Файл: Математические модели в социологии Фукалова Владислава.pptx

Математическая модель реального объекта (явления) – упрощенная, идеализированная схема, составленная с помощью математических символов и операций. При этом учитываются те свойства, которые признаны важными, и выполняется абстрагирование от малозначительных деталей.

Например, в школьном курсе физики при решении задач на тяготение используются формулы, не учитывающие сопротивление воздуха, но это незначительно влияет на результаты вычислений.

Можно выделить ряд основных требований к математическим моделям

Чувствительность – способность модели реагировать на изменения параметров.
Устойчивость – малому изменению исходных параметров должно соответствовать малое изменение решения задачи.
Универсальность – характеризует широту области применения модели.

Адекватность – соответствие модели оригиналу, способность отражать нужные свойства объекта.
Объективность – соответствие научных выводов реальным условиям.
Простота – модель не должна быть "перегружена" второстепенными факторами.

Построение модели

Проверка адекватности модели. Модификация модели.

Решение математической задачи, к которой приводит модель. Решение может быть найдено "вручную" или на компьютере.
Интерпретация полученных следствий из математической модели.

На этом этапе имеется некоторый "нематематический" объект – явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т.д. Сначала выявляются основные особенности явленияp и связи между ними на качественном уровне, осуществляется гуманитарный анализ, происходит вербализация модели.

Классификация математических моделей и особенности классов

Детерминированные модели характеризуются тем, что для данной совокупности входных значений однозначно определяется выходной результат. Например, в XX в. ряд исследователей (Маккендрик, Форстер, Хорнер) пришли к тому, что данные о населении планеты за многие века с высокой точностью описываются формулой.

где Т– год (Т = 0 – Рождество Христово). Данная формула для XXI в. уже не работает, но вполне точна для прежних веков

Стохастические модели

Стохастические модели – такие математические модели, в которых какие-либо параметры представлены случайными величинами. Следовательно, характеристики в стохастической модели определяются не однозначно, а через законы распределения вероятностей.

Статическая модель

Статическая модель включает описание связей между основными переменными моделируемого объекта без учета изменения параметров во времени. Модель называется динамической, если параметры изменяются во времени.

Обычно статические модели описываются алгебраическим уравнением или системой алгебраических уравнений, т.е. уравнениями вида

где у – обозначение выходных параметров, х – обозначение входных параметров, / – обозначение зависимостей выходных параметров от входных, м– количество входных параметров, f– количество выходных параметров.

Статическая модель

Динамические модели часто описываются дифференциальными уравнениями, т.е. уравнениями, связывающими функции и их производные, или системами дифференциальных уравнений. Примеры динамических моделей, описываемых дифференциальным уравнением, – модели В.
где у – обозначение выходных параметров, х – обозначение входных параметров, / – обозначение зависимостей выходных параметров от входных, п – количество входных параметров, т – количество выходных параметров.
Данный пример наглядно иллюстрирует смысл производной по времени: это скорость роста либо скорость спада в зависимости от знака производной. Смысл второй производной, т.е. y"(t), заключается в скорости изменения скорости, т.е. в ускорении роста либо замедлении скорости роста.
где k и b – константы. Когда у увеличивается и приближается к b, то у'(t) приближается к 0, т.е. рост у останавливается.

1. В первом случае все величины, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. При этом одни из них рассматриваются как независимые переменные, а другие – как функции от этих величин. 2. Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи. Как правило, эти связи не поддаются количественному измерению. Для построения таких моделей удобно использовать теорию графов.

Функция развлечения

Интернет – среда, где стираются не только пространственные рубежи, но и границы между сферами жизнедеятельности людей: работой и бытом, хобби и реализацией гражданского статуса, обучением и развлечением. Средства для информационного обеспечения этих сфер и участия в них находятся в единой медийной среде, дистанция между разными сферами практически не ощущается.