Файл: Чудесенко 15 вариант (1-22 -11).pdf

Задачник Чудесенко, теория вероятностей, 15 вариант

1) Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит N 9 ; б) произведение числа очков не превосходит N 9 ; в) произведение числа очков делится на N 9 .

Решение:

C61 6 способами можно выбрать цифру на одной игральной кости;

C61 6 способами можно выбрать цифру на другой игральной кости.

Таким образом, общее число исходов (возможных комбинаций цифр на двух игральных костях): C61 C61 6 6 36

а) Найдем вероятность того, что сумма очков превосходит N 9 . Подсчитаем количество благоприятствующих исходов:

10очков: (4,6),(6,4),(5,5)

11очков: (5,6),(6,5)

12очков: (6,6)

Всего: 6 благоприятствующих исходов.

По классическому определению вероятности:

q 366 16 – вероятность того, что сумма очков превзойдет 9. По теореме сложения вероятностей противоположных событий:

p1 1 q 1 16 56 – вероятность того, что сумма очков не превзойдет 9

б) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: 1 очко: (1,1)

2 очка: (1,2),(2,1)

3 очка: (1,3),(3,1)

4очка: (1,4),(4,1),(2,2)

5очков: (1,5),(5,1)

6очков: (1,6),(6,1),(2,3),(3,2)

8очков: (2,4),(4,2)

9очков: (3,3)

Всего: 17 благоприятствующих исходов.

По классическому определению вероятности:

p2 1736 – вероятность того, что произведение очков не превзойдет 9.

в) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: 9 очков: (3,3)

18 очков: (3,6),(6,3)

27 очков: –

36 очков: (6,6)

Всего: 4 благоприятствующих исхода.

По классическому определению вероятности:

p3 364 19 – вероятность того, что произведение очков делится 9.

Ответ: а) p1 56 , б) p2 1736 , в) p3 19

4) В лифт k 8 - этажного дома сели n 3 пассажира. Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что: а) все вышли на разных этажах; б) по крайне мере двое сошли на одном этаже.

Решение:

C71 7 способами может выйти каждый пассажир из лифта.

C71 C71 C71 7 7 7 342 способами могут выйти три пассажира из лифта а) Рассмотрим событие: A – пассажиры выйдут из лифта на разных этажах.

этажам (с учетом перестановок пассажиров).

По классическому определению вероятностей:

Задачник Чудесенко, теория вероятностей, 15 вариант

разных этажах.

б) Рассмотрим событие: A – по крайне мере двое сошли на одном этаже. События A и A являются противоположными, поэтому P(A) P(A) 1, следовательно:

P(A) 1 P(A) 1 5735 5722 – искомая вероятность. Ответ: а) P(A) 5735 0,61, б) P(B) 5722 0,39 .

5) В отрезке единичной длины наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка превосходит величину k1 81 .

Решение: Выполним чертеж:

X

Общему числу исходов соответствует длина единичного отрезка l 1. Благоприятствующему числу исходов соответствует длина l 78 18 34 . По геометрическому определению вероятностей:

p ll 34 – вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка

превосходит величину 18 .

Ответ: p 34

6) Моменты начала двух событий наудачу распределены в промежутке времени от T1 1200 до T2 1330 . Одно из событий длится 10 мин., другое – t 5 мин. Определить вероятность того, что: а) события «перекрываются» во времени; б) «не перекрываются».

Задачник Чудесенко, теория вероятностей, 15 вариант

p SS 1501216900,5 13521201 – вероятность того, что события «не перекрываются» во времени. а) Найдем вероятность противоположного события:

p 1 13521201 1352151 – вероятность того, что события «перекрываются» во времени. Ответ: а) p 1352151 0,1117 , б) p 13521201 0,8883 .

7) В круге радиуса R 11 наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадет в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны

S1 2,2 и S2 3,5

Решение: Вычислим площадь круга:

Sкр R2 112 121

Суммарная площадь непересекающихся фигур:

S S1 S2 2,2 3,5 5,7 .

По геометрическому определению вероятности:

Ответ: p 5,7 0,015 121

8) В двух партиях k1 76% , k2 42% доброкачественных изделий соответственно.

Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них: а) хотя бы одно бракованное; б) два бракованных; в) одно доброкачественное и одно бракованное?

Решение: Из условия следует, что:

p1 0,76 , p2 0,42 – вероятности того, что изделие из соответствующей партии

является доброкачественным. Тогда, вероятности того, что изделие из соответствующей партии является бракованным:

q1 1 p1 1 0,76 0,24;

q2 1 p2 1 0,42 0,58. а) Рассмотрим события:

A – хотя бы одно изделие является бракованным; A – оба изделия доброкачественны.

События A и A являются противоположными, поэтому: P(A) P(A) 1.

По теореме умножения независимых событий: P(A) p1 p2 0,76 0,42 0,3192 . Таким образом:

P(A) 1 P(A) 1 0,3192 0,6808 – искомая вероятность.

б) Рассмотрим событие:

B – оба изделия бракованны.

По теореме умножения независимых событий:

P(B) q1q2 0,24 0,58 0,1392 – искомая вероятность.

в) Рассмотрим событие:

C – одно изделие бракованное и одно доброкачественное.

Задачник Чудесенко, теория вероятностей, 15 вариант

По теоремам сложения несовместных и умножения независимых событий:

Определить вероятность того, что цель не поражена.

Решение: найдем вероятность промаха для соответствующих стрелков: q1 1 p1 1 0,76 0,24;

q2 1 p2 1 0,39 0,61.

По теореме умножения независимых событий:

поражена.

Ответ: p 0,013074

10) Два игрока A и B поочередно бросают монету. Выигравшим считается тот, у кого раньше выпадет герб. Первый бросок делает игрок A , второй – B , третий – A и т.д. Найти вероятность того, что выиграл A не позднее k 10 броска.

Решение: p 12 – вероятность выпадения герба;

q 12 – вероятность выпадения цифры.

Рассмотрим несовместные исходы, соответствующие выигрышу игрока A : 1) p1 p 12 ;

3) p3 qqp 12 12 12 18 ;