Файл: Болошин, Н. Н. Надежность работы технологических узлов и оборудования обогатительных фабрик.pdf

Закон распределения количественно выражается в двух фор­ мах:

1. Как для непрерывной, так и для дискретной случайной ве­ личины удобно пользоваться вероятностью события T<t, где I — текущая переменная. Вероятность такого события, зависящая от значения /, называется ф у н к ц и е й р а с п р е д е л е н и я слу­ чайной величины Т:

чения ее при определенных значениях аргумента соответственно равны:

Р(— оо) = 0 и Р (+ оо ) = 1.

2. Для непрерывной случайной величины наиболее часто при­ меняется производная функция распределения — п л о т н о с т ь р а с п р е д е л е н и я случайной величины Т :

Такая функция распределения называется иногда д и ф ф е р е н ­ ц и а л ь н о й . Эта функция также называется п л о т н о с т ь ю в е р о я т н о с т и, а ее графическое изображение — к р и в о й р а с ­ п р е д е л е н и я .

На рис. 1 приведены интегральная функция распределения и соответствующая ей плотность распределения случайных величин: время безотказной работы и время восстановления подбункерного узла Тырныаузской обогатительной фабрики.

Плотность распределения является неотрицательной функцией; площадь под очерчивающей ее кривой (кривой распределения) и осью абсцисс равна единице:

* В практике обогащения такую функцию называют кумулятивной.

13

Геометрически P(t) есть площадь под кривой распределения и осью абсцисс, лежащая левее ординаты, проходящей через точку t. Та­ ким образом, для описания случайной величины используются:

для дискретной — функция распределения и ряд распределения (графически — многоугольник распределения);

для непрерывной — функция распределения и плотность распре­ деления (графически— кривая распределения) [5, 43].

Рис. I. Кумулятивные кривые и кривые плотности распределения времени без­ отказной работы и времени восстановления подбункерного узла на Тырныаузскоп фабрике:

а — кумулятивная кривая времени безотказной работы; б — кривая плотности распределения времени безотказном работы; а — кумулятивная кривая времени восстановления; г — кривая плотности распределения времени восстановления

Закон распределения, выраженный в форме функции или плот­ ности распределения, даёт . исчерпывающую характеристику слу­ чайной величины с вероятностной точки зрения. Однако для реше­ ния большого числа практических .задач знание полной характе­ ристики случайной величины является необязательным, а порою излишним и неудобным для использования. В этом случае доста­ точно определить отдельные числовые параметры, которые характе­ ризуют существенные черты закона распределения этой величины.

.Наиболее распространенными числовыми характеристиками слу­ чайной величины являются математическое ожидание и дисперсия ((или среднее квадратическое отклонение). .

Если случайная величина Т принимает значения tь U, t3,.. ., tn соответственно с вероятностями р\, рг, Рз,- ■ рп, то сумма произ­

14

ведений возможных значении случайной величины на вероятности

Первая формула справедлива для дискретных случайных величин, вторая — для непрерывных.

Математическое ожидание характеризует среднее значение слу­ чайной величины на числовой оси, около которого группируются все возможные значения случайной величины, с учетом различных вероятностей этих значений.

Для оценки рассеивания случайной величины вокруг матема­ тического ожидания используются дисперсия и среднее квадрати­

ское ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания.

Для дискретной случайной величины дисперсия вычисляется по

в то же время практически удобнее пользоваться характеристикой рассеивания, размерность которой совпадает с размерностью слу­ чайной величины.

При исследовании надежности работы технических устройств важнейшим является вопрос об установлении закона распределе­ ния случайных величин: времени безотказной работы и времени восстановления — и соответствия их теоретическим законам.

Из теоретических законов при исследовании надежности рабо­ ты технологических узлов и оборудования обогатительных фабрик представляют интерес следующие.

Э к с п о н е н ц и а л ь н ы й з а к о н . Случайная величина t эк­ споненциально распределена, если ее функция распределения опи­ сывается уравнением

15

где Т — математическое ожидание случайной величины.

Время безотказной работы и время восстановления подчиня­ ется этому закону, если отказы возникают в результате воздей­

Постоянные Т и о больше 0 и могут быть любыми: Т — математи­ ческое ожидание, а —- среднее квадратическое отклонение случай­ ной величины.

3 а ко н В е й б у л л а. Случайная величина имеет распределе­ ние Вейбулла, если функция распределения описывается уравне­ нием

затель степени, определяющей крутость кривой по сравнению с эк­ споненциальным распределением *.

Наряду с перечисленными законами при исследовании надеж­ ности используются и другие распределения: равномерное, гамма, Релея и др. [5, 43, 49]. На рис. 2 приведены кривые теоретических функций распределения, используемых при изучении надежности.

Исследование надежности работы обслуживаемых восстанав­ ливаемых объектов производится на основе изучения отказов и последующих восстановлений, которые представляют собой потоки случайных событий **.

На длительном промежутке времени работа технологических узлов и оборудования может рассматриваться как процесс смены состояний. Узел, проработав случайное время //, отказывает и пребывает в состоянии отказа время t". После восстановления си­ стема работает время t2' и опять отказывает на время to" и т. д. (рис. 3).

Длительности промежутков времени работы t'„ и отказа 1п" представляют собой случайные величины:

* В теории надежности уравнение этого закона было предложено Вейбуллом в 1951 г. [5]. В 1934 г. аналогичная формула была предложена Розиным и Раммлером для характеристики распределения отдельных классов крупности сы­

** Изучение потоков случайных событий производится на основе теории мас­ сового обслуживания.

(6

кой (или функцией, если интенсивность меняется во времени). Интегральной характеристикой является функция восстановления, которая равна среднему числу отказов, происшедших до опреде-

.ленного времени. Взаимосвязь интенсивности отказов, функции восстановления, времени безотказной работы и времени отказа определяется следующим образом.

Поток отказов характеризуется случайной величиной V(t), рав­ ной количеству отказов, происшедших за определенное время. Ве­ роятность того, что количество отказов V ( t ) ^ n , определяют сле­ дующим образом:

■Р\v (t) >п] = р [tn<t]=--.p \t[ + h + . ■ . + t'n<t\= Qn(t), (17)

где Qn(0 представляет собой закон распределения времени без­ отказной работы.

Тогда

и, в частности, вероятность, что не наступит ни одного отказа (ве­ роятность безотказной работы на интервале t ) :

Я (to)—H(ty). Если интенсивность потока отказов представляет со­ бой дифференциальную характеристику, а функция восстановле­

Величины Pn (t), H(t) и h(t) используются при решении практиче­ ских задач надежности, связанных с определением вероятности ■.обеспечения 100%-ной производительности, планируемого количе­ ства ремонтов, определения количества запасного оборудования и т. п.

Для экспоненциального закона вышеприведенные характери­

18