Файл: Авдеев, Н. Я. Аналитико-статистические исследования кинетики некоторых физико-химических процессов учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 45

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

(4)

Параметры распределения а, р, п функции (1) в каждом кон­

кретном случае могут быть вычислены, например,

по одному из

следующих способов.

 

через х моду

 

Способ характеристических

точек. Обозначая

и

х', х" абсциссы точек перегиба функции (1) и

приравнивая

к

нулю производные f'(x),

f"(x) в этих точках, получим си­

стему уравнений, которая для вычисления параметров распреде­ ления а, р, п по характеристическим точкам (л;, х', х") функции

(1) приводится к численному решению относительно параметра р "уравнения

{аЬ)р + ^ ± ^ = Р ± 1

(б)

 

р — 1

Р — 1

 

и вычислению параметров а,

п по формулам:

 

п = 1 +

1

а = П— 1

(6)

1 — (ab)P ’

р х Р ’

 

где введены обозначения: а =

х' : X-, b = х"

: х.

Способ пропорциональных точек. Если выбор точек интер­ полирования кривой плотности распределения (1) подчинить условию пропорциональности

хг : х2 = х2 : хз = хз : х4 = D0

(7)

и задать значения функции / (х) в этих точках, то. после соот­

ветствующих преобразований получим формулы (D2 • D 2 >

0):

р =

ln ( D i : Da) : ln D 0, а

= — D l

(Da — Dt) * x ~

( 8)

n -

l ==[~b f - D~ + D3)

:ln D °’

D3 =

ln (h ■/а).

 

Di =

\n(fifz :fl),

 

О, =

ln (fj, : fl)

 

Способ моментов. Полагая в (3) т — 1, 2, 3, получим систему трех уравнений, которая может быть использована для вычисле­

10

ния параметров распределения а, р, п по моментам первого, второго и третьего порядков наблюдаемого распределения слу­ чайной величины.

Способы вычисления параметров по опытным данным куму­ лятивной кривой распределения и уравнению

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

Ф

(X) = А

I" е ~ а*Р х п ~1сіх

 

(9)

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

рассмотрены в работах [1, 2].

 

 

 

 

Способ кратных

параметров.

Если в

(9) положить п =

кр,

где /г — натуральное число,

то интегрированием по частям

по­

лучим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф (х) — 1

 

 

 

,к -\

( 10)

1 — 2Г-|------1------ )—... —J—

 

 

 

 

 

 

2!

31

(й— 1)1

 

где введена подстановка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г — ахр

 

 

(11)

Применяя

к

уравнению

(11)

метод

наименьших квадратов

[12], получим

[13]:

 

 

 

 

 

 

 

X

г‘

хі — “ lg Пг«lg Пхі

 

 

 

 

 

■

 

т

 

 

 

 

( 12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

ig“ xl —— lg'-Пх/

 

 

 

 

 

 

 

Ml

 

 

 

 

 

где m >

2 — число точек интерполирования; zt— находятся

по

опытным

данным f

{x) в точках

хь х2, хз,...,

хт и табличным

значениям функции

(10).

 

 

 

 

 

При т =

2 формулы (12)

принимают более

простой вид:

 

=

lg(га : Zi)

 

 

 

 

 

 

 

lg(*.:*i)'

 

 

 

 

 

При вычислении параметров а, р, п = kp по трем и большему числу точек интерполирования кумулятивной кривой распре­ деления по формулам (12) можно пользоваться, например, сле­ дующей схемой записи вычислений:

11

№

Лэ

Фэ(-Ѵ)

Ч

п/п

 

 

 

1

2

3

4

1

Л1

Ф(Ч)

Ч

2

Л*о

Ф(х„)

Ч

3

А‘з

Ф(Ч)

Ч

тхт Ф{хт) гт

Суммирование по столбцам

Вспомогательные

вычисления

Вычисления' по формулам

lg л-

ig«

lg* lg*

lg2 *

гР

фр (*)

\ф р -

 

 

 

 

 

 

-ф ,\

5

6

7

8

9

10

11

lg Л‘і

ig ч

lg*i lg«,

lg“ gj

Ч

Ф(хі)

ДФ,

lg *'о

lg г.,

lg*a lgzä

lg2 *2

Ч

Ф(х„)

АФ,

lg *3

lg 4

lg*3 lgz3

lg“ *3

ч

Ф(*з)

АФІ

lg*m

lg 4n

 

lg2 *m

г,и

Ф(хт)

АФт

а

b

А

В

Среднеабсолютная

погрешность

 

 

 

 

Ä = — ---- ",

%

 

 

 

 

 

rn

 

 

 

 

 

Среднеквадратичес­

 

ab

а1

 

кая

погрешность

 

C = —

D = —

 

-V- m

 

 

rn

m

 

 

 

 

 

 

 

 

А — С

I

Ф—ра)

Критерий согласия

Р =

m

— —

а = 10

 

по К. Пирсону

 

B — D

 

 

 

 

 

Графы

1, 2, 3 заполняются по данным

наблюдений; графа

4 — по табличным ізначениям функции

(10),

графы 5

и

6 — по

табличным

значениям логарифмов xt

и г,-,

графы 7

и

8 — по

результатам непосредственных вычислений или вычислений с помощью таблиц умножения и возведения в степень.

Графы 9 и 10 заполняются для получения оценки (графа 11) согласованности опытных (графа 3) и расчетных (графа 10) ре­ зультатов.

При вычислении параметров распределения по формулам (13) по двум точкам интерполирования узловые точки следует выбирать в наиболее характерных местах кумулятивной кривой. Например, если кумулятивная кривая распределения задана графически, то узловые точки следует брать по разные стороны от точки перегиба в местах наибольшей кривизны кривой. Если кумулятивная кривая не имеет точки перегиба, то узловые точки выбираются по разные стороны от наибольшей кривизны кривой так, чтобы выполнялось условие Ф (х2) — Ф (хх) « 5 0 % .

12

Таким образом, мы видим, что если случайная величина распределена по закону (9), то при я = кр параметры (а, р, я) могут быть вычислены по способу наименьших квадратов по двум или большему числу точек интерполирования кумулятив­ ной кривой распределения с использованием табличных значе­ ний функции (10). При к = 1, т. е. при я = р из (1) и (10) как частный случай получаются известные в дисперсионном анализе уравнения Розина-Раммлера [14] или закон Вейбулла [9]

/ (л) =

аре~ахІ>хР -\ Ф(х) = 1— е~ а*Р.

(14)

Параметры а и р

функций распределения

(14) вычисляются

по формулам (12, 13), в которых значения zt

находятся в явном

виде из соотношения

 

 

 

zi = — ln [1 — Ф (Xi) ] = — \nq (Xj).

(15)

Статистические характеристики случайной величины, рас­

пределенной по закону (14), мода (х),

медиана (х\ ), математи-

_

2

ческое ожидание (х), среднеквадратическое отклонение (а) и коэффициент вариации (ул.) определяются по формулам:

 

 

 

,,т( +р}

(16)

 

х ~ а

р

і

І \

 

 

\ 1

1

 

а = а р

 

 

1

ъ =

о

(17)

7 ) - гТ +

 

>

 

У Т +

7 )' ъ - т

 

Практическая ценность применения уравнений (14) и их модификаций для выравнивания опытных кривых распределе­ ния большого диапазона случайных величин в настоящее время хорошо известна [1, 2, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18]. Примеры применения уравнений (1) и (9) в их более общем виде пока не­ многочисленны [1, 2]. Объясняется это, по-видимому, тем, что пока нет достаточно удобного в практическом отношении ал­ горитма вычисления параметров распределения (а, р, я) по ми­ нимальному числу опытных данных. Кроме того, если аналити­ ческое выражение уравнений (14) в настоящее время находит теоретическое обоснование в статистике экстремальных значе­ ний [9, 19 ], то уравнения (J) и (9) такого обоснования пока не имеют.

13

§ 2. Кривые Столетова намагничивания ферромагнетиков

По существующей теории процесса намагничивания ферро­ магнетиков [20] и статистической обработки большого экспери­ ментального материала [21, 22, 23] следует, что характер за­ висимости величины намагничивания / от напряженности на­ магничивающего поля Н может быть выражен уравнением вида (14):

 

 

• / = / Д

і - е~анР),

(18)

где Is

— магнитное насыщение; а и р — параметры, определяе­

мые из опыта по формулам (12,

13).

 

По известным функциональным соотношениям

[20, 24]

 

 

В = ptf = # + 4 я /,

(19)

где В — магнитная индукция;_р— магнитная

проницаемость,

и по уравнению

(18), находим:

 

 

 

 

В = Н + 4 я / Д і - е - анР),

(20)

 

 

|А = 1 + і ^

( і _ е-аЯ';)<

(21)

Из

уравнения

(21) и

равенства [20, 24]

 

 

 

р

= 1 +

4л%

(22)

получается явное аналитическое выражение магнитной воспри­ имчивости ферромагнитного вещества:

1 = Ь ( \ - е - * нР).

(23)

Исследуя уравнения (21) и (23) на экстремум, находим, что магнитнаяпроницаемость р и магнитная восприимчивость % достигают максимума для значений Н, определяемых из уравне­ ния

е~анР(\ — арНР) = 1.

(24)

В случае нулевого решения уравнения (24) из (21) и (23) пре­ дельным переходом имеем:

1

1 при р >

1

 

I

0

при р >

1

(25)

1 4- 4л/. при р =

1

X = { a/s

при

Р =

1

1-j-oo при

р <

1

^

оо

при

р <

1.

 

14

Смотрите также файлы