Файл: Филиппов, Л. И. Основы теории радиоприема дискретных сигналов (синтез и анализ) [монография].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 51
Скачиваний: 1
|
+ |
|
J |
[% (*. m i) + n k (*)] s lk (t , Щ ) dt |
(7. 30) |
|||
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
ГГУ„ |
|
|
|
|
||
|
|
Ho |
|
|
+ |
|
|
|
k n °\ N 0 ^ 4 |
) |
|
|
J |
|
|
||
|
|
|
|
|
о |
|
|
(7. 31) |
|
|
|
|
+ |
\ nk (f) sik (*> |
mi)dt |
||
|
|
|
|
|
||||
где |
|
tri-y) — a.kSlk(t, |
Шу) |
^k^ljc{t’ |
mi)- |
|
||
S2k{t, |
|
|||||||
Введем обозначения: |
|
|
|
|
|
|
||
|
Уо |
|
|
|
|
|
|
|
Лук = |
В $ |
[*№(t, тг) + |
Пк(01 Slk (t, my) dt, |
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Alk = |
—B j |
[s2k(t, my) + nk |
(*)] slk {t, my) dt; |
(7. 32) |
||||
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
А^к = |
В J nk(t) slk (t, m2) dt, |
|
|
||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
(7.33) |
|
|
|
|
t* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Aik — |
В ^ nk(t) slk (t, m.2) dt; |
|
|
||||
|
|
|
В |
\/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
N. ' У ж + Щ |
|
|
||
|
|
|
|
|
'о ' |
Zal |
|
|
После этого by представляется в виде |
суммы квадратов |
величин; |
||||||
|
|
|
|
п |
|
|
|
(7.34) |
|
|
|
к — -j 2 |
|
^ к)■ |
|
||
|
|
|
|
*=о |
|
|
|
|
В [И ] показано, |
что распределение Ъу при этом имеет вид |
|||||||
|
|
|
|
” *■”к1вхр {—Ьу/Хук) |
|
(7'35) |
||
|
|
p(6l)=2 |
1фк |
|
|
|||
для случая разных |
собственных чисел и |
|
|
|||||
|
|
^ |
) = т ^ Й У е х р { - Й |
|
(7. 36) |
|||
|
|
|
|
|||||
для случая одинаковых собственных чисел корреляционной матрицы. Пусть, как и ранее, slk (t, гщ) имеют единичную удельную энер-
153
ги ю . Тогда |
|
|
|
А1к = |
В |
та |
|
+ J nk(t)slk(t, |
m jdt , |
||
|
|
О |
(7.37) |
|
|
2*c |
|
А1к = |
В |
|
|
— J пк00 h fc (i, |
/raj dt . |
||
|
|
о |
|
Найдем элементы корреляционной матрицы. В соответствии с (7. 28)
H . = |
I L |
N q |
2 |
+ |
|
|
|
ifc~ |
(1/Л'о + 1/2а|) |
|
|
||
|
|
|
|
Zbja |
(7. 38) |
|
|
|
|
Л0[(1/ЛГо + l/2o|) (1/Л'о + l/2oJ)]‘/» ’ |
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
_________ 2ры ________ |
|
||
где |
|
|
Л'о [(1/Л'о + |
1/2=|) |
(1/Л'о + l/2 a ?)]v' ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
b ki = |
a ka i = |
W |
Pfci — |
а Л |
= — a k a r |
|
Распределение b2 будет иметь вид, аналогичный (7. 35) и (7. 36). Собственные числа \ к в этом случае найти просто, так как сиг нальные составляющие ъ А 2кш Агк отсутствуют и поэтому корре ляционная матрица диагональная. Собственные числа при этом равны диагональным элементам
\к — Aik= A: |
2Л'о |
(7. 39) |
|
||
|
No(/V0+ |
2а|) |
Если обозначим ч=Ь1—Ь2, то по известному распределению величины *1 вероятность ошибки определим как
о
(7. 40)
Величины bt и Ъ2 независимы, поэтому распределение величины V равно свертке распределений величин Ьх и Ъ2. Рассмотрим случай различных собственных чисел. При этом
Р( Ч М = 2 |
|
__________ Чк^У-_________ |
|
|||
2 |
п 1 |
|
|
|
|
|
Л:=0 |
«1=0 П П (^1'с — I'll) Q-2m— ^2у) |
|
||||
|
|
1фк уфт |
|
|
|
|
п |
п |
п |
п |
|
(7.41) |
|
=22 |
|
|||||
|
|
|
Чк*\т 6ХР { V W |
|
||
/с=0 «1*0СК1к + |
^2т) IX |
И |
Q-lk ~ ^ll) (^2ш — ^3/) |
|
||
154
если т ] < 0 . |
Е сли |
ж е ttj |
0 , то |
|
|
|
|
|
|
'ft K ) = |
2 2 |
' |
XlfcXSm е х Р ( — ,1A lfc} |
|
|
(7.42) |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
П Аи *») (hm- |
Ay) |
|
||||||
|
|
*-°»-° (>-u- + >-2т) П |
|
||||||
|
|
|
|
1фк уф т |
|
|
|
||
Используя |
первую |
формулу, |
получаем вероятность |
ошибки |
|||||
* — |
2 |
2 |
-----------------------------------------------------------------------------------------(Xlft -(- X2m) J J |
J J |
(Xls. — Х1г) (Х2т — |
■ |
<7 - 4 3 > |
||
|
к -о т = о |
Х2у ) |
|
||||||
|
|
|
|
1фк £ф т |
|
|
|
||
Если проинтегрировать |
формулу |
(7. 35) и аналогичную ей для Ь2 |
|||||||
от 0 до оо, |
то получим следующее равенство: |
|
|
|
|||||
|
|
|
Цк |
|
|
2й |
■ =1. |
(7.44) |
|
|
|
П > 1Й - А*) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1фк |
|
|
1фк |
|
|
|
|
Используя эту формулу, можно для вероятности ошибки получить более удобное, для расчета выражение
Р — |
' S |
— |
„ |
ЧР1 |
(7. 45) |
х ОШ |
^ |
|
|
||
|
к=0 |
И |
( А к + 7-iy) J J (X2fc — X2 i) |
|
|
|
|
У=0 |
1фк |
|
|
Если собственные числа одинаковые (Xlfc= Хр- \2к = Х2), то, исполь зуя распределение р фг) и р (Т?2), справедливые для равных диспер сий, можно получить, что
Po* = Xn+iXntHn[)i 1 J + |
(7.46) |
— CD —Д |
|
Ироизводя интегрирование с применением формул из [24], получим
АРОШ =-------- 1А |
(X-I/Х2 |
|
-)- 777-^_____ 1______ |
||||
(1 + А /А Г 1 |
(1 + А/А)" |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
7Л =0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
71 + |
7/1\ |
(Х1/Х2)П |
|
|
|
(1 + Х1/Х ,)я+1 2 ( |
” Г |
) (1 |
+ A/Xj)» • |
|
|
|
|
|
7/1*0 |
|
|
|
Для |
этого |
случая |
легко |
можно найти, |
что |
|
|
1 ~ |
2 („2 + Д70) |
|
2/Vn |
|
|
||
„ 7 ^ |
1 \ ’ |
2 |
„7 1 |
IX • £ = 1 + £ . |
|||
|
^ 0(7^ + 202) |
|
^ 0(^0 + 202) |
|
|
||
(7.47)
(7.48)
Формула (7. 47) совпадает с формулой, которая получена для этого , случая в 114],
[55
Я |
6 |
Рис. 7.4. Вероятность ошибок яри некогерентном |
(А) и когерентном (Б) приемах бинарных сигналов в канале |
с независимыми релеевскими замираниями (равные |
дисперсии) |
а — Г о / 1 0[= 0 , 1 2 5 ; |
б — |
Т с Л а = 0 ,в0—2 5 Т; о Л а = 0 |
Ч 76 64 256 1024n
Рис. 7.5. Вероятность ошибок при когерентном (а) и некогерентном (б) приемах
На рис. 7.4, А приведены графики вероятности ошибки для некогерентного приемника в случае равных дисперсий и незави симых замираний. Использовалась формула (7. 47) с подстанов кой а2=£72 (га+1). Для сравнения на рис. 7.4, Б приведены гра фики вероятности ошибки для когерентного приемника, работаю щего при тех же условиях.
Для сравнения были также проведены расчеты для случая не равных дисперсий по формуле (7. 26) для когерентного приемника и по формуле (7. 45) для некогерентного приемника.
В данном случае, как для когерентного, так и для некогерент ного приемника, корреляционная матрица диагональная, поэтому собственные числа определить просто. Было принято при этом, что величина дисперсии о| спадает по экспоненциальному закону в зависимости от номера к. Соответствующие графики приведены на рис. 7.5.
157
7.4. Влияние узкополосных помех на работу оптимального приемника
Рассмотрим влияние узкополосных помех на работу оптималь ного приемника широкополосных сигналов, описанного в § 4.6. В соответствии с (4. 19) запишем принятую реализацию в к-й ветви разнесения в виде 3
Уи(*) = аЛ (*. тч) — аЛ («, п»в) + пк (t). |
(7. 49) |
Будем считать, что измерение параметров аки д.кпроисходит точно. Кроме того, предположим, что бинарные сигналы, относящиеся к разным ветвям разнесения, ортогональны и имеют единичную удельную энергию. Если в принятой реализации содержится
сигнал с индексом тп^ то выходная величина |
—62, по которой |
||||||
выносится решение, |
может быть |
получена путем корреляции |
|||||
(7. |
49) с разностью сигнальных составляющих для т1 и тг. В ре |
||||||
зультате |
получим |
|
|
|
|
||
V = 2 |
К (1 — *) + * ! (1 — *) + |
\Л — х Р* - f |
S.k \ji — x p j = |
||||
|
7c=0 |
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
= |
|
|
(7.50) |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
*0 |
|
|
|
|
|
где |
x = |
^s1;. (t, |
m.j)slk {t, |
m2)d t— коэффициент |
корреляции би- |
||
|
|
o |
|
|
|
|
|
нарных сигналов; |
|
|
|
|
|||
|
|
Pfc = |
1 |
Т° |
|
|
|
|
|
^ = |
- J пк(<) [«ц. (<» »*i) — «и (*. Щ)1 * . |
||||
|
|
рй = |
^ |
х J |
0 9 |
|
(7' 51) |
|
|
i f г m i ) |
т г ) ] d t . |
||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
Как и ранее, будем предполагать, что мгновенные значения пк (t) с учетом, узкополосных помех распределены по нормальному закону с нулевым средним. Тогда, как следует из (7. 51), рй и рй также распределены по. нормальному -закону с нулевым средним. Однако. если .при помехах типа белого шума они независимы между собой и'ймеют одинаковые дисперсии, то в общем случае это не выполняется. Будем считать, что корреляционная матрица величин рй и р7с нам известна для всех сигналов. Относительно
3 В частности, при разнесении по времени sk(t, mt)=s[t—А(2л/Дш0), тга?].
158
ик и &k будем предполагать, что это нормальные случайные вели чины с нулевыми средними и равными дисперсиями а2. Если из вестно распределение величины 7), то при равновероятных бинар ных сигналах вероятность ошибки равна
о
Рот= ] Pfo)*|.
Предположим сначала, что величины |3fc и pfc постоянны и из вестны. Тогда распределение величины
, ' = 2 [ ( ^ Г = Л + Ь ) ! + ( ^ Т ^ ; + ! ) ’ ]
к=0
в формуле |
(7.50) [случайной из-за |
случайности |
а.к и бу |
можно |
||||
найти в [2]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р1(У) = |
|
|
т]' Ч~ |
) г / |
/ь у |
(7.52) |
||
|
|
2a2( l _ l«)JJn\ 02(1 —*) |
||||||
где |
|
|
« |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а = |
т 2 (й + й }- |
|
|
(7- 53) |
||
|
|
|
к=0 |
|
|
|
|
|
Распределение величины т] |
при известном L, как следует из |
фор |
||||||
мул (7. 50) |
и (7. 52), имеет вид |
|
|
|
|
|
||
р (т) |L) = р' (т] + L) |
1 |
/ ц + £у/а |
|
|
|
|
||
2о2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Хехр| |
т] ~Н2L ) |
т Г'/L (тц -f- L) |
^ |
7] |
СО. |
||
|
2аа (1 — %)/ |
|
|
|||||
|
|
|
« [ °2(1 —■*) J’ |
|
|
|||
На самом деле величины [ik и pfc, а следовательно L, случайны. Для нахождения ошибки Рош величину р (цЩ необходимо усред нить по L. Распределение величины L известно [11]:
|
_ 2£ |
|
р (L) — 2 2 |
— , 0 < L < o o , |
(7 . 54) |
*=°П (**-**)
1фк
где \к— собственные числа корреляционной матрицы величин (Зд. и рд. (при этом предполагается, что ~кк различны). Тогда вероят ность ошибки равна
О(С О
р°ш~ \ р р
—со ^0
159