Файл: Ершов, Н. Ф. Определение положения твердого тела (корабля, самолета, гироскопа) в пространстве учебное пособие для студентов кораблестроительной специальности.pdf

Н. Ф. ЕРШОВ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

(корабля, самолета, гироскопа) В ПРОСТРАНСТВЕ

Горький —1974

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО

■ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР

ГОРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. А. А. ЖДАНОВА

Кафедра теоретической механики

H Ф. ЕРШОВ

Определение положения твердого тела

(корабля, самолета, гироскопа) в пространстве

Учебное пособие для студентов кораблестроительной специальности

Горький — 1974

РЕДАКЦИОННО-ИЗДАТЕЛЬСКИЙ СОВЕТ

ИЗДАТЕЛЬСКАЯ КОМИССИЯ ИНСТИТУТА:

В. Б. Цимбалин, доктор технических наук, доцент В. И. Плесков.

РЕДАКЦИОННАЯ КОМИССИЯ КОРАБЛЕСТРОИТЕЛЬНОГО ФАКУЛЬТЕТА:

Кандидат технических наук, доцент Μ. П. Кирюхин (председатель),

кандидат технических паук, доцент Л. И. Райкин (секретарь), канди­ дат технических паук Б. Ф. Бочков, профессор А. Б. Карпов, канди­ дат технических наук, доцент Ю. Л. Панов, кандидат технических наук, доцент Μ. И. Печищев, кандидат технических наук, доцент Μ. Е. Рабинович, кандидат технических паук, доцент Г. И. Савицкий, кандидат технических наук, доцент В. Μ. Семеин.

ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР кандидат технических паук, доцент

Г. Г. ШАХВЕРДИ

ВВЕДЕНИЕ

Любое движение свободного твердого тела можно за­ менить совокупностью поступательного движения вместе с какой-либо точкой тела и вращения вокруг этой точки. Поступательная часть движения описывается уравнения­ ми движения точки, взятой за полюс — центр подвижной координатной системы. Обычно за полюс берется центр масс( тяжести) C рассматриваемого тела (рис. 1).

Рис. 1.

Уравнениями движения центра масс будут его коор­ динаты как однозначные функции, времени:

`*∙∏c — f (О»

Vic = А (О,

Zic = f∙i(t),

Рассмотрим движение (вращение) тела относительно по­ люса С. Оно описывается знаменитыми уравнениями Эйлера, полученными им в 1758 г.1

Свободное твердое тело имеет шесть степеней авободы. Твердое тело, совершающее вращение вокруг непо­ движной точки, за которую после выделения поступатель­ ной части движения принимается полюс С, имеет уже три степени'.свободы, так как закрепление одной точки тела уменьшает число его степеней свободы на три единицы. Три степени свободы, которые имеет тело при вращении вокруг неподвижной точки, требуют для задания положе­ ния тела относительно какой-либо системы координат три независимые величины. Обычно в качестве таких ве­ личин выбирают специальные углы, их также можно за­ дать различными способами.

Возьмем полюс C (рис. 1), за начало двух координат­

ложение указанных двух координатных систем, вводятся па основе следующих общих положений. Прежде всего назначаются основные оси — неподвижная и принадле­ жащая телу. Плоскости, перпендикулярные этим основ­ ным осям, являются основными, и в этих плоскостях при­ нимаются отсчетные оси. Затем вводится в рассмотрение линия пересечения основных плоскостей — линия узлов. Для ее построения можно спроектировать подвижную основную ось па неподвижную основную плоскость (на­ зовем эту проекцию СК); тогда линия узлов будет перпепдикулярна^той проекции в неподвижной основной плоскости. Тремя независимыми углами являются: угол

линией CK C подвижной основной ПЛОСКОСТЬЮ' (их сумма равна π∕2); угол отсчетной оси в неподвижной основной плоскости с линией узлов (иногда*с СК); угол между ли­ нией узлов и отсчетной осью подвижной основной плоско­ сти (или дополнение к нему).

1 Леопард Эйлер (1707 — 1783) выходец из Швейцарии, член Пе­ тербургской Академии паук, проживший в России более 30 лет.

4

Отсчет этих углов производится соответственно вокруг линии узлов неподвижной и подвижной основных осей, причем первому даются значения в промежутке 0,π или

— π∕2, ~ i2, а двум другим — в промежутке 0,2".

принимается от C к N.

Угол у между основными осями отсчитывается от оси ζ и считается положительным, если с положительного направления линии узлов он будет казаться направлен­ ным против хода часовой стрелки (линия CN, очевидно, перпендикулярная плоскости "-.Cz). Этот угол называет­ ся углом нутации, а линия узлов CN, вокруг которой вра­ щается тело при изменении угла ѵ, — осью, нутации.

5

Угол ⅛ между отсчетной осью Ci в неподвижной пло­ скости и линией узлов называется углом прецессии. Для изменения его тело должно вращаться вокруг неподвиж­ ной оси CC, которую называют осью прецессии. Угол ψ между положительными направлениями оси Ci и линии узлов считается положительным, когда он отсчитывается против.часовой стрелки, если смотреть с положительного направления оси Cζ.

Угол φ между линией узлов и отсчетной осью Cx в

подвижной плоскости носит название угла собственного

(чистого) вращения. Этот угол принимается положитель­ ным при его отсчете от CN против часовой стрелки, если смотреть с положительного направления оси Cz, которая называется осью собственного вращения. Плоскость ZCz называется плоскостью нутации.2

Нетрудно убедиться, что переход от неподвижной си­

плоскости орбиты и направление некоторой отсчетной оси в этой плоскости. Первым углом является долгота восхо­ дящего узла планеты, играющая роль прецессии, второй угол, являющийся углом нутации, определяет наклон плоскости орбиты к отсчетной неподвижной плоскости. Угол собственного вращения является угловым расстоя­ нием перигея от восходящего узла, если упомянутая от­ счетная ось направлена к перигею планеты — ближайшей точке орбиты к притягивающему центру.

2. КОРАБЕЛЬНЫЕ ОСИ И УГЛЫ

Система Эйлеровых углов, примененная самим Эйле­ ром, оказалась мало пригодной при исследовании качки корабля. Дело в том, что при малом отклонении тела от начального положения лишь один угол остается м'алым, тогда как два других могут принимать произвольные значения и малой остаётся лишь их сумма. Первым обра­ тил па это внимание А. Н. Крылов)3, и взамен .обычной

2 Эти термины, а также названия углов u,⅛,r заимствованы из астрономии.

3 А. II. Крылов (1863— 1945) действительный член Академии наук

СССР,

6

Рис. 4.

Рис. 5.

рысканье корабля.

При исследовании качки судна, иногда вводится не­

Положительное направление этой линии выбирается так, чтобы совмещение оси Cζ с осью Cx осуществлялось по­ воротом оси на наименьший угол против часовой стрелки, если смотреть со стороны этого направления.

Плоскость ζ Cx перпендикулярна линии узлов. Угол <р

является линией пересечения этой плоскости с плоскостью ζC X. CK перпендикулярна линии узлов CN.

4Здесь и далее в системе осей гидроскопа сделаны.уточнения ана­ логичных рисунков, приведенных в работе J^2^ .

9