная .rtf