Файл: Пластическое деформирование металлов [сборник статей]..pdf

когда при увеличении обжатия наружные слои деформируемой по­

существовать центральный слой толщиной hu, для которого а* — = а 8, т. е. деформация проходит в условиях идеальной пластич­ ности (рис. 2).

Распределение напряжений в указанном слое дается решением Прандтля. Так как в тонком слое касательные напряжения хху являются линейными функциями ординаты у, то на границе иде­ ально пластического слоя при у = ± h j 2 касательные напряже­ ния равны + xK-hu/H (см. рис. 2).

указанного значения контактных касательных напряжений они записываются в виде

сия (5) и условию пластичности (8).

Так как в толком слое вертикальное перемещение v является линейной функцией ординаты у, из формул (6) и (10) следует еу = — ех = const. Значения деформаций в тоьком пластическом

При помощи формул (6) и (14) нетрудно проверить, что значе­ ния деформаций (15) удовлетворяют формулам (9) и (10).

20

Условия СПЛОШНОСТИ'

также выполняются тождественно и по формуле (6) несложно по­ строить непрерывное поле перемещений и и v, отвечающее полю

Можно показать при помощи результатов работы [10], что рас­ пределения деформаций (15), а следовательно, и формула (16) отвечают полю скоростей А. Надаи для решения Прандтля о сжа­ тии тонкой идеально пластической полосы.

На границе раздела идеально пластического и упрочняющегося слоев, т. е. при у = + hu/2, величина интенсивности деформаций должна быть ег = ги. После подстановки этих соотношений в фор­ мулу (16) получаем

Формула (18) связывает величину обжатия АН/Н с длиной пло­ щадки текучести ец и толщиной слоя \ у\ h j 2, где металл де­ формируется в условиях идеальной пластичности. Из этой форму­ лы при hu = Н получаем величину обжатия

Когда обжатие полосы начинает превышать значение (ДН/Н)и, то у контактной поверхности тонкой полосы начинается пластиче­ ское упрочнение. При отсутствии трения из формулы (19) следует, что вся полоса попадает на участок пластического упрочнения при•

21

(18) в качестве условия перехода центрального слоя на участок

следствием формулы (13), которая в свою очередь вытекает из фор­ мулы (16) при у = 0.

Из изложенного следует, что в тонкой упрочняющейся полосе

пластический и упрочняющиеся слои при выполнении следующих соотношений:

При деформации образца на площадке текучести согласно усло­

вию пластичности Мизеса тк ^ к = o j Y 3, что обеспечивает неот­ рицательность подкоренного выражения в формуле (19). Однако после выхода контактных слоев на участок упрочнения тк может

превысить значение п5/]ЛЗ, отвечающее площадке текучести. В этом случае в контактных слоях аг Д> os и для совместного су­ ществования в тонкой полосе идеально пластического и упроч­ няющихся слоев достаточно выполнения в формулах (20) первой

где d — параметр, не зависящий от координат точки; ф (у) — чет­ ная функция ординаты у.

Из сравнения формул (14) и (21) видно, что на границах раздела идеально пластического и упрочняющихся слоев, т. е. при | у | = = h j 2, условие непрерывности тхУ выполняется непосредственно. Для непрерывности напряжений ах и оу требуется выполнение

22

Значение суммы [ф (у) Ь d] определяется из решения уравне­ ния (23) для всех значений у, в том числе и для у = + hu/2. В то же время из формул (22), полученных из условия непрерывности напряжений на линии раздела идеально пластического и упроч­ няющихся слоев, имеем при у = + h j 2:

которое, как нетрудно проверить, выполняется тождественно. Таким образом, условия (22) действительно позволяют постро­

ить непрерывное для напряжений решение задачи о сжатии тон­ кой полосы имеющей идеально пластический и упрочняющиеся слои. Напряжения в идеально пластическом слое, т. е. при | у | ^ hJ2, определяются формулами (14), которые удовлетворяют ус­ ловиям равновесия (5) и условию пластичности (8). Напряжения в

деляются формулами (21), которые удовлетворяют условиям рав­ новесия (5) и условию степенного упрочнения (I) [8|. При этом сле­ дует иметь в виду соотношения (22), т. е. равенство d = с. Из урав­ нения (23) следует также, что ф (у) является четной функцией ор­ динаты у, так как d — параметр, не зависящий от координат рас­ сматриваемой точки.

Значения параметров с = d определяем при помощи гранично­

Подставив в формулу (25) значения напряжений сгжпри х — О из формул (14) и (21), получим после интегрирования искомое со-

23