Файл: Дринфельд, Г. И. Интегралы Эйлера. Формула Стирлинга лекция.pdf

г ѵ б Л М Ч Н Р . Я

4 *

С О ? \

I . Разложение

функции CSC 3ft

вряд

элементарных

дробей

Разложим функцию ^(x)=C0SZ£

на о т р е з к е ^ X] в ряд Фурье.

Ввиду четности функции имеем

о

2 f

5Г

I

. _

2 5inJT2

V 0 '

' a o - j J C O S Z x d a : " - 3 U " ;

Д

-Л

Г

4 Гг

cos(ï

+к)х

coszx cosKxdx =7=r

- C O S ( Z - K ) X d x

il + K

-1

- к

z

sinJt*

. . ici" {

i

Таким

образом,

5Іпзгг

C0S£X

——

C0SJTZ =

дг

i

L * \ i *к

i-K

Отсюда

[ х

к

'

9

I

А

- с о

Пг—"

г

і

00

*-

1

--г

\

5Г

I

і -Іг

г

1

Окончательно имеем

Of

•I

(2)

sin ЗГУ

Z -

у -

г

2.

Функция

П а )

Г ( а ) = | x a V x d x , а >о .

Сходимость

интеграла легко

проверить. Функцию Г (а)

можно

рассматривать как обобщение факториала,

так как при целом П

Г ( п и ) - j

xn e a d x ~

х*е

+ пгX е ax-nг X €

doc=n 1(h).

о

0

5

О

Полученная рекуррентная фо]

Г(ц н ) - к

Г(п)=п Г((п-i) -и)-п(п н ) Г(п н ) =... « и ! Гй), (і)

во

Г О ) -

е -Лdx - - е

-

X

- f

Значит,

Г(п + і )

- п !

(з)

Докажем формулу более

общую, чем формула (3) :

ria« - n « 4 ) - (Q + j 4 )(a+nH) .. . а Г ( а ) .

«О

(й-<-ГІН)=

X е

С І Х - - Х

am - л

+ (ai-ti)Jx

£

а х =(а^гг)Г(а+гг).

Значит,

0

- (a - t - n)(a+n - І ) ..

, ( а + і ) а Г ( а )

3. Функция

8(&,&)

По определенно

B ( a , è ) =

х

'U-x)

dx,

а > о , 6>o

о

Сходимость интеграла

легко

проверить.

Функция В(û, Ь )

сикметрич на:

Получаем

X = \ - У , à x = - d y .

1

8

1

о

В(а,*)-

X u-x) ах=

(-1-у)

a dy-

А)-

Докажем еще важнув формулу:

(4

•ІХ

(5)