Файл: Лабораторная работа 1 по теме Методы решения нелинейных уравнений.docx

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.02.2024

Просмотров: 42

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.


1.5. Содержание отчета


1. Фамилия и имя студента, номер группы.

2. Название и цель лабораторной работы.

3. Индивидуальный вариант задания к работе.

4. Таблицы 1–3 с перенумерованными узлами интерполяции.

5. Интерполяционные формулы для ручных расчетов и результаты расчетов в таблицах 1–4 и 1-5.

6. Выводы.

1.6. Пример выполнения задания




  1. Точка интерполяции для формулы Лагранжа b = 0.52.

Выбор и перенумерация узлов.

Для ручной интерполяции в точке x = b = 0.52 по формуле Лагранжа выбираем из таблицы 3–2 4 узла так, чтобы точка b = 0.52 оказалась внутри получающийся таблицы и узлы были наиболее близкими к этой точке. В итоге выбираем узлы с номерами 8, 9, 10, 11:


8
0.45
-3.4890

9
0.50
-3.3250

10
0.55
-3.1385

11
0.60
-2.9280


Следует отметить, что формула Лагранжа может использоваться как для таблиц с постоянным шагом, так и с непостоянным шагом. Перенумеруем узлы интерполяции руководствуясь двумя правилами: точка x=b должна быть внутри таблицы и узлы должны быть ближайшие к ней. Занесем перенумерованные узлы в таблицу вида 2–3:

k

0

1

2

3

xk

0.50

0.55

0.45

0.60

yk

-3.3250

-3.1385

-3.4890

-2.9280



Ручной расчет по формуле Лагранжа.

Запишем интерполяционные полиномы Лагранжа 1–й, 2–й и 3–й степени и вычислим их значения в точке
x = b = 0.52:





Обратите внимание, что: выражения для полиномов 1, 2 и 3 степени (в явном виде) после соответствующих преобразований следует получить самостоятельно!

Занесем результаты в таблицу и вычислим оценки погрешности полученных значений для многочленов 1–й и 2–й степени:

Степень многочлена

k

Lk(x)

Оценка погрешности

1

–3.2504

0.0027

2

–3.2531

0.0001

3

–3.2532

–


Вывод. Получены выражения для интерполяционных полиномов 1, 2 и 3-ей степени и их значения в т. b. Оценку погрешности проведём в соответствии с неравенством:


Можно утверждать, что разность между точным (неизвестным) значением функции и значением интерполяционного полинома в точке x=0.52 после 3=х итераций не превышает 0.0001.


    1. Точка интерполяции для формулы Ньютона a = 0.12.

Выбор и нумерация узлов.

Для ручной интерполяции в точке x = a = 0.12 по 1 формуле Ньютона выбираем 4 узла из таблицы 1–2 так, чтобы точка a = 0.12 оказалась между узлами с номерами с 1 по 2 и добавляем узлы вправо:


Номера выбранных узлов (k)
xk
yk

1
0.10
-4.1330

2
0.15
-4.0845

3
0.20
-4.0240

4
0.25
-3.9500


Выбор точек определяется тем, чтобы при решении задачи интерполяции в точке по первой формуле Ньютона, точка должна быть внутри таблицы для полинома любой степени, в том числе и первой. Поэтому нулевой и первый узел должны находиться по разные стороны от самой точки x=a. Если нулевой узел находится слева от точки, а первый узел находится справа от точки, то шаг h=x1-x0 будетположительным и добавлять узлы следует справа относительно точки x=a. Если же нулевой узел находиться справа от точки, а первый узел находиться слева, то шаг h=x1-x0 будет отрицательным, и добавлять узлы следует слева.

Изменим нумерацию узлом интерполяции для использования их в интерполяционных формулах и занесем в таблицы вида 1–3.

k

0

1

2

3

xk

0.10

0.15

0.20

0.25

yk

-4.1330

-4.0845

-4.0240

-3.9500



Ручной расчет по формуле Ньютона.
Заполним таблицу конечных разностей:


x
y
Δy
Δ2y
Δ3y

0.10

-4.1330


0.0485
0.0120
0.0015

0.15

-4.0845


0.0605
0.0135



0.20

-4.0240


0.0740






0.25

-3.9500












Запишем 1–ю интерполяционную формулу Ньютона



для полиномов 1–й, 2–й и 3–й степени и выполним расчеты по ним. Определим значение q:



Значение полинома 1-й степени в т. x=0.12:


Значение полинома 2-й степени в т. x=0.12:



Значение полинома 3-й степени в т. x=0.12:
Важно: Явные выражения для полиномов 1, 2 и 3 степени могут быть получены после соответствующих преобразований формулы:


В нашем случае они будут иметь вид:


Занесем результаты в таблицу и вычислим оценки погрешности полученных значений для полиномов 1–й и 2–й степени:

Степень многочлена

k

Pk(x)

Оценка погрешности

1

–4.1136

0.0014

2

–4.1150

0.0001

3

–4.1149

–


Вывод. Получены выражения для интерполяционных многочленов 1, 2 и 3-ей степени и их значения в точке а. Оценку погрешности проведём в соответствии с неравенством:



Можно утверждать, что разность между точным (неизвестным) значением функции и значением интерполяционного полинома в точке x=0.12 после 3-х итераций не превышает 0.0001.

Контрольные вопросы по теме

«Интерполяция функций»


  1. Что называется задачей интерполяции и задачей аппроксимации?

  2. Что называется узлами и шагом интерполяции?

  3. Что такое интерполируемая функция и интерполирующая функция?

  4. Существует ли связь между числом узлов интерполяции и степенью интерполяционного многочлена?

  5. Можно ли, используя одни и те же узлы интерполяции, построить несколько интерполяционных полиномов?

  6. Сколько интерполяционных полиномов степени n существует, если функция задана (n + 1) узлом?

  7. Изменится ли точность интерполяции при увеличении или уменьшении количества узлов?

  8. Как изменится формула Лагранжа при добавлении в таблицу значений функции еще одного узла?

  9. Как изменится формула Ньютона при добавлении в таблицу значений функции еще одного узла?

  10. Если интерполируемая функция f(x)задана в (n + 1) равноотстоящих узлах, то для ее интерполяции удобнее использовать формулу Ньютона или формулу Лагранжа?

  11. Можно ли при использовании формулы Лагранжа располагать узлы интерполяции в произвольном порядке?

  12. Можно ли при использовании формулы Ньютона располагать узлы интерполяции в произвольном порядке?

  13. Потребуется ли полный пересчет коэффициентов формулы Лагранжа при добавлении дополнительного узла интерполяции?

  14. В чем заключается универсальность формулы Лагранжа?

  15. От чего зависит точность интерполяции?

  16. Что такое «конечные разности»?

  17. Чему равен порядок конечной разности наивысшего порядка, полученный по n исходным точкам?

  18. Что происходит с формулой Ньютона при добавлении очередного узла интерполяции?

  19. Чем отличаются результаты интерполяции, если при построении интерполяционных полиномов по формулам Лагранжа и Ньютона были использованы одни и те же узлы?

  20. Чему равна степень интерполяционного полинома Ньютона при трех заданных точках интерполируемой функции?


Смотрите также файлы