Файл: Пластическое деформирование металлов [сборник статей]..pdf

Прижимные поверхности сложных вытяжных штампов, как уже отмечалось, являются развертывающимися или близкими к ним по форме поверхностями.

Геодезическая кривизна линий является инвариантом изгиба­ ния и при развертывании поверхности на плоскость переходит в обычную кривизну плоских кривых.

При этом формулы (15) и (16) переходят в обычные формулы

(8) и (9), соответствующие плоскому течению. Следовательно, для построения полей напряжений и скоростей надо развернуть при­ жимную поверхность на плоскость и далее вести расчет методами, разработанными для плоских задач.

Осесимметричные переходы и сопряжения переходов сложной

где г — радиус-вектор точки; р — проекция радиуса-вектора на

плоскость z = const; е (и), к — орты цилиндрической системы координат; и viz — угловая координата и аппликата.

Характеристики пересекают образующие поверхности враще­ ния под постоянным углом 0 = л/4. Вычисляя по уравнению (17) коэффициенты первой квадратичной формы Гаусса и их производ­ ные, найдем по формуле (14)

где dx — элементарный угол поворота трехгранника Дарбу отно­ сительно геодезического направления, касательного к характери­ стике. Из уравнения (18) находим

Следовательно, угол поворота характеристик на поверхности вращения является таким же, как и для плоской логарифмической спирали, и не зависит от формы образующей. Доказанное свойство характеристик, расположенных на поверхности вращения, поз­ воляет в данном случае свести расчет полей напряжений, возникаю­ щих в вытяжных переходах, обладающих осевой симметрией, к рассмотрению радиального течения в плоскости, перпендикуляр­ ной оси поверхности.

3. Граничные условия для скоростей

На рис. 3 показана листовая заготовка перед началом вытяжки, развернутая на плоскость. Скорости на контуре проема матрицы vr определяются скоростью движения жесткого пуансона. В тех случаях, когда стенки вытяжного перехода вертикальны, металл внутри проема матрицы перемещается как жесткий и, следова­ тельно, скорости на контуре проема распределены равномерно, так же как и в случае вытяжки осесимметричных переходов.

9

Если же стенки вытяжного перехода имеют различные наклоны,, то внутри проема можно определить контур с равномерным рас­ пределением скоростей. В обоих случаях внутренняя граница поля скоростей на годографе отображается окружностью. Соот­ ветствующее этому граничному условию поле характеристик состоит из двух ортогональных семейств логарифмических спира­ лей. Так как граничные условия для скоростей задаются на непод­ вижном контуре проема матрицы, то годограф в процессе вытяжки

Рис. 3. Листовая заготовка в начале вытяжки. Стрелками показано направление напря­ жений и скоростей на контуре проема матрицы

а — контур проема матрицы; в — наружный контур заготовки; сd, ef ■— перетяжные ребра

не изменяется и процесс может рассматриваться как стационар­ ный. Если знаки главных нормальных напряжений различны, то при условии пластичности Сен-Венана толщина заготовки не изме­ няется. Все перемещения и деформации определяются из условия равенства площадей заготовки и вытяжного перехода.

4. Граничные условия для напряжений

Во избежание нежелательного перетекания металла вдоль кон­ тура проема а, показанного на рис. 3, напряжения должны распре­ деляться равномерно. На внешнем контуре заготовки одно из главных нормальных напряжений равно нулю, а второе пределу текучести. Для того чтобы обеспечить равномерное распределение напряжений на контуре проема матрицы, вводятся перетяжные ребра и пороги.

Вследствие постоянства напряжений на внешнем подвижном контуре заготовки напряженное состояние нестационарное. Одна­ ко нестационарная задача в рассматриваемом случае может быть сведена к автомодельной.

Для этого в качестве параметра принимается какой-либо харак­ терный размер, определяющий положение внешнего контура. На­ пример в случае осесимметричного процесса за параметр можно принять наружный радиус заготовки.

Тогда внешний контур заготовки в автомодельном движении является неподвижным, а контур проема матрицы подвижным.

10

к контуру; касательные напряжения отсутствуют. Величина нор­ мальных напряжений на контуре проема определяется из харак­ теристических соотношений Генки

где а тах — модуль наибольшего угла поворота касательной к ха­ рактеристикам. На тех участках поля, где модуль угла поворота

Рис. 5. Поле линий скольжения (а) и поле скоростей (б) для сложной вы­ тяжки при наличии касательных напряжений на вогнутом участке контура, проема матрицы

касательных к характеристикам меньше атах, предусматриваются перетяжные ребра, обеспечивающие постоянство ог по всему кон­ туру проема. На рис. 5, а перетяжные ребра показаны штрихпунктирными линиями е/ и gh.

На рис. 6 показано поле линий скольжения для контура прое­ ма с большей кривизной вогнутого участка сс'с'с, отделенного от выпуклой части отрезками прямых Ъс. При наличии контактного трения в промежуточной области Ъсс'Ъ' может возникнуть двухос­ ное растяжение, при котором основная система уравнений являет­ ся параболической. Единственная система характеристик в этом случае совпадает с траекториями нормальных напряжений, имею­ щими радиальные направления. Выбирая полярную систему ко­ ординат г, 0 с полюсом в точке 0, получим из условий равновесия и условия текучести а0 = 2к величину радиалыого напряжения на участке сс [5J

(2 1 )

где rt и га — радиусы окружностей с'с' и сс. В случае глубокой вы­ тяжки, во избежание разрывов заготовки должго выполняться

12

условие

(22)

где с — константа, определяемая опытным путем. Из условия те­ кучести и ассоциированного закона течения следует, что деформа­ ции в области ссс'с' равны

Следовательно, наличие вогнутого участка контура проема мат­ рицы приводит к нежелательному уменьшению толщины заготовки.

Рис. 6. Поле линий скольже­ ния при наличии двухосного растяжения на вогнутом уча­ стке

действующая сил, приложенных вдоль характеристики ЪЪ' со сто­ роны гиперболической области; В 0 — равнодействующая сил трения и реакций штампа, приложенных к промежуточной части заготовки. Из уравнения (24) следует, что равновесие промежу­ точного участка, разделяющего гиперболическую и параболиче­

скую области, возможно только при условии, что сила R 0 имеет тот же порядок, что и силы Вр и Bh. Давление прижимного коль­ ца на заготовку мало по сравнению с напряжениями, возникаю­ щими в сечениях заготовки.

Следовательно, область двухосного растяжения может воз­ никнуть только в том случае, если площадь промежуточного уча­ стка достаточно велика.

Напряженное состояние в промежуточной области определя­ ется распределением сил трения и реакцией со стороны части за­ готовки, втянутой в проем матрицы.

В заключение отметим, что методы расчета сложной вытяжки, основанные на построении полей напряжений и скоростей, нахо­ дят успешное применение в промышленности [6J.

13

6. Определение контура заготовки

Контур исходной заготовки определяется путем обращения движения. Задаваясь достнючно малым перемещением на контуре проема матрицы, пользуясь годографом, определяют соответствую­ щие перемещения наружного контура вытяжного перехода. Это построение повторяют до тех пор, пока сумма отдельных переме­ щений на контуре проема матрицы станет равной глубине вытяж­ ного перехода. Последнее построение дает контур заготовки.

ЛИ Т Е Р А Т У Р А

1.А. Д . Томленое. Определение формы прижимных поверхностей сложных

вытяжных штампов.— Сб. «Пластическое формоизменение металлов».

М., «Наука», 1967.

2. Д . Д . Ивлев. Теория идеальной пластичности. М., Физматгиз, 1966.

3.Л. Фрейденталь, X. Гейриигер. Математические теории неупругой среды. М., Физматгиз, 1962.

4.А. Норден. Краткий курс дифференциальной геометрии. М., Физматгиз,

1958.

5. В. В. Соколовский. Теория пластичности. М., «Высшая школа», 1969.

6.Л. А. Рубенкова, В. В. Гайдук. Пластическое течение листового металла в процессе формообразования сложных деталей.— Машиноведение, 1972,

№6.

Е. М. ТРЕТЬЯКО В

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СЖАТИЕ ТОНКОЙ УПРОЧНЯЮЩЕЙСЯ ПОЛОСЫ ПРИ НАЛИЧИИ ПЛОЩАДКИ ТЕКУЧЕСТИ

Для ряда процессов горячей и холодной тонколистовой про­ катки, ковки, объемной штамповки и калибровки топких загото­ вок характерно пластическое сжатие тонкой полосы, для которой отношение LjH ^> 1, где L — длина деформируемой полосы, Н — ее толщина.

Теоретической основой анализа процессов пластической дефор­ мации тонких заготовок служат решения теории пластичности о сжатии тонкой полосы. Классическое решение задачи о пласти­ ческом сжатии тонкой идеально пластической полосы было дано Л. Прандтлем [1—3J. В ряде процессов холодной пластической де­ формации заготовка деформируется с малыми величинами обжа­ тий. Это имеет место, например, при дрессировке листовых метал­ лов и калибровке. В таких процессах упругие деформации заготовки оказывают существенное влияние на характеристики процесса и точность получаемых изделий. Для анализа таких про­ цессов требуются решения двумерных упругопластических задач о

14