Файл: Слюсарь, И. П. Тонкостенные аппараты, нагруженные внутренним давлением.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 31.10.2024

Просмотров: 36

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

- D

-

 

Физическая сторона

задачи

определяет связь между деформа­

циями и ваавяжениямк.

 

 

Согласно обобщенному закону

Г }к а э т а связь о п р ед ел я ется

системой уравнений:

 

 

l ft

1'де:

= ~£~-(Q -

j-h

£ - модуль упругооти материала оболочки,- ^

- осевое напряжение в ободочке (е г о еще называют меридиальныы напряжением и обозначают S -

м2

м- коэффициент Пуассона;

сС - коэффициент линейного температурного расширения материала;

- тангенциальное или кольцевое напряжение я стенке оболочки, направленное по касательной

к окружности нормального оечения, —2 - м2

Решив систему уравнений (5 ) относительно, 6/

vr

ПОЛУЧИМ!

 

 

'

"

 

1

 

( Ч

 

. Q

/

х

.

е и ё

 

 

 

 

/_j i /г

(<?i

- J T jif

 

 

 

Приняв во внимание уравнения (3 )

и (Ч ),

выразим

и

через абсолютные

перемещения:

 

 

 

 

6 ,

•

 

 

 

Ж ? ]

 

П роанализировав

си ст ем у

уравнений ( 7

) , приходим к вы воду,

что напряжения <3, otи

с о с т о я т

из 2 - х

компонент

напряжений:

- 14

-

ив компоненты вг1 , рис.8 ,

не зависящей от координаты г

РИС.8.

т .е . из напряжения, равномерно распределенного по толщине оболочки,

и коаЙоненты

, зависящей от координаты

£

, изменяющейся

по толщине

оболочки по линейному закону. Очевидно, первая компонен­

та напряжений вызывается нормальными силами

А/х

и N t , а вто­

рая - изгибающими моментами

Мх и Mt

 

 

Эти

компоненты

равны:

 

 

(8)

-15 -

Сдругой стороны, осевые и тангенциальные напряжения могут

быть определены и по следующим известным формулам:

( 9 )

12Г

< * -

ж

±

Ж

г

( 10 )

/>5

 

ы ?

 

 

 

ле

 

 

где М* и Mt -

соответственно меридиональный я

тангенциальный

погонные, реактивные моменты, возникающие в стенке оболочки от дейст­ вия внешних и внутренних сил, ЗИ- •

А/( - тангенциальная погонная реактивная сила, возникаю­ щая в оболочке от дейотвия внешних и внут$нних сил, -Ц - •

Направление дейотвия этих сил и моментов показано на рис. 9 и

10.

РИС.9

- 1 6 -

РИС.1 0 .

Tax кЗс:

N x * G ‘x - / - S ;

М»,= ±

e / S - S 1

~ 7Z 1

/Vi - G f

/ S ,

 

G - / / S *

 

/2*

 

 

 

то используя уравнения (8), получим:

 

i j

(£//**■)

^

 

M* * i 2

~Ырг

 

Щ = ~ гр с [г +Jua * ' * ^ +jU]

- t r -

Обозначим:

F S 3 _ _ _

- Я) ( HbtJy

 

S £ fr-J,y

 

(12)

 

 

 

где ^ - цилиндрическая жесткость

оболочки (при ваших условиях по­

становки задачи - жесткость цилиндрической оболочки).

Приняв во

внимание формулу

(1 2 ), значение Д/> и A ft будут

иметь следующий вид:

 

 

 

 

Mt -

= J^ M k

 

 

 

 

 

C,Tg,Ta4g.c£aa ^города, заа&ди*.

Рассмотрим элементарный участок

оболочки,

полученный в результате двух

нормальных оечений на рассто­

янии

d x

(р и с .II) и двух продольных сечений плоскостями,

проходявд-

ми через

ось

симметрии оболочки, на раосгоянин t d G ,

 

 

 

Дяя элементарного

участка, находящегося в

оосгояши раввове-

сия,

можно написать шесть уравнений статики:

 

 

 

г . х = о : -AJx z<d& + ( A/x + < d N x)t°f&

 

ц 5 ^

 

 

 

ctN*.

N t - c m t s *

 

 

3Ly = О ,

гак

как действуют две симметричных силы

Л/± .

 

 

■ £ 1 - 0 ;

' P l d d d x - B

N ic/K

~ (® ^ d (3 )t c (&

+

 

 

+ Q го (& = О

 

 

 

 

- Lb -

РИС.I I .

- 19 -

СозчУтав это уравнение на общие множители и разделив вое чле­ ны уравнения на гФ/L , получим:

U S)

ЖЛ/Х а О

Сократив общие множители и разделив это уравнение на будем иметь:

го порядка, в итоге получим

« ’ - - f f

2-

и, наконец, Последнее уравнение статики 2 M g ® О ,

 

V

Б .Вывод основного

разрешающего дифференциального уравнения

моментной теории' вытекает из решения трех сторон (геометрической, фи­

зической и статической) поставленной задачи. В итого этох’о решения

/

получено семь независимых уравнений для определения семи неизвестных

величин Mt, Q, и/. 'f ) г определив которые можно ко­

личественно оценить напряженное'и деформированное состояние оболочки.-

С

целью получения указанного уравнения сделаем некоторые ма­

тематические

преобразования. Прежде всего рассмотрим разность

 

 

Nt

- U /V r

 

Подставляя

значения

Nt и /%

, из уравнений (IX ) получим:

-jVA/t

+/14 “ " ^

*

- 20 -

Преобразовав последний многочлен, получим:

 

 

 

(IB )

d O

- р - М

приняв во

Из уравнения (16) имеем:

/° “ £

внимание у р """"“”“ 1т'7'1

 

 

Представив вместо меридионального

момента Мх

его значение

из уравнения (1 3 ), в итоге будем иметь:

 

 

(19)

Последнее уравнение является линейным дифференциальным урав­ нением четвертого порядка с правой частью (нес&нородное),

Общее решение этого уравнения слагается из общего решения однородного уравнения и какого-либо чаотного решения неоднородного уравнения:

 

 

 

?

W .w .< w \

ш

где

Wo

-

ббщее решение однородного

уравнения;

 

W *

-

частное решение неоднородного уравнения.

 

Решим однородное уравнение:

 

( 2 1 )

Примем

(22)

f> - коэффициент затухания цилиндрической оболочки.

 

 

 

 

 

 

 

- 21

-

 

 

 

Приняв для

стали

/ J

= 0,3

 

 

 

 

 

а . Л И .

 

 

(23)

 

 

 

 

г

~

/ГГ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При решении физических задач удобно перейти к нрвому

безразмерному

аргументу

%

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c /t

_

 

я

 

 

 

*

/ ;

 

—

 

•г>

 

 

 

 

w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

я *

-

ё ж

 

■ 4 Х

-

л •

 

 

~ с П Г я т * - "

уравнение

(20) перепишется следующим образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(24)

 

 

Будем искать

решение данного уравнения в форме

 

 

 

. .

 

лл IT

W

 

I?

Лу « л #

 

 

 

W

= £

;

 

 

= Х ГС

 

 

Характеристическое

уравнение представится в виде

л ''£ ** + 4 е Л*

Значения корней характеристического уравнения следующие;

- Л у= ( 1 + 0 4;

^ * = i ( I + / ) 8 }

Д,.,

=±(1 + / ) .

Покажем, что (I +<: )4 = -4

 

 

[ а + П 2]

= ( I + 2 / - i ) 2 = 4 4 *

= -4

Д, - / V , Дг - f ' i ,

' Av * - f-i

Комплексными решениями,соответствующими найденным корням характерис­

тического уравнения, будут:

 

 

 

—

("O S

t

„

. ,

,

W , ~ e

 

= е ( c a s t t i f t J t S ) ,

e * (cos %- isin S)

W, = £

Смотрите также файлы